高中數學“理解學習”之“理解”

張祖兵

摘要：本文在文獻的基礎上，分析了學生成績不理想的原因，闡述了筆者在數學“理解學習”上獨到的見解，構建了記憶理解，感官理解，理性理解以及構造理解的四種理解方式，表達了對于所謂的數學“學困生”的意見。

關鍵詞：理解；理解學習；數學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）06-0039

一、普通高中數學“理解學習”的現狀

數學作為高中教育的一門主要學科，對于每一個班級來說，總會有部分學生學習困難。學生學得不理想的原因是多方面、多角度的，多種原因結合就形成了這樣的結果。下面簡單舉幾個例子：

其一，學生性格會影響他們的學習。有些學生性格比較內斂，與同學溝通、交流非常少，很多時候他們沒有聽明白的，或者遇到不會的問題，他們往往不愿意主動問同學和教師。就因為這，他們失去了能夠及時理解知識的好時機。這樣的問題日積月累就造成了他們在數學學習上越學越覺得壓力大，從而影響了數學學習。

其二，學生學習方法不對。有些學生上課認認真真聽，下課依然玩得不亦樂乎，數學成績卻一直很好。反而，有時對于那些平常認真聽課，課后認真練習的學生來說，他們的成績反而不理想。因為這些學生的學習方法不恰當。他們主觀地認為高中數學的學習是靠做練習練出來的（當然，這也與教師強調練習有一定的關系）。所以這些學生在學習過程中所重視的不是理解知識內容，而是一味地盲目跟從教師的解題過程，沒想過每一步的理由，等解決之后，便豁然開朗地離去，因為他覺得他已經會了。然而，實際上，他是否真的會了，下次再出現，他一定可以順利地解答出來嗎？不一定，因為他沒有真正理解。正因為沒有真正地理解好知識，所以導致只能處理一部分練習題，達不到舉一反三的效果。

在以上兩種情況中，學生并未真正理解學習的內容，最終導致失去興趣以及信心。很多初中生剛進入高中的時候，都是信心飽滿的，他們已經做好了進入高中的思想準備，所以他們一直遙遙領先。但有些人沒有，他們在高中學習一段時間以后，便產生了一定倦怠，導致成績不理想。對于這些學生來說，有些人會因為家人、教師、同學的鼓勵以及自己的堅強意志，慢慢地拾起對數學學習的信心。然而，另一些人卻因此一蹶不振。對于他們來說，或許他們知道數學學習是必不可少的，但是每當他們看到自己的學習成績時，他們便對自己失去了信心，也對數學科目失去了興趣。他們覺得數學是那些成績好、聰明之人可以學好的，自己根本學不好。這樣，他們便不愿在數學上投入更多的時間，學習便進入了惡性循環。理解學習在此就顯得格外重要了。

所謂理解學習，指在理解的基礎上進行更深一步的學習。理解，字典解釋為：因每個人的大腦對事物分析決定的一種對事物本質的認識，就是通常我們所說的知其然，又知其所以然。一般也稱為了解或領會。理解與概念和問題都有密切關系，有時是互相重疊的。理解常以問題解決的方式來進行。對提出的問題所給予的回答，可以表現出理解的不同程度或不同水平。理解的標志之一，是對所理解的對象能用自己的話表達出來，包括對語言材料能加以改組，改變其表達方式。對某事物理解不確切，難以用自己的話表述，或僅能背誦原文，這說明對文句或事物并未有真正的理解。

二、對高中數學“理解學習”教與學的建議

很多人認為，數學就一定要做題，通過大量的練習可以提高數學成績，所以要想學好數學就要多做題，大量做題。然而，從實際效果來看，有些時候卻也增加了他們對這個觀點的誤解。事實上，在數學學習過程中，我們有時候可以把一些定理、結論等的來龍去脈弄得清清楚楚，有時候卻不需要如此。關鍵看你如何理解這些內容，并將其內化為自己的東西。練習固然重要，但是最重要的應當屬于“理解”。筆者將數學學習的理解方式分為四種，記憶理解，感官理解，理性理解以及構造理解。

1. 記憶理解。顧名思義，是利用我們自己的記憶，把一些定理、結論等通過一定的方式，先把它記住，而后再對其進行理解。在數學學習上，如有些公式、結論等不易理解，卻可以用一些口訣來記憶之時，可以先用口訣記憶，在記憶之后再慢慢理解。例如：函數f（x）變換到函數f（x+1），是將整個函數向左平移一個單位，記憶口訣平移變換的“左加右減”，記憶結束之后，再慢慢地借助特殊函數（比如二次函數，反比例函數等）來理解；對于必修5中的數列求和，有一種求和的方法叫做“錯位相減法”，可能學生在剛開始接觸的時候不能理解，為什么要用這樣的方法？為什么要乘以公比？為什么要“錯位”再相減？為什么錯位相減的結果中間一定是一個等比數列求和？為什么看到類似于an=n·2n的形式都可以使用這樣的方法呢？對于很多這樣的問題，一時難以全部讓學生理解接受。可以讓學生記住“錯位相減法”的具體題型以及相應的具體操作過程，待學生練習一定量的題目以后，可以給學生提點一下，為什么會出現這樣的情況，此時相信學生會很快理解并接受這個方法的。

