初高中數學思想的銜接性研究

楊文+李毅

【摘 要】 隨著數學課程標準和教材對數學思想滲透的重視，初高中數學思想教學銜接性問題進一步加劇.影響初高中數學思想教學銜接性的因素有：教師對初高中數學課標內容要求重視和理解不夠；初高中數學教師間交流不夠；初高中數學教師在教學中對數學思想挖掘不夠；初高中數學教師對教育本質認識不夠.改善初高中數學思想教學銜接性的建議是：加強對初高中數學課標的認識；加強初高中數學教師間的交流；加強對教材知識、習題的深入挖掘；轉變教育教學觀念.

【關鍵詞】 初高中；數學課程標準；教材；數學思想；銜接性

1 問題的提出

數學思想是數學知識的精髓、靈魂，它是對數學本質的理解和認識，是數學學習的根本目的.重視數學思想的教學，在數學教學中注重數學思想的滲透，是提高個體思維品質和數學素養、發展智力的關鍵所在，也是現代社會對人才培養的基本要求[1].正因為如此，高中數學課程標準一再強調高中學生必須在九年義務教育數學課程標準的基礎上，做到具有必要的數學基礎知識、基本技能以及基本數學思想.在此，對初高中數學教材中數學思想的銜接性問題進行梳理顯得很有必要，對進一步提高教師對數學思想教學的重視程度也有積極意義.（以調研區北師大版初中數學教材和人教版高中（必修）為例）

2 初高中課程標準中數學思想的銜接性

《全日制義務教育數學課程標準（修改稿）》（以下簡稱義務教育標準）和《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱高中標準）在總體目標中都指出讓學生“獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想和必要的應用技能.”這說明了數學思想在基礎教育階段的重要性.表1就兩種課標中提到的數學思想加以列舉比較[2].

從表1中，可以看出對初高中數學教學中數學思想滲透的重視，而且在數學思想的銜接上呈現出基本一致的整體性和螺旋上升的延續性.這就為教師在教學過程中對數學思想的滲透提供了理論基礎和規范性.

3 初高中教材中部分主要數學思想的銜接性

3.1 初高中教材中字母代替數思想的銜接性

用字母代替數思想是初高中數學中最基本的數學思想之一，也是代數的基本特征，它可以把數或數量關系簡明而普遍地表現出來，也可以使一些復雜的運算變得簡單，這是發展符號意識，進行量化刻畫地基礎，也是從常量研究過渡到變量研究的基礎[3].

初中案例1 （七年級上冊第99頁）你在心里想好一個兩位數，將十位數字乘以2，然后加3，再將所得新數乘以5，最后得到的數加個位數.把你的結果告訴我，我就知道你心里想的兩位數.你知道其中的道理嗎？

解 設你心里想好的兩位數的個位數字和十位數字分別是a和b，按照運算步驟，最后結果為10b+15+a，因此只要把計算結果減15，得到的數就是你心中想好的兩位數.以上例題，運用字母代替數的數學思想，用字母把數量關系表示出來，簡化了題目的解答，揭示了題目的本質.

高中案例2 （《中學數學解題》第134頁）

求證：2549>49！.

解析 要證2549>49！可證n+12n>n！（n∈N）.

因為n+12=n（n+1）2n=1+2+3+…nn

>n1×2×3×…×n

1+2+3+…nnn>1×2×3×…×n=n！

n+12n>n！，

n=49，得49+1249>49！.

以上例題，用字母n代替數字，即可證得2549>49！.

3.2 初高中教材中方程與函數思想的銜接性

函數思想一般就是指構造函數繼而利用函數的性質去處理問題，整理出函數解析式和靈活運用函數的特點是把握函數思想的關鍵.方程思想就是分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決的思想方法.二者是密不可分的.

初中案例3 （九年級下冊48頁例2）某旅館有客房120間，每間房的日租金為160元時，每天都客滿.經市場調查發現，如果每間客房的日租金增加10元，那么客房每天出租數會減少6間.不考慮其他因素，旅館將每間客房的日租金提高到多少時，客房日租金的總收入最高[4]？

解 由題意，設每間客房的日租金提高10x元，則每天客房出租數會減少6x間.設客房日租金總收入為W，得： W=（160+10x）（120-6x）=-60（x-2）2+19440，當x=2時，這時每間客房的日租金為160+10×2=180（元）.

答：當每間客房的日租金提高到180元時，客房收入最高，最高為19440元.以上例題，將得到的數量關系看作二次函數，進而配方求值.

高中案例4 （高三某復習資料）橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，短軸長為2，離心率為22，直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A，B，且AP=3PB.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求m的取值范圍.

解 （1）略.（2）設直線l的方程為y=kx+m（k≠0），l與橢圓C的交點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），由y=kx+m，

2x2+y2=1，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，Δ=4（k2-2m2+2）>0，x1+x2=-2kmk2+2，x1·x2=m2-1k2+2. 因為AP=3PB.所以-x1=3x2，3（x1+x2）2+4x1·x2=0代入整理得k2（4m2-1）+2m-2=0，所以k2=2-2m24m2-1>0，

解得-1 3.3 初高中教材中轉化與化歸思想的銜接性

轉化與化歸思想就是將原問題進行變形，使之轉化為熟悉的或已解決的或易于解決的問題，即可獲得原有問題的解決，解題過程就是不斷轉化的過程：化繁為簡，化難為易，化生為熟，從而使問題得以解決.

初中案例5

解方程組：x+y+z=23， （1）

x-y=1，（2）

2x+y-z=20.（3）

解 由方程（2）得x=y+1， （4）

把（4）代入（1）（3），得2y+z=22， （5）

3y-z=18.（6）

解由（5）（6）組成的二元一次方程組，得y=8，

z=6.

把y=8代入（4），得x=9.（摘自北師大版八年級上冊130頁例）以上例題，將三元一次方程組轉化成二元一次方程組，再轉化成一元一次方程，進而求得解.

高中案例6 （高中數學第二冊（上）第27頁例1）已知a、b、c、d都是實數，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：ac+bd≤1.

證明 設b=sinα，a=cosα，c=cosβ，d=sinβ；則ac+bd=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）≤1.

以上例題，運用轉化思想，將其轉化成三角函數，進而證明.

3.4 初高中教材中數形結合思想的銜接性

數形結合就是以“形”直觀地表達數，以“數”精確地研究形.它包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，而第二種情形是“以形助數”.兩方面有機結合才是完整的數形結合.數學大師華羅庚曾經說過，數離形時少直觀，形離數時難入微.

初中案例7 （八年級上冊第7頁數學理解第2題）1876年，美國總統加菲爾德利用如圖1驗證了勾股定理.你能利用它驗證勾股定理嗎[4]？