感受數學的對稱美，揭開高考數學的神秘面紗

李蕾

數學中的美無處不在，優美且和諧的黃金分割、神奇且神秘的函數、美麗且誘人的幾何圖形，數學處處蘊含著豐富而又純凈的美.古往今來，“對稱”一直是人們所追求的，而這種美在數學中也表現的淋漓盡致.下面我們就通過2017年江蘇高考數學解析幾何題的對稱解法去感受這種美.感受之余層層推進，揭開這種美的本質根源.

1 直觀對稱，數學之美

圖1例題 （2017年江蘇17）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點分別為F1、F2，離心率為12，兩準線之間的距離為8，點P在橢圓E上，且位于第一象限.過點F1作直線PF1的垂線l1，過點F2作直線PF2的垂線l2.

（1） 求橢圓E的方程；

（2） 若直線l1、l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標.

對于命題組提供的答案此處不作具體介紹.下面筆者利用圖形的對稱性給出如下分析：

第（1）問易得橢圓E：x24+y23=1（過程略）.

對于第（2）問，因為PF2⊥QF2，由圓的性質可知：點F1，F2在以PQ為直徑的圓上.結合圓和橢圓的對稱性可知，P，Q只可能出現以下兩種情況：

圖2第①種情形：P，Q在x軸的上方（如圖2所示）.

由圓和橢圓的對稱性可知，P，Q應該關于y軸對稱，因此可設P（x，y），則Q（-x，y）.因為PF2⊥QF2，所以yx-1·y-x-1=-1，化簡得：y2=x2-1.又點P在橢圓上，所以x24+y23=1，聯立解得x=477，

y=377. 所以此時點P坐標為（477，377）.

第②種情形：P，Q在x軸的異側（如圖3所示） .

圖3由圓和橢圓的對稱性可知，P，Q應該關于原點對稱，因此可設P（x，y），則Q（-x，-y），因為PF2⊥QF2，所以yx-1·-y-x-1=-1，化簡得：y2=1-x2.又點P在橢圓上，所以x24+y23=1，所以x24+1-x23=1，化簡得：x2=-8，方程無解.

綜合①②可知滿足題意的點P有且只有（477，377）一個，如果去掉象限限制，由對稱性可知有四個點滿足.

2 反思探究，層層推進

反思1 對于第②種P，Q在x軸的異側的情形，是否所有的橢圓都不存在這樣的點P滿足題意呢？

探究1 一般化不妨設橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0，c=a2-b2），

設P（x，y），則Q（-x，-y）.因為PF2⊥QF2，所以yx-c·-y-x-c=-1，化簡得：y2=c2-x2.又點P在橢圓上，所以滿足x2a2+y2b2=1，所以x2a2+c2-x2b2=1，

化簡得：x2=a2（c2-b2）c2……（※）

如不考慮象限限制，顯然有以下結果：

當c=b時，（※）式有一解，滿足題意的點有兩個；

當c>b時，（※）式有兩解，滿足題意的點有四個；

當c 而江蘇的這道考題中c=1 反思2 對于第①種情形，化簡之后點P滿足y2=x2-1，即x2-y2=1，我們發現這是以橢圓的焦點為頂點的等軸雙曲線的方程，從而點P即為此等軸雙曲線與橢圓的交點.那么不禁聯想：對于一般的橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0，c=a2-b2）與以其焦點為頂點的等軸雙曲線F：x2-y2=c2的交點是否都能夠滿足題意？

圖4探究2 設P（x0，y0）為兩曲線的交點，要證明點P滿足題意，即證PF2⊥QF2（其中點Q為雙曲線與橢圓的另一交點，且與點P關于y軸對稱），故只需證明：y0x0-c·y0-x0-c=-1，化簡后只需證明x20-y20=c2.又因為點P在雙曲線F：x2-y2=c2上，所以x20-y20=c2顯然成立，從而一般化的結果也成立.

3 揭開面紗，回歸本源

在探究2的證明過程中，不難發現，只要點P在等軸雙曲線F：x2-y2=c2上，點P就會滿足PF2⊥QF2，于是我們有了如下漂亮的結論：

結論 點P，Q是等軸雙曲線F：x2-y2=c2上關于y軸對稱的兩點（異于頂點），則以PQ為直徑的圓必過雙曲線的頂點A，B.

此結論的證明與探究2的證明類似，此處不再重復.

進一步，由雙曲線的對稱性可知kAP=-kBQ，結合之前的證明可知kBP·kBQ=-1，所以kBP·kAP=1，看到這一結果，我們很快聯想到雙曲線一個耳熟能詳的結論.

圖5本源 雙曲線F：x2a2-y2b2=1上異于頂點A，B的點P滿足：kBP·kAP=b2a2.

而此前的等軸雙曲線的結論只不過是其特例罷了.

至此我們利用對稱，層層推進，揭開了此道高考題的神秘面紗，回歸本源.

4 總結回顧，反思提高

通過這道2017年江蘇高考題的對稱解法的欣賞以及其本源的探究，筆者認為我們在平時的教學過程中應該注重以下幾點：

4.1 注重基本方法、基本能力的培養

事實上，對于本題命題組給出的參考答案以及筆者所教學生反饋的方法基本都是聯立直線和橢圓方程，解到交點之后再代入橢圓方程，有一定的運算量.但這是最樸實的方法，也是絕大多數學生對這道題的第一反應.我們應該尊重自己的第一反應，因此教學時必須重視基本方法（通解通法）、基本能力（如運算能力）的培養.

4.2 注重分析能力，探究能力的培養

對于本文的例題，圓錐曲線對稱性的利用，以及此題轉化為要證明以PQ為直徑的圓必過橢圓的焦點的發現，層層推進，揭示問題本質根源的過程，都需要我們在平時的教學過程中注意培養學生分析問題解決問題的能力，培養學生類比聯想，轉化化歸的能力.我們應該鼓勵學生擁有一顆質疑探究的心，激勵學生擁有永不止步的勇氣.長此以往，學生的綜合數學素養必定會得到很大的提高.

正所謂：夯實基礎，便可行遍天下路；插上思維的翅膀，我們定能展翅翱翔.