2. 感官理解。根據人的感覺理解數學上的一些定理、結論、題型等。

（1）在對結論的理解時，如函數y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖像受三個量的影響，學生在學習它的平移、伸縮變換規律時不易掌握，讓學生分析觀察：

伸縮變換：y=sinx→y=sin2x

當x取原來的值時，函數值為sinx，經過變換以后當x取■時，函數值才為sinx。也就是說，當縱坐標不變時，橫坐標變為原來的一半。適時再舉例一些點，便可以讓學生很好地理解，為什么這樣的變換是“縱坐標不變，橫坐標變為原來的一半”；

平移變換：y=sin2x→y=sin（2x+■）

原函數當x=0時，函數值為y=sin0，經過平移變換以后，當x=-■時，函數值為y=sin0，也就是說（0，0）這一點平移到了（-■，0），這樣可以認為函數向左平移了-■個單位。等學生理解之后，再告訴學生不管是平移還是伸縮，僅僅對進行變換，這樣學生理解得就會更加深刻。

（2）在對練習的理解時，學生處理完練習之后，（上接第39頁）要達到舉一反三的效果，必須對所處理的練習進行跟蹤、理解并分析。例如在解三角形題型中，條件a=2bcosC的處理，也許有些人會利用正弦定理轉化為角，利用三角函數進行處理，也會有人利用余弦定理轉化為邊。但是就這樣一個條件，我們可以從它身上提煉得到：三角形當中的量除了邊就是角，在解三角形的題型中，往往會出現邊角同在的情況，遇到這樣的條件該如何處理。我們可以“邊角互化”，都化成邊或者角進行處理。所以以后一但遇到這樣的問題，肯定會有這樣的利用正弦定理或者余弦定理進行“邊角互化”的過程。再如，數列當中，主要的題型有求通項以及求通項an公式的前n項和，在求Sn過程中，主要方法有錯位相減，裂項相消，倒序相加等等。錯位相減主要針對一個等差數列以及一個等比數列對應相乘求和問題，所以在遇到數列問題，一旦遇到an·bn或者■求和問題，很有可能是錯位相減的做法，所以在求通項an以及bn之時可以做一個參考依據，而且可以給學生一個心理暗示：“這道題很簡單，不就是錯位相減嘛。”裂項相消問題主要是出現了分母相乘分之一這樣的形式，常見的是■，注意裂項以后要能夠還原，即恒等進行變換。所以只要見到■求和問題，很有可能是裂項相消的問題，這樣讓學生無形中給自己吃了一顆定心丸。這種理解也是筆者在學生面前強調再三的一種理解方式。

3. 理性理解。即對公式、結論的來龍去脈理解得非常透徹，比如在知道了正弦公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ之后，求sin（α-β）之時，只需要將β換成-β，利用公式sin（-β）=-sinβ，cos（-β）=cosβ，就可以直接可以得出sin（α-β）=sinαcosβ+cosαsinβ，在理解的基礎上加以記憶。再如，由倍角公式cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，可以得出cos2α=■，sin2α=■。這個降次公式運用得非常廣泛，而倍角公式是應該熟記的，在倍角公式基礎上得出降次公式易理解又便于記憶。

4. 構造理解。在對于一些結論、公式不便于記憶之時，我們可以自己構造一種理解的方式將它記憶，只要我們構造的理解方式不違背常理，就可以為我們所用。如在三角形中，有很多公式，有時候記憶起來不太容易，這時候我們可以構造一種記憶方式。筆者認為sine（正弦）比較“好”，而cosine（余弦）比較“霸道”，所以，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ正弦展開，“和”展開中間是“加號”“差”展開中間是“減號”；cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，而余弦展開，“和”展開中間反而是“減號”，“差”展開是“加號”，而且余弦“霸道”到硬是要將余弦綁在一起，出現余弦相乘的現象。這樣的理解方式不違背常理，而且便于記憶，還未以后的一些理解提供了方便。如降次公式cos2α=■，sin2α=■，降次公式都是由兩倍角余弦表示，由于余弦比較“霸道”，所以降次的時候，靠著都是余弦的關系，所以都是正的，而正弦相對比較“好”，它可以允許降次的時候是“負號”。

對于那些感覺數學學習比較輕松的學生來說，他們自己對于“理解學習”可以做得很好，可以自己主動尋找理解的方法，理解著去學習。對于所謂的“潛能生”來說，他們所表現出來的成績相對落后只是表象，那是因為他們還沒有建立起屬于自己的一套理解體系。如果每一個學生都能好好地挖掘自己的理解能力，理解學習，筆者相信每一個人都可以學得很好。

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（作者單位：湖北省公安縣第三中學 434300）