歷史文化與信息技術交織下“曲邊梯形的面積”教學

張靈+劉逸晴+徐章韜

【摘 要】 HPM是中學數學教育研究的熱點話題，在深入學科的信息技術的支持下，充分挖掘數學史的教育價值，以更加生動、直觀的方式展現歷史，從歷史中尋找智慧，推動數學教學的開展.本文借助“割圓術”與“曲邊梯形的面積”的教學在信息技術下的融合，體會歷史文化與現代技術的交織在數學課堂中所產生的重要教學價值，感悟主題研究的重要意義.

【關鍵詞】 數學史；信息技術；數學教育；“割圓術”；曲邊梯形的面積

1 引言

近年來數學史具有的重要教育價值受到人們廣泛認同，我國頒布的《數學課程標準》，無論義務教育階段還是普通高中階段，都有與數學史相關的論述，《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》第 4 部分“課程實施建議”，每一個學段的“教材編寫建議”都有“介紹有關的數學背景知識”這一條目.而《普通高中數學課程標準（實驗）》認為“數學課程應適當反映數學發展的歷史、應用和趨勢，……，應幫助學生了解數學在人類文明發展的作用，逐步形成正確的數學觀”[1].《數學課程課標》中對數學史的重視是許多專家學者們努力的結果，這些論述表明了教育取向的數學史已從幕后走向臺前.

在《數學課程課標》的支持下，如何在實際教學中充分發揮數學史的教育價值是需要考慮和研究的問題.數學教師在教學中難免會遇到這樣的情況，有一些歷史素材很有教育意義，但是因為缺乏技術支持，卻遺憾地不能應用于課堂，或不能更直觀地展示出來，這就使得這部分數學史的教育價值被淹沒了[2].例如，歷史上，多位數學家利用剪拼法證明了勾股定理，但若缺乏信息技術的支持，依賴于“黑板+粉筆”的模式將不能動態直觀地展現剪拼法所突出的“剪”和“拼”的過程，也無法突出多種剪拼法之間的區別與聯系.

因此，借助信息技術的支持可以使數學史融入數學教育的過程更加生動化、直觀化，以充分挖掘其教育意義.歷史文化與現代技術跨越時空交織在一起，歷史文化使思想更深邃，信息技術使思想更完美.本文以“曲邊梯形的面積”教學為例，探討在信息技術的支持下，如何充分發揮數學史的教育價值.

2 前期分析

在講授“曲邊梯形的面積”這一小節之前，學生已經學習過劉徽“割圓術”的內容，“割圓術”中蘊含的思想方法與求解“曲邊梯形的面積”所需的思想方法具有異曲同工之妙.

劉徽是中國古代一位偉大的數學家，他在《九章算術注》中所提出的“割圓術”，巧妙地求解出了圓的面積，并開創了中國古代數學史上圓周率研究的新篇章[3].“割圓術”的核心思想：“以直代曲，無限逼近”，先對圓進行分割，得到若干扇形，隨后選擇用三角形代替扇形，體現了“以直代曲”.劉徽指出“割之彌細，失之彌少，割之又割以至不可割，則與圓合體而無所失矣”，當分割次數增加至無限多時，由三角形所組成的多邊形便與圓完全相和了，這時三角形的面積和等于圓的面積，通過計算便能得到圓的面積的精確值.

“割圓術”中所采用的“以直代曲，無限逼近”的思想、“化整為零、積零成整”的過程以及“分割、近似代替、求和、取極限”的步驟完全適用于求解曲邊梯形的面積.在“曲邊梯形的面積”教學中，可從歷史中尋找智慧，利用劉徽“割圓術”來啟發學生思維，讓課堂增添歷史文化的氣氛.

如今信息技術已逐漸走進課堂，從宏觀上，信息技術與數學課堂的整合帶來教學方式和學習方式的變革；從微觀上，信息技術的融入，能夠變抽象為具體，化枯燥為生動，突破“黑板+粉筆”靜止的二維世界.在信息技術的支持下，數學史能以更為生動具體的形象活躍于數學課堂中.張景中院士指出普適的信息技術不適合直接用于教學，教育信息化活動應能為學科教學服務，“信息技術只有深入學科才能真正發揮作用”[4].數學教學中常用的工具軟件有超級畫板、幾何畫板、Mathematica等.教師應能熟練應用這些數學教學中的常用信息技術軟件，并根據具體課程內容和數學史料的融入方式選擇合適的信息技術.利用幾何畫板軟件可將“割圓術”的過程動態化，并通過數形結合展示“以直代曲、無限逼近”的思想內涵.

