平面體系機動分析模式及其應用

王建祥+胡景龍+陳國新

摘要：平面體系的機動分析是結構力學課程教學中的重點和難點之一，是學習結構力學后續內容的基礎和前提。針對機動分析時學生遇到的實際問題，經過對大量習題的分析、歸納和總結，提出平面體系“2+2+3+4”機動分析模式，使平面體系機動分析過程可以按照一定的模式和步驟進行，讓看似無從下手的分析變得有章可循。針對三種不同機動分析方法，分別輔以例題對分析步驟進行詳細說明，為結構力學平面體系機動分析教學提供新的模式和參考。

關鍵詞：結構力學；平面體系；自由度；機動分析模式

中圖分類號：G642.0；TU311 文獻標志碼：A 文章編號：1005-2909（2017）03-0062-04

平面體系的機動分析主要是確定結構體系的幾何組成性質，判斷體系是否幾何不變及其約束情況。體系只有在幾何不變的情況下，才能作為結構使用 [1]。平面體系的機動分析是結構力學課程后續計算結構內力的基礎和前提，也是學習結構力學課程的重點和難點之一。判斷幾何不變體系只有兩剛片規則和三剛片規則，這兩個規則比較容易理解。但是，平面體系千變萬化，機動分析中概念多，技巧性強[2-3]，對于剛接觸結構力學課程學習的學生來說，往往覺得規則簡單，但分析時卻又感到無從下手。本文針對平面體系機動分析的特點，以及學生解題遇到的困難，經過分析、歸納和總結，提出平面體系“2+2+3+4”機動分析模式，使平面體系機動分析過程可以按照一定的模式和步驟進行，使看似無從下手的機動分析能夠有章可循。

一、 “2+2+3+4”機動分析模式

“2+2+3+4”機動分析模式，包括：兩個機動分析判斷準則、兩種體系類型、三種機動分析方法、四種結構簡化方法?！?+2+3+4”機動分析模式將平面結構體系的簡化、機動分析和判斷準則結合起來，相互聯系，前后呼應，共同組成了平面體系的機動分析模式。

（一）兩個機動分析判斷準則

1.兩剛片規則

兩個剛片用一個鉸和一根不通過此鉸的鏈桿連接，為幾何不變體系，且無多余約束；若鏈桿延長線通過此鉸，組成的體系則是瞬變體系。

2.三剛片規則

三個剛片用三個不共線的鉸兩兩相連，為幾何不變體系，且無多余約束；若三個單鉸在同一直線上， 組成的體系則為瞬變體系。

兩個判斷規則中連接的鉸，可以是實鉸，也可以為虛鉸。[4-5]

（二）兩種體系類型

根據體系與基礎連接鏈桿的個數，把體系分析為兩種類型。

第一種體系類型：體系與基礎連接大于三根鏈桿（r>3）；第二種體系類型：體系與基礎連接等于三根鏈桿（r=3）。如果體系與基礎連接小于三根鏈桿（r<3），則該體系為幾何常變體系，無需機動分析。

（三） 三種機動分析方法

針對平面體系兩種類型，主要有三種機動分析方法。

對于第一種體系類型，即體系與基礎連接大于三根鏈桿（r>3），機動分析時，首先把基礎作為一個基本剛片，然后根據具體情況，又分為兩種分析方法。一是該結構體系局部可以和基礎構成幾何不變體系，基本剛片可以擴大至局部幾何不變部分，然后依次將基本剛片由小到大、由下到上、由里向外一層層進行分析，可以通過擴大基本剛片到整體。二是該結構體系局部不能和基礎構成幾何不變體系，或者可以構成幾何不變，但不能通過擴大剛片至整體。這種情況為，基本剛片如果能擴大應先擴大基本剛片，然后簡化其余結構為最多兩個剛片（或一個剛片），加上基礎剛片，應用三剛片規則（或兩剛片規則）進行分析判斷。這種情況關鍵在于簡化體系。

對于第二種體系類型，即體系與基礎連接等于三根鏈桿（r=3），且滿足兩剛片規則（不滿足兩剛片規則時，為幾何常變體系，無需機動分析），只需分析體系內部幾何不變性即可。將體系內部簡化為最多三個剛片（或兩個剛片、一個剛片），然后根據三剛片（或兩剛片）規則分析幾何組成，判斷是否為幾何不變體系。

（四） 四種簡化方法

（1）結構體系內部幾何不變部分可以簡化為一個剛片。常見的如鉸結三角形可簡化為一個剛片，在此基礎上，看能否增加二元體等，將剛片擴大，直至該剛片不能再擴大為止。

（2）只有兩端是鉸的折桿、曲桿等其它形狀的桿可以簡化為一根鏈桿。

（3）連接兩個剛片的兩根鏈桿可以簡化為一個虛鉸。

（4）可以拆除二元體，簡化體系。

二、 機動分析步驟

平面體系機動分析的步驟及流程，如圖1所示。

（一）計算自由度

用以判斷體系屬于剛片體系還是鏈桿體系。剛片體系的自由度計算公式：w=3m-2h-r；鏈桿體系的自由度計算公式為：w=2j-b-r。采用自由度公式計算w，若w>0，體系一定幾何可變；若w≤0，滿足幾何不變的必要條件，則需要進行機動分析。

