對教師理解數學的重要性的探究

鐘進均

【摘 要】 數學學科知識、一般教學法知識和數學學習知識等對于數學教師來說都是必需的.教數學的第一要素是精通數學學科知識，鉆研數學教學內容.教師理解好數學，是教好數學的前提，包括要理解數學概念，理解數學思想方法，理解數學知識的結構和聯系，理解數學知識的表征方式，理解數學知識的文化背景.

【關鍵詞】 教師；理解數學；重要性

1986年美國的舒爾曼（Lee S. Shulman）教授首次提出學科教學知識的概念，即Pedagogical Content Knowledge，簡稱PCK，將其定義為“教師個人教學經驗、教師學科內容知識和教育學的特殊整合”.舒爾曼試圖在教師資格認證制度中重新重視學科知識在教學中的重要性，指出學科問題對教學很重要，如教師對學科的理解如何影響他們的教學質量[1].按照“教與數學對應原理”，教數學的第一要素是精通數學，鉆研數學教學內容.一個對數學認識淺薄的人是無論如何也不能成為好數學教師的[2].因此，教師要重視對數學的理解.

1 教師理解數學的重要意義

高水平的數學教師應能將數學知識“深入淺出”地傳授給學生.能否“深入”，取決于教師本身的數學水平；能否“淺出”，取決于教師的教學水平.數學教師的數學水平，主要表現在教師對數學知識的通透理解上.“當前教師培訓和研修中，過分倚重于教學理念和方法，而數學學科知識則受到冷落.許多教師往往對教學方法研究情有獨鐘：研究教學導入藝術，研究指導探究的藝術，研究練習設計的藝術……但作為一名數學教師，卻唯獨忘了研究那些貌似簡單卻內涵深刻的數學知識”，“在目前的數學教學中，存在著一種‘會而不懂的現象，即學生會機械做題，但不太理解數學，數學學習演變成了一種形式化的、無意義的、機械式的解題訓練”，“數學教師的數學理解水平，直接決定了學生的數學理解水平，影響到學生的數學能力的發展”[3].數學教師首先要“教得對”，也就是教給學生正確無誤的知識，然后才是“教得好”，即教學效果好.否則，數學教師就會誤人子弟.

2 教師理解數學的幾個重要方面

2.1 理解數學概念

“概念是事物本質的反映，是對一類事物概括的表征”，“概念學習是知識學習的最基本形式”[4].數學概念是反映數學對象的本質屬性的思維產物[5].“數學概念的形成過程是一個歸納、概括、抽象的過程”，“數學概念從其形式上看，它是中學數學的表層知識.但是，一個數學概念的背后往往是蘊含著豐富的數學思想，有的數學概念本質上就是一種數學觀念，是分析、處理問題的一種策略和基本方法.理解、掌握蘊含于數學概念中的思想方法，始終是數學概念教學的重要議題”，“數學概念的理解，并不是對孤立的單一概念的簡單分析，往往涉及與之有著邏輯聯系的相關概念和有著非邏輯聯系的概念.每個概念都是認知網絡結構中的一員，對它的理解的深刻與否，除了取決于對內部圖式結構的認識外，很大程度上取決于它與相關知識的聯系的多少與強弱”，“對一個數學概念的學習，并不是僅僅能記住它、說出它的定義、認識代表它的符號，而是要真正能夠把握它的本質屬性.盡管在數學對象的定義里已經反映了概念的本質屬性，但要真正把握它的本質屬性并不是那么容易的”[2].數學概念教學是數學教學的核心.因此，教師要準確理解和掌握數學概念.

如在概率中，對于基本事件的認識，有人認為基本事件是絕對的，也有人認為它是相對的[3].在依照基本事件的定義（在一個特定的隨機試驗中，稱每一個可能出現的結果為一個基本事件）難以對基本事件的本質確切理解的情況下，我們通過查閱資料和求教專家可知，其實基本事件的確定依賴于樣本空間的構造.對于同一個隨機試驗，分析問題時選取不同的角度，就會得到不同的樣本空間，相應的基本事件也會各不相同.比如投擲一枚骰子，求正面出現的點數為奇數的概率.若記事件A為“正面出現的點數為奇數”，用ei（i∈{1，2，3，4，5，6}）表示“正面出現的點數為i”這一基本事件，那么基本事件的空間Ω={e1，e2，e3，e4，e5，e6}，共包含了6個基本事件，此時事件A包含了e1，e3，e5這3個基本事件，故P（A）=36=12.如果把這一隨機試驗的結果看成是由“正面出現的點數為奇數”（即事件A）、“正面出現的點數為偶數”（記為“事件A”）這兩個基本事件構成的，此時Ω={A，A}，故P（A）=12.解法不同，但結果一樣.可見，基本事件是相對的，而不是絕對的[3].

又如，直線的斜率為k=tan α，其中α是該直線的傾斜角.為什么k=tan α，而不是k=sin α或者k=cos α？從建立直線方程的角度來看，直線上的動點P（x，y）與作為不變量的傾斜角α不能直接建立起關系，還必須將傾斜角α進一步代數化，變量（x，y）與不變量——斜率k才能建立起關系.在對傾斜角α進行代數化時，之所以使用了正切而不是正弦或余弦，是因正切函數的單調遞增性，即無論α是銳角還是鈍角，此時都是傾斜角α越大，則斜率k越大，正弦和余弦函數就達不到如此的實際效果[6].

所以，我們要理解概念的內涵和外延，注重概念的形成過程和表征方式，注重概念蘊含的數學思想方法.

2.2 理解數學思想方法

涂榮豹教授指出：“我國的數學教育從來都是把具體數學知識的學習放在第一位，殊不知學過數學的絕大部分人都會把那些具體的數學內容遺忘掉，惟有數學學習中留在心靈深處的數學精神和數學思維方法刻骨銘心，永不磨滅”[2].“如果說表層知識可以用文字和符號來記錄和描述，那么思想方法與知識技能融于一體，這樣，思想方法有載體，知識技能有靈魂，才能真正幫助學生理解數學”[3].因此，教師要加強對數學思想方法的理解.

數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題.通常混稱為“數學思想方法”.常見的數學四大思想為：函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合[3].