3 具體實現

3.1 借助幾何畫板回顧劉徽“割圓術”的過程

在幾何畫板中，根據圓的半徑，將圓平均分割成若干塊，如圖1.通過觀察扇形的形狀，可以得出三角形與扇形的形狀最為貼合，選用三角形近似代替扇形，這時存在兩種情況：不足近似和過剩近似，如圖2.隨后增加分割次數，在幾何畫板中可觀察到，隨著分割次數增加，不足近似和過剩近似所形成的正多邊形的面積越來越接近圓的面積，當分割次數無限次時，便完全重合，如圖3，便可求得圓的面積的精確值.回顧了“割圓術”的過程，可在課堂中總結出求解圓面積的四大步驟.

圖3評注 在幾何畫板的支持下，將“割圓術”的過程動態化，可以直觀感知到“割圓術”中所展現的逼近過程和蘊含的極限思想.一方面，利用現代技術揭示了中國數學史中的光輝思想，另一方面，通過借鑒歷史，啟發學生思考如何求解曲邊梯形的面積.

3.2 借助幾何畫板探索“曲邊梯形的面積”求解方案

第一步：分割.首先考慮如何對曲邊梯形進行分割的問題，在“割圓術”中，劉徽以圓心為出發點，以圓邊為終點，將圓按角度平均分割成n個扇形.在特殊曲邊梯形中，考慮以某一直邊為出發點，以曲邊為終點，將特殊曲邊梯形分割成n個寬度相等的小曲邊梯形，在《幾何畫板》中做出圖4.

第二步，近似代替.第一步將大曲邊梯形分割成了幾個小曲邊梯形，類比“割圓術”中“以直代曲”的近似代替方案，在特殊曲邊梯形中，考慮以矩形代替小曲邊梯形，這時，同樣存在不足近似和過剩近似兩種近似代替方案，如圖5.

第三步，求和.結合畫板中的圖5，分別對兩種方案進行求和：

不足近似：

Sn=1nfi-1n=131-1n1-12n，

過剩近似：Sn=1nfin=161+1n2+1n.

第四步：取極限.在幾何畫板中將分割次數增加，可觀察到隨著分割次數的增加，兩種方案所形成圖形的面積都越來越接近曲邊梯形的面積，當分割次數無限大時，不足近似和過剩近似所形成圖形與曲邊梯形相合，如圖6.通過取極限，可以得到曲邊梯形面積的精確值.

對第三步中兩種方案求得的公式進行取極限：

不足近似：

S=Sn=limn→∞131-1n1-12n=13，

過剩近似：

S=Sn=limn→∞161+1n2+1n=13.

得到特殊曲邊梯形的面積為13.

評注 類比劉徽“割圓術”，并借助幾何畫板從“形”上得到了求解特殊曲邊梯形面積的過程，再通過計算，從“數”上得到了特殊曲邊梯形面積的精確值，數形結合讓過程和結果更讓人信服.求解曲邊梯形面積的過程，既蘊含了從歷史中汲取的智慧，又借助了現代技術的支持，將今后要學習的定積分中所包含的思想提前展現的淋漓盡致.

4 感悟

通過對“曲邊梯形的面積”教學的分析，可以感受到，信息技術與數學史的結合，不僅能讓學生接受數學歷史文化的熏陶，而且充分挖掘了數學史中包含的深邃思想和方法，從而推動數學知識的教學.信息技術改變了課程內容的呈現方式，并能深入到課程內容中[2]，在信息技術的支持下，數學知識的歷史得以重現，讓知識有源可尋，有理可依.在教學中，通過信息技術和數學史的融合，可讓學生感受到數學課本知識不只是孤立的已經建好高樓大廈，而是具有自身發展過程的、經過了歷史篩選的人類思想的結晶.從感官上，借助信息技術，數學史知識中包含的“數學美”能夠得以充分展現，學生能感受到數學并不是公式和數字的堆砌，“數學是可以欣賞的” [2]，并且學生還能夠通過親自操作信息技術融入數學家的思考中，感受數學思想的精妙之處.

信息技術進入課堂已是必然趨勢，數學史與信息技術的融合讓信息技術不只是工具，還成為了歷史文化和思想的載體.重現數學知識歷史的功能讓信息技術多了一份價值.如何發揮現有材料和工具的最大價值來促進教學是數學教師需要考慮的問題，信息技術和數學史的融合就是一個很好的選擇，既能夠充分挖掘數學史的教育意義，又可以增添信息技術在數學教學中的價值，在歷史文化氣氛和現代文明的交織下，思想更加鮮活，知識更加飽滿，課堂內容更加豐富，學生的感受也更深刻了.

HPM與信息技術的融合是一個新的研究方向，如何借助信息技術的優勢和數學歷史知識的文化底蘊來促進數學教學，需要今后更多地探討和研究.

參考文獻

[1] 朱哲，宋乃慶.數學史融入數學課程[J].數學教育學報，2008（4）.

[2] 徐章韜.超級畫板的教育價值及其教學應用[M].北京：科學出版社，2015.

[3] 王能超.千古絕技“割圓術”[J].數學的實踐與認識，1996（4）.

[3] 張景中，彭翕成.深入數學學科的信息技術[J].數學教育學報，2009（5）.