Alexandrov空間的公理體系

張山山,李 扉，姚 衛

(1.河北科技大學理學院，河北石家莊 050018；2.北京林業大學理學院，北京 100081)

Alexandrov空間的公理體系

張山山1,李 扉2，姚 衛1

(1.河北科技大學理學院，河北石家莊 050018；2.北京林業大學理學院，北京 100081)

為了研究Alexandrov空間的內部公理體系和序方面的特征，利用點集拓撲學和Locale理論中的已有結論，將各結構限制到Alexandrov空間的框架中，得到Alexandrov空間的等價刻畫。研究結果表明Alexandrov空間在范疇意義下同構于Alexandrov鄰域系統、Alexandrov閉包算子、Alexandrov內部算子、Alexandrov導算子等，T0的Alexandrov空間同構于偏序集、對偶等價于完全生成格。Alexandrov空間可以用鄰域系統、閉包算子、內部算子、導算子，特殊化序和無點化序進行等價刻畫。

拓撲學；Alexandrov空間；鄰域系統；閉包算子；內部算子；導算子；特殊化序；完備生成格

Alexandrov空間是由前蘇聯數學家ALEXANDROV在1937年首次提出的，是指開集族對任意并和任意交都封閉的拓撲空間，其最初的名稱有離散空間(Diskrete R?ume，不同于現在的離散空間)、有限生成空間(finitely generated space)、主空間(principal space)等，JOHNSTONE在文獻[1]中首次稱這類空間為Alexandrov空間。可能因為這種拓撲過于簡單，同時也和度量拓撲不相符。在隨后的30年里，Alexandrov空間并沒有多少人去研究。20世紀70年代前關于這方面的學術論文只有1966年的2篇文獻[2-3]；20世紀70-80年代仍然沒有多少專門研究Alexandrov空間的文章[1,4-5]；20世紀90年代后, Alexandrov空間在數字拓撲領域得到了廣泛的應用[6-7], 這是因為Alexandrov空間和數字拓撲中的有限拓撲空間有很多相似的性質, 這個觀點在文獻[2—3]中也有體現,比如Alexandrov空間范疇是有限拓撲空間范疇的反射殼[5]。文獻[8]以數字拓撲的角度從基、分離性、連通性、函數空間、擬一致結構等方面對Alexandrov的空間進行了系統論述和研究。進入21世紀后, 對Alexandrov空間的研究主要集中在以下幾方面。1) 在粗糙集理論中，這是因為Pawlak粗糙集對應的拓撲空間恰是Alexandrov空間, 并且等價關系和滿足對稱分離性的Alexandrov空間之間具有一一對應關系[9-11]；2) 在模糊拓撲學中, 模糊形式的Alexandrov拓撲得到了研究[12-15]；3) 在數字拓撲學中, Alexandrov空間繼續被推廣為局部有限空間(每個點只有有限個開鄰域)[16-18], 這種局部有限性可以很好地描述數字拓撲的局部特征。

1 Alexandrov空間中的開集和閉集, 鄰域與鄰域系統

定義1 設X是一個集合,T是X的一個子集族。如果T滿足如下條件：

AT1)X，?∈T;

AT2)若{Ai|i∈I}?T,則∩iAi∈T;

AT3)若{Ai|i∈I}?T,則∪iAi∈T,

則稱T是X的一個Alexandrov拓撲, 稱偶對(X,T)是一個Alexandrov空間。

顯然，每一個具有有限個開集的拓撲空間是一個Alexandrov空間, 每一個建立在有限集上的拓撲空間是一個Alexandrov空間。另外，Alexandrov空間的閉集族也滿足公理條件(AT1-AT3)。

定義2 設X是一個非空集合, 如果每一個x∈X都對應X的一個子集族Ux并滿足:

N1)對于任何x∈X,Ux≠?;并且如果U∈Ux,則x∈U;

N2)如果U,V∈Ux,則U∩V∈Ux;

N3)如果U∈Ux,并且U?V,則V∈Ux;

N4)如果U∈Ux,則存在V∈Ux滿足條件:

i)U?V和ii)對于任何y∈V,有V∈Uy, 那么集族U={Ux|x∈X}稱為X上的一個拓撲鄰域系統, 偶對(X,U)稱為一個拓撲鄰域空間。

定義3 設U={Ux|x∈X}是集合X上的一個拓撲鄰域系統, 如果有：

TN)對于任意的x∈X, 如果{Ui|i∈I}?Ux,則∩iUi∈Ux,那么映射U稱為X上的一個Alexandrov拓撲鄰域系統。

定理1 設T是集合X上的一個Alexandrov拓撲,U是X上的一個Alexandrov拓撲鄰域系統, 則有：

1) UT是X上的Alexandrov拓撲鄰域系統;

