基于認知負荷理論的二元均值不等式鏈教學設計

侯曉娟

【摘 要】 近年來，研究者越發重視認知負荷理論對教學設計的積極影響.以《二元均值不等式鏈》為例，基于認知負荷理論進行教學設計，并指出不等式鏈教學設計中應用的策略：多元表征教學內容、建立新舊知識的聯系、減少全新信息源的引入、減少圖形搜索過程、簡潔呈現教學內容、注重語言引導.就不等式鏈教學中如何整合內容，加深學生理解進行思考.為教師進行教學設計提供參考.

【關鍵詞】 認知負荷理論；二元均值不等式鏈；設計策略

二元均值不等式鏈（21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22（a>0，b>0），當且僅當a=b時，等號成立）既是基本不等式的拓展，也是高等數學中均值不等式Hn（調和平均數）≤Gn（幾何平均數）≤An（算術平均數）≤Qn（方冪平均數）的特例.二元均值不等式鏈（以下稱為不等式鏈）是現行中學數學教材中唯一的基本不等式鏈，其蘊含著簡潔統一的數學美.多年來，其證明方式多種多樣，不同的證明方法從代數、幾何、三角、函數、向量、統計、方程等角度展開[13].但在實際教學中，對不等式鏈的重視不夠，只是簡單利用代數方式得出結論，學生很難體會到不等式鏈的內在本質.教師在不等式鏈的教學中如何尋求知識間的內在聯系，選擇恰當的證明方法，以幫助學生建構完善的知識體系，是一個值得思考的問題.

認知負荷理論要求教學設計充分考慮到工作記憶的容量限制，以降低學生的外在認知負荷并適當增加相關認知負荷[45].我國當前有關教學設計的研究大多從教師的“教”入手，致力于“有效地教”的理論建構與現實踐行，卻在一定程度上有意或無意地忽視了“有效地學”[6].課堂的教學效果體現在學生學得怎么樣，而不是教師教得多精彩.教師在進行教學設計時忽略了學生的認知能力，在對知識的整體把握和呈現方式等方面增加了學生的認知負荷.在已有研究的基礎上，以不等式鏈為例，基于認知負荷理論進行教學設計，以最大程度降低學生的認知負荷，幫助學生加深對不等式鏈的理解，建構知識體系.

1 認知負荷理論

人類只能監控工作記憶中的內容，其他所有認知內容除非進入工作記憶，否則均是隱形的，但工作記憶容量十分有限，大概一次能保存七項信息.由于工作記憶常用于處理信息，導致其只能同時處理兩到三個信息項[7].為保證學習效果，需要加工的信息總量應控制在記憶系統的容量內.當解決①α=30°|sinα；②α=15°|sinα兩個問題時，在工作記憶中需要加工和存儲的信息總量存在差異.Sweller等人將工作記憶在完成任務過程中需要加工和存儲信息的全部數量稱為認知負荷[8].

在信息加工和存儲過程中，施加的認知負荷取決于材料的內在本質（內在認知負荷）、材料的呈現方式（外在認知負荷）以及工作記憶在對學習任務進行建構或自動化的過程中承受的負荷（相關認知負荷）[45].由于內在認知負荷是被處理材料的固有屬性，它不能通過教學設計進行修改.良好的教學設計應考慮降低學生的外在認知負荷并適當增加學生的相關認知負荷.

2 “二元均值不等式鏈”教學設計

不等式鏈是“人教版”高中數學選修45中基本不等式的拓展內容，作為正數的調和平均數、幾何平均數、算術平均數與平方平均數的大小關系，對學生不等式的學習具有重要意義，有助于學生形成良好的知識體系.但不等式鏈的形式復雜，是學生學習的難點.在進行教學設計時，新舊知識是否建立聯系、課件中教學內容的呈現是否簡潔、教師的教學言語是否恰當等都會影響學生的認知負荷.在充分考慮以上因素的情況下，進行如下的不等式鏈教學設計.

2.1 教學內容處理設計

將不等式鏈的代數形式（如圖1）與幾何形式（如圖2）相結合，考慮到新舊知識之間的聯系，選用切割線定理模型，進行教學設計.采用合作探究，建構模型的教學方式，培養學生分析問題和解決問題的能力.

