“帽子問題”及其衍生問題

司志本+張琪

“帽子問題”是大家比較熟悉的一道思維訓(xùn)練題.如果你閱讀一些有關(guān)博弈論的書籍，那么你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，博弈論中一些比較經(jīng)典的問題與“帽子問題”是非常相似的，我們可以把這些問題視為“帽子問題”的衍生問題.經(jīng)常思考一些這樣的問題，對(duì)于訓(xùn)練我們的思維是十分有益的.

例1 帽子問題.

這是一個(gè)游戲，A、B、C三個(gè)人圍坐在一起，主持人備有3頂紅帽子和2頂白帽子.將其中的3頂帽子分別戴在這三個(gè)人的頭上.每個(gè)人都能看見其他兩個(gè)人頭上的帽子，但看不見自己頭上戴的帽子，并且也不知道剩余的2頂帽子的顏色.

主持人首先問A： “你戴的是什么顏色的帽子？” A回答說：“不知道.” 接著，主持人又問B同樣的問題，B想了想之后，也回答說：“不知道.”主持人最后問C，C回答說：“在聽了A、B的回答之后，我知道我戴的帽子是什么顏色了.” 請(qǐng)問C戴的是什么顏色的帽子？

分析 首先，不可能有兩個(gè)人同時(shí)戴白帽子.例如，假設(shè)A 、B戴的都是白帽子，那么C不需要聽取A、B的答案，就能夠判斷出自己戴的是紅帽子；其次，不可能只有一個(gè)人戴白帽子.事實(shí)上，假如A戴的是白帽子，那么對(duì)于C來說，他看到的情況是：A戴白帽子，B戴紅帽子，因?yàn)椴豢赡苡?人都戴白帽子，所以，C由此可以判斷，自己戴的一定是紅帽子.

上述的“帽子問題”也經(jīng)常以下面的形式出現(xiàn)：

C、B、A三個(gè)人從前到后站成一列，主持人備有3頂紅帽子，2頂白帽子，將其中的3頂帽子分別戴在這三個(gè)人的頭上，他們都只能看見站在自己前面那些人的帽子.主持人首先問排在最后面的A： “你戴的是什么顏色的帽子？”A回答說：“不知道.” 接著，主持人又問B同樣的問題，B也回答說：“不知道.”主持人最后問C. C回答說：“在聽了A、B的回答之后，我知道我戴的帽子是什么顏色了.” 請(qǐng)問C戴的是什么顏色的帽子？

分析 站在最后邊的A不知道自己所戴帽子的顏色，說明他前面的B和C所戴的帽子不都是白色的，否則，A就能夠判斷出自己戴的是紅帽子了；此時(shí)，如果排在第一位的C戴的是白帽子，那么排在第二位的B根據(jù)A的回答，就可以判斷自己戴的不是白帽子，而是紅帽子；現(xiàn)在B也不知道自己帽子的顏色，這就說明C戴的不是白帽子.所以，C戴的帽子一定是紅色的.

“帽子問題”中的人數(shù)還可以增加.例如4個(gè)人的情況就是下面的問題：

有A、B、C、D四個(gè)人圍坐在一起，主持人準(zhǔn)備了4頂紅帽子，3頂白帽子.將其中的4頂帽子分別給這四個(gè)人戴在頭上.他們每個(gè)人都能看到別人的帽子，但看不到自己頭上帽子的顏色.主持人對(duì)他們四個(gè)人說：“你們中間至少一個(gè)人戴的是紅色帽子，你們知道自己頭上帽子的顏色嗎？”四個(gè)人都說不知道.主持人連續(xù)問了三次同樣的問題，他們都說不知道.當(dāng)主持人問到第四遍時(shí)，四個(gè)人同時(shí)回答說：知道了.請(qǐng)問，這四個(gè)人所戴帽子是什么顏色的？

分析 如果A、B、C、D這四個(gè)人中只有一個(gè)人的帽子是紅色的，不妨假設(shè)A的帽子是紅色的，那么A看見另外三個(gè)人的帽子都是白色的，此時(shí)，主持人第一次提問時(shí)，A就能判斷出自己的帽子是紅色的.主持人第一次提問時(shí)，四個(gè)人都回答說不知道自己帽子的顏色，這說明不止A一個(gè)人的帽子是紅色的；如果只有兩個(gè)人的帽子是紅色的，不妨假設(shè)A和B的帽子是紅色的，那么A和B兩個(gè)人會(huì)看見一個(gè)人戴紅帽子，兩個(gè)人戴白帽子，進(jìn)而判斷出自己戴的是紅帽子，在主持人第二次提問時(shí)，A和B就會(huì)給出答案.因此不可能只有兩人戴紅帽子；如果只有三個(gè)人的帽子是紅色的，不妨假設(shè)A、B、C的帽子是紅色的，那么A、B、C中任意兩個(gè)人會(huì)看見兩個(gè)人戴紅帽子，一個(gè)人戴白帽子，由前面分析可知，不可能只有一個(gè)或兩個(gè)人戴紅帽子，所以，A、B、C可以判斷出自己戴的是紅帽子.主持人前三次提問時(shí)，四個(gè)人都說不知道.到這時(shí)，這四個(gè)人已經(jīng)判斷出他們的帽子都是紅色的了，所以，當(dāng)主持人第四次提問時(shí)，四個(gè)人同時(shí)回答說：知道了.他們四個(gè)人所戴的帽子都是紅色的.