2) TU是X上的一個Alexandrov拓撲。

證明 1)設{Ui|i∈I}?Ux, 則存在開集族{Vi|i∈I}使得對于每一個i∈I都有x∈Vi?Ui,從而x∈∩iVi?∩iUi。由∩iVi是一個開集知，∩iUi∈Ux。

2)只需驗證TU對任意交封閉。設{Ai|i∈I}?TU, 任取x∈∩iAi, 則對于任意的i∈I都有x∈Ai, 從而Ai∈Ux,進而∩iAi∈Ux。

注1 令ATNgh為由Alexandrov拓撲鄰域空間構成的TNgh的滿子范疇, 則由定理1知,ATNgh與ATop同構。

2 Alexandrov算子

2.1Alexandrov閉包算子

點集拓撲學中的閉包算子是1922年KURATOWSKI在文獻[20]中首次引入的。

定義4 設X是一個非空集合, 如果映射Cl:2X→2X滿足：

C1)Cl(?)=?;

C2)對于任意的A?X,有A?Cl(A);

C3)對于任意的A,B?X,有Cl(A∪B)=Cl(A)∪Cl(B);

C4)對于任意的A?X,有Cl(Cl(A))=Cl(A),

那么稱Cl為X上的一個(Kuratowski)閉包算子,稱偶對(X,Cl)為一個閉包算子空間。

對于非空集合X上的一個拓撲X, 令ClT:2X→2X為

ClT(A)={x∈X|?U∈Ux,U∩A≠?}(?A?X),

則ClT是X上的一個閉包算子; 反過來, 對于非空集合X上的一個閉包算子Cl,

TCl={A?X|Cl(A′)=A′}

是X上的一個拓撲;而且有TClT=T和ClTCl=Cl[19]。拓撲空間和閉包算子的這種等價性, 如果用范疇論的語言來描述, 那就是拓撲空間范疇Top和閉包算子空間范疇Cl同構,其中Cl中的態射：稱f:(X,ClX)→(Y,ClY)是閉包算子空間之間的連續映射, 如果對于任意的A?X,有f(ClX(A))?ClY(f(A))。

定義5 設X是一個非空集合,Cl:2X→2X是一個閉包算子, 如果

CA)對于任意的{Ai|i∈I}?2X,有Cl(∪iAi)=∪iCl(Ai), 那么映射Cl稱為X上的一個Alexandrov閉包算子。

定理2 設X是一個非空集合, 則

1) 若T是X上的一個Alexandrov 拓撲, 則ClT是X上的Alexandrov閉包算子;

2) 若Cl:2X→2X是一個Alexandrov閉包算子,TCl是X上的一個Alexandrov拓撲。

2)設{Ai|i∈I}?TCl, 則

Cl((∩iAi)′)=Cl(∪iAi)=∪iCl(Ai)=∪iAi=(∩iAi)′,

從而∩iAi∈TCl。這說明TCl對任意交封閉。因此，TCl是X上的一個Alexandrov拓撲。

注2 令ACl為由Alexandrov閉包算子空間構成的Cl的滿子范疇, 則由定理2知, ACl與ATop同構。

2.2 Alexandrov內部算子

內部算子是閉包算子的對偶形式, 同樣拓撲空間和內部算子也可以相互唯一確定。

定義6 設X是一個非空集合, 如果映射Int:2X→2X滿足：

I1)Int(X)=X;

I2)對于任意的A?X,有Int(A)?A;

盡管各個高校財務部門想盡種種辦法，但因每天財務部門所能處理的總體業務量有限，只能在排隊時間和人數總量上稍微有所限制。財務預約報銷 “排隊時間長、手續繁瑣、下班時仍有師生不愿離去”導致報賬人員辦理報銷業務時和財務人員的矛盾沖突頻發，探究其根本原因：

I3)對于任意的A,B?X,有Int(A∩B)=Int(A)∩ Int(B);

I4)對于任意的A?X,有Int(Int(A))=Int(A),

那么稱Int為X上的一個內部算子,稱偶對(X,Int)為一個內部算子空間。

對于非空集合X上的一個拓撲T,令IntT:2X→2X為

IntT(A)=∪{B∈T|B?A}(?A?X),

則IntT是X上的一個內部算子; 反過來, 對于非空集合X上的一個內部算子Int,

TInt={A?X|Int(A)=A}是X上的一個拓撲;而且有TIntT=T和IntTInt=Int[19]。拓撲空間和閉包算子的這種等價性, 如果換成范疇論的語言來描述, 那就是拓撲空間范疇Top和內部算子空間范疇Int同構, 其中Int中的態射: 稱f:(X,IntX)→(Y,IntY)是內部算子空間之間的連續映射, 如果對于任意的B?Y, 都有f-1(IntY(B))?IntX(f-1(B))。

定義7 設Int:2X→2X是集合X的一個內部算子, 如果有：

IA) 對于任意的{Ai|i∈I}?2X,Int(∩iAi)=∩iInt(Ai), 那么稱Int為X上的一個Alexandrov內部算子。

定理3 設X是一個非空集合, 則：

1)若T是X上的一個Alexandrov拓撲, 則IntT是X上的Alexandrov內部算子;