在不等式鏈的教學設計中，通過幾何表征和代數表征講解不等式鏈可以使學習者更深入地理解其復雜的結構特征，并促進學生將該知識應用于幾何領域，因為每種表征方式都為學生提供了獨特的視角.

2.2 教學過程設計

⑴ 在復習基本不等式與切割線定理的基礎上，教師引導學生進行小組合作探究建構不等式ab

當講授不等式鏈這個內容時，學生需要理解不等式鏈涉及的四個平均數之間的復雜關系，學生的內在認知負荷較高.在這種情況下，建立新舊知識間的聯系是降低學生認知負荷總量的前提，否則，認知負荷總量可能超過工作記憶的容量，阻礙學生學習.教師引導學生建構簡單模型，使不等式鏈與基本不等式的知識聯系起來，培養學生合作探究，數學建模的能力.

⑵以學生小組探究建構的不等式ab

教學內容上，對已得到的幾何模型進行深入探究，避免由于引入新模型，增加學生額外的工作記憶負荷.呈現形式上，采用①②③④標識線段，改變以往利用大寫字母標識線段的方式，避免在圖形搜索過程中，學生的工作記憶系統需要保持的文字或符號信息過多，引起較大的外在認知負荷，降低學習效率.

⑶在得知線段①②數學表達式分別為ab、a+b2的情況下，教師引導學生探究線段③④的表達式.首先簡化已有模型，只呈現與目標線段直接相關的內容，其余內容隱去.其次將已知線段的表達式標記在圖形中，學生通過觀察，利用射影定理可得出線段③的數學表達式為aba+b2.教師引導學生對aba+b2進行變形，并指出21a+1b為正數a、b的調和平均數，線段④的表達式a2+b22為正數a、b的平方平均數.

在已知線段①②表達式的基礎上，欲求線段③④的數學表達式.學生已經了解原模型的形狀，在計算線段③④的過程中，將原模型中的圓形、部分線段隱去，簡化成三角形，以降低學生的外在認知負荷.此時，學生很容易發現三角形中蘊含的解決問題的信息，提高課堂教學的效率.

圖10⑷在得出不等式鏈的基礎上（圖10），教師進行語言表述“基本不等式滿足當且僅當a=b時，③=①=②=④.”

設計意圖 通過簡單的課件呈現輔助語言表述，可以避免屏幕上顯示文本與語言表述的重復，否則，學生將在工作記憶中對相同內容進行兩次處理.這種重復處理的過程可能中斷工作記憶中有益的認知過程.利用基本不等式的典型特征類比不等式鏈，引導學生從代數角度進一步猜想并證明，培養學生分析問題、解決問題的能力.

3 “不等式鏈”教學設計中體現的設計策略

為降低學生的認知負荷，在二元均值不等式鏈教學設計中，體現了以下教學設計策略：

3.1 多元表征教學內容

在講解某數學知識時，嘗試以幾何、代數、函數、向量、統計、方程等不同的形式進行處理.這體現了認知負荷理論的多元表征原則，即自然科學的大多數領域中，信息可以通過圖形、表格、文本或公式等不同的表示形式來呈現，以增加相關認知負荷，有助于學生理解知識.

教師在進行教學設計時，要以多種方式表征同一知識點，使知識成為學習者思維導圖中的一點，而不是單獨的知識片段，幫助學生形成良好的知識體系.同時，將知識以不同的形式表達，可以使學生從不同角度認識知識，深入理解其內涵.

3.2 建立新舊知識的聯系

在講解某數學知識時，要設法將其與已有知識聯系起來進行教學設計，以防止給學生施加過高的認知負荷.這體現出認知負荷理論的相鄰性原則，即在時間或空間上呈現意義相鄰的內容，以增加相關認知負荷，提高教學的有效性.

教師在進行教學設計處理教學內容時，要設法在學生已有知識的基礎上架起通向新知的橋梁，達到知識的同化與順應，以幫助學生形成良好的知識體系.