例2 臟臉問題.

“臟臉問題”是許多博弈論書上都提到的一個(gè)問題，最簡(jiǎn)單的情況是這樣的：

一個(gè)房間里有三個(gè)人，三個(gè)人的臉都是臟的，他們都知道別人的臉是臟的，卻不知道自己的臉是臟的.這時(shí)主持人走進(jìn)來對(duì)他們說：“你們中間至少有一個(gè)人的臉是臟的.”這三個(gè)人聽完之后，互相看看，沒有任何反應(yīng)；主持人見他們這樣，又繼續(xù)提醒道：“你們知道嗎？”這時(shí)三個(gè)人又相互打量起來；當(dāng)主持人第三次提醒時(shí)，他們突然都意識(shí)到自己的臉是臟的.三個(gè)人的臉一下子都紅了.

分析 如果三個(gè)人中只有一個(gè)人是臟臉，那么臟臉人看見另外兩個(gè)人的臉都是干凈的，此時(shí)，主持人第一次提醒時(shí)，臟臉人就會(huì)意識(shí)到自己的臉是臟的，他就會(huì)感到臉紅.主持人第一次提醒后，三個(gè)人誰都沒有臉紅，這說明，不止一個(gè)人臉臟；如果只有兩個(gè)人臉臟，那么臟臉的兩個(gè)人會(huì)看見一張干凈臉和一張臟臉，進(jìn)而意識(shí)到自己的臉是臟的，當(dāng)主持人第二次提醒時(shí)，這兩個(gè)人就會(huì)臉紅.因?yàn)橹鞒秩说诙翁嵝褧r(shí)，沒有人臉紅，這說明不只兩個(gè)人的臉臟，所以，當(dāng)主持人第三次提醒時(shí)，三個(gè)人的臉都紅了.三個(gè)人的臉都是臟的.

例3 病狗問題.

大家都知道微軟公司的面試是與眾不同的，他們面試題大體上可以分為四類：第一類，快速估算題，測(cè)試你的快速反應(yīng)能力；第二類，開放性思維題，考驗(yàn)?zāi)愕倪壿嬐评砟芰Γ坏谌悾A(chǔ)數(shù)學(xué)題，考核你的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是否扎實(shí)；第四類，智力測(cè)試題，看你能否創(chuàng)造性地思考.下面的“病狗問題”就是微軟公司的一道招聘試題：

一個(gè)大院子里住了50戶人家，每家都養(yǎng)了一條狗，有一天他們接到通知說院子里有狗生病了，并要求所有主人在發(fā)現(xiàn)自己家狗生病的當(dāng)天就要把狗槍殺掉.然而所有主人和他們的狗都不能夠離開自己的房子，主人與主人之間也不能通過任何方式進(jìn)行溝通，他們能做的只是通過窗戶觀察別人家的狗是否生病，從而判斷自己的狗是否有病.第一天沒有槍聲，第二天還是沒有槍聲，第三天傳出一陣槍聲.問有多少條病狗被槍殺.

分析 如果只有1條狗是病狗，那么第一天這條病狗的主人發(fā)現(xiàn)另外的49條狗都是正常的，從而判斷自己的狗是病狗.因此，第一天主人就應(yīng)該把自己的狗給殺死.第一天沒有槍聲，說明至少有2條病狗.

如果只有2條病狗，那么第二天這2條病狗的主人只能看到1條病狗和48條沒病的狗.因?yàn)椴」范嘤?條，所以，2條病狗的主人可以判斷自己的狗是病狗，第二天應(yīng)該把自己的狗給殺死.第二天沒有槍聲，說明至少有3條病狗.

如果有4條或4條以上的病狗，那么每個(gè)主人至少能夠看到3條病狗.由于病狗的數(shù)量是不是3條無法確定，每個(gè)人也無法判定自己的狗是不是病狗，所以第三天就不會(huì)有槍聲.

第三天傳出槍聲，說明只有3條病狗.