（二） 幾何組成分析

（1）簡化體系。判斷體系是否有二元體，若有先拆除二元體；兩端是鉸的折桿、曲桿等，桿簡化為一根鏈桿。

（2）判斷體系所屬類型。根據體系劃分標準，判斷該體系屬于第一還是第二種類型。

（3）選擇機動分析方法。根據體系所屬的類型和三種分析方法的要求，選擇該體系的機動分析方法。

（4）幾何組成分析過程。平面體系為第一種類型第一種分析方法的具體分析過程，見算例1。第二種分析方法的具體過程，見算例2。平面體系為第二種類型，應采用第三種分析方法，具體分析過程見算例3。

（5）判斷體系是否幾何不變。根據兩剛片規則或者三剛片規則判斷該體系的幾何不變性。

三、 算例分析

（一）算例1

對圖2所示體系進行機動分析。

解：（1）計算自由度

該體系屬于剛片體系，計算自由度：w=3m-2h-r=3×3-2×2-5=0。

（2）幾何組成分析

該體系用五根鏈桿與基礎連接，屬于第一種類型。首先把基礎作為剛片Ⅰ，從剛片Ⅰ開始， 增加二元體1-2，擴大剛片Ⅰ，剛片Ⅰ與剛片Ⅱ之間用一個單鉸和一個不通過此鉸的鏈桿3相連（圖3）。根據兩剛片規則，剛片Ⅰ與剛片Ⅱ組成幾何不變部分，即體系局部可以與基礎構成幾何不變，應采用第一種分析方法，分析過程如圖3所示。由地基（剛片Ⅰ）開始，它與剛片Ⅱ看作一個剛片，即將剛片Ⅰ擴大至剛片Ⅱ；該剛片與剛片Ⅲ之間又由不交于一點的鏈桿4、5、6相連，組成幾何不變的部分，繼續擴大剛片Ⅰ至剛片Ⅲ；它與剛片Ⅳ之間由鉸A和不通過鉸A的鏈桿7相連，組成幾何不變部分；最終，剛片Ⅰ擴大至整個體系。所以，該體系為幾何不變，且無多余約束。

（二）算例2

對圖4所示體系進行機動分析。

解：（1）計算自由度

該體系屬于鏈桿體系，計算自由度：W=2j-b-r=2×8-12-4=0。

（2）幾何組成分析

該體系用四根鏈桿與基礎連接，屬于第一種類型。首先把基礎作為剛片Ⅰ，簡化體系，并拆除二元體11-12。從剛片Ⅰ開始，先擴大剛片Ⅰ，依次增加二元體7-8、9-10、5-6，至此剛片Ⅰ不能再擴大，也無法擴大至整體。因此，該體系機動分析應采用第二種分析方法。然后，將其余結構簡化為一個或兩個剛片。將鉸接三角形作為剛片Ⅱ，剛片Ⅱ也無法再擴大，此時由分析可知，不滿足兩剛片規則要求，且有多余的鏈桿。因此，需要再選擇鏈桿13為剛片Ⅲ。此時， 剛片Ⅱ、Ⅲ之間由鏈桿1、2組成的虛鉸O1相連。剛片Ⅰ、Ⅱ之間由鉸O3相連，剛片Ⅰ、Ⅲ之間由鏈桿3、4組成的虛鉸O2相連，O1、O2、O3三鉸不在一直線上。所以，該體系幾何不變，且無多余約束（圖5）。

（三）算例3

對圖6所示體系進行機動分析。

解：（1）計算自由度

該體系屬于剛片體系，計算自由度：W=3m-2h-r=3×5-2×6-3=0。

（2）幾何組成分析

該體系與基礎用三根鏈桿連接，且滿足兩剛片規則，屬于第二種類型。因此，應采用第三種分析方法，只需要分析體系內部（圖7）幾何不變性，即把體系內部簡化為最多三個剛片。首先選擇3、4、5、6作為一個剛片，且該剛片可以擴大，依次增加二元體14-13、21-23，最后體系內部擴大為一個剛片。所以，該體系幾何不變，無多余約束。

四、 結 語

根據學生在學習平面體系機動分析中遇到的問題，歸納和總結教學方法和技巧，提出平面體系“2+2+3+4”機動分析模式，較好地解決了學生初學時感到無從下手的難題，使平面體系機動分析過程可以按照一定的模式和步驟進行。按照“2+2+3+4”機動分析模式，通過教師的課堂講解和課后一些題目的練習，學生反映該模式解題和分析效果較好。

參考文獻：

[1]邱秀梅，戴景軍，孫建武.平面體系幾何組成分析的方法技巧[J].力學與實踐，2009，31（2）：80-82.

[2]張琳楠，徐春暉，秦太驗.平面體系機動分析的一般方法[J].力學與實踐，2014，36（6）：738-741.

[3]魯彩鳳，魯鳳弟.從幾何組成分析中找到結構內力分析的方法[J].高等建筑教育，2012，21（5）：101-104.

[4]李廉錕.結構力學（上冊）[M].5版.北京：高等教育出版社，2010.

[5]龍馭球，包世華.結構力學I[M].3版.北京：高等教育出版社，2012.