3.3 減少全新信息源的引入

教學設計中各信息源之間要具有聯系，減少全新信息源的引入，避免認知負荷的提高.這體現了認知負荷理論的分散注意原則，即在進行教學設計時，要避免學習者將注意力分散在多個信息源上，減少學習者在心理上對不必要內容的整合，以降低外在認知負荷，提高學習效率.

教師在進行教學設計時，要避免過多地引入新問題，可以就一個問題由淺入深地進行探究，這樣可以減少學生對新問題的再整合過程，降低外在認知負荷.

3.4 減少圖形搜索過程

在進行幾何圖形相關的教學設計時，要減少字母的應用，盡量采用“符號標識+語言引導”的形式組織教學.這體現認知負荷理論的形式化原則，即當借助多媒體解釋問題時，信息應以聽覺材料輔助直觀的視覺材料進行呈現，以降低外在認知負荷，提高課堂學習效率.

圖12例如在不等式鏈的教學設計中，同一問題可以有多種呈現方式.圖11，學生對線段（AD、DN等）的搜索時間是影響學生學習效率的一個重要因素.圖形搜索過程中工作記憶系統需要保持文字或符號信息，從而引起較大的外在認知負荷.而圖12的呈現方式，教師利用簡單的言語表述就可以引導學生對四條線段進行計算.

3.5 簡潔呈現教學內容

在對課件進行設計時，將無關內容隱去，簡潔呈現，突出重點.例如在均值不等式鏈的教學設計中，將原模型簡化為三角形進行講解體現這一策略.這體現出認知負荷理論的相干性原則，即在借助多媒體解釋內容時，應當包含較少的無關文本和聲音，降低外在認知負荷，有利于學生理解教學內容.

在進行教學設計時，不相干的圖片、聲音或音樂等內容，都會增加學生的認知負荷，進而影響學生的學習.簡單地說，在設計利用多媒體呈現教學內容時，簡單的材料比復雜的修飾材料學習效果好.

3.6 注重語言引導

在教學過程中，注重語言的引導，減少課件中顯示的文本內容，學生學習效果好.這體現了認知負荷理論的冗余性原則，即在借助多媒體呈現內容時，應避免屏幕顯示文本與語言表述產生冗余效應，避免外在認知負荷的增加.

例如不等式鏈教學設計（圖3），在復習切割線定理（分割、分行呈現）的基礎上，以簡單的圖示呈現問題，教師用語言表述“同學們能利用切割線定理建構一個幾何模型得出不等式ab 基于認知負荷理論，從教學內容的處理、教學過程的開展、教學課件的設計、師生語言交流等方面進行教學設計，以增加學生的相關認知負荷，并降低學生的外在認知負荷.教師在日常教學中，要全面考慮并設計教學各環節，應用多元表征教學內容、建立新舊知識的聯系、減少全新信息源的引入、減少圖形搜索的過程、簡潔呈現教學內容、注重語言引導等策略進行教學設計，提高學生課堂學習效率，鼓勵學生探索知識，培養學生的創造思維.

參考文獻

[1] 張蜀青，曹廣福.大學教師與中學教師關于《基本不等式》的“同課異構”評析[J].數學教育學報，2015，24（6）：40-43.

[2] 方亞斌.怎樣認識新課標中的基本不等式[J].數學通報，2013，52（2）：32-38.

[3] 謝婉彬.例談用構造法證明均值不等式鏈[J].福建中學數學，2009（12）：40-41.

[4] J Sweller.Cognitive load theory，learning difficulty，and instructional design[J].Learning & Instruction，1994，4（4）：295-312.

[5] BS Hasler，B Kersten，J Sweller. Learner control，cognitive load and instructional animation[J].Applied Cognitive Psychology，2007，21（6）：713-729.

[6] 汪明，曹道平.基于認知負荷理論的有效教學設計研究[J].現代教育技術，2013， 23（5）：16-19.

[7] J Sweller，JJGV Merrienboer，FGWC Paas.Cognitive Architecture and Instructional Design[J]. Educational Psychology Review，1998，10（3）：251-296.

[8] J Sweller.Cognitive Load During Problem Solving∶Effects on Learning[J].Cognitive Science， 1988，12（2）：257-285.