2)若Int:2X→2X是一個Alexandrov內部算子, 則TInt是X上的一個Alexandrov拓撲。

證明 1)只需證對于任意的集族{Ai|i∈I}?2X都有IntT(∩iAi)?∩iIntT(Ai)。事實上, 由于每一個IntT(Ai)都是開集, 則∩iIntT(Ai)是包含于∩iAi的開集。由內部算子的定義可知,IntT(∩iAi)?∩iIntT(Ai)。

2)設{Ai|i∈I}?TInt,則Int(∩iAi)=∩iInt(Ai)=∩iAi,從而∩iAi∈TInt。這說明TInt對任意交封閉。因此，TInt是X上的一個Alexandrov拓撲。

注3 令AInt為由Alexandrov內部算子空間構成的Int的滿子范疇, 則由定理3知,AInt與ATop同構。

2.3Alexandrov導算子

定義8 設X是一個非空集合,如果映射d:2X→2X滿足：

D1)d(?)=?;

D2)對于任意的x∈X,有x?d({x});

D3)對于任意A?X,有d(A∪B)=d(A)∪d(B);

D4)對于任意A?X,有d(d(A))?A∪d(A),

則稱d為X上的一個導算子,稱偶對(X,d)為一個導算子空間。

在其他條件成立的前提下,D2)還可以寫成

對于集合X上的一個導算子d,集族

Td={A?X|d(A′)∩A=?}={A?X|d(A′)?A′}

是X上的一個拓撲;對于X上的一個拓撲T,定義dT:2X→2X為

dT(A)={x∈X|?U∈Ux,U∩(A-{x})≠?}(?A?X),

則dT是X上的一個導算子;并且有dTd=d和TdT=T。拓撲空間和導算子的這種等價性, 如果換成范疇論的語言來描述, 那就是拓撲空間范疇Top和導算子空間范疇Dr同構, 其中Dr中的態射:稱f:(X,dX)→(Y,dY)是導算子空間之間的連續映射,如果對于任意的A?X,都有f(dX(A))?f(A)∪dY(f(A))。

定義9 設d:2X→2X是集合X的一個導算子, 如果有：

DA)對于任意的{Ai|i∈I}?2X,d(∪iAi)=∪id(Ai),那么映射d稱為上的一個Alexandrov導算子。

定理4 設T是集合X上的一個Alexandrov拓撲,d:2X→2X是一個Alexandrov導算子, 則

1)dT是X上的Alexandrov內部算子;

2)Td是X上的一個Alexandrov拓撲。

證明 1)只需證對于任意的集族{Ai|i∈I}?2X都有dT(∪iAi)?∪idT(Ai)。事實上,首先有x∈dT(A)當且僅當V(x)∩(A-{x})≠?。如果x∈dT(∪iAi),則

∪i[V(x)∩(Ai-{x})]=V(x)∩(∪iAi-{x})≠?,

于是存在i0∈I使得V(x)∩(Ai0-{x})≠?,即x∈dT(Ai0),故x∈∪idT(Ai)。

2)設{Ai|i∈I}?Td,則

d((∩iAi)′)=d(∪iAi)=∪id(Ai)?∪iAi=(∩iAi)′,

從而∩iAi∈Td。這說明Td對任意交封閉，因此Td是X上的一個Alexandrov拓撲。

注4 令ADr為由Alexandrov導算子空間構成的Dr的滿子范疇, 則由定理4知,ADr與ATop同構。

2.4 其他衍生的Alexandrov算子

2.4.1Alexandrov外部算子

拓撲空間的外部算子是由閉包算子衍生出來的一個算子。

定義10 設X是一個非空集合,e:2X→2X是一個映射, 如果

E1)e(?)=X;

E2)對于任意A?X,有e(A)?A′;

E3)對于任意A?B?X,有e(A∪B)=e(A)∩ e(B);

E4)對于任意A?X,有e((e(A))′)=e(A),

則稱e為X上的一個外部算子。如果外部算子e還滿足:

EA)對于任意{Ai|i∈I}?2X,有e(∪iAi)=∪ie(Ai),

則稱e為X上的一個Alexandrov外部算子。

注5 1) 拓撲空間和外部算子可以相互唯一確定。設(X,T)是一個拓撲空間,則外部算子eT:2X→2X定義為

eT(A)=∪{U∈T|U∩A=?}=(ClT(A))′;

反過來, 對于集合X上的一個外部算子e,Te={A?X|e(A′)=A}是X上的一個拓撲;而且有eTe=e和TeT=T。

2) Alexandrov空間和Alexandrov外部算子可以相互唯一確定, 即如果e:2X→2X是一個Alexandrov外部算子,則Te是X上的一個Alexandrov拓撲, 如果T是X上的一個Alexandrov拓撲, 則eT是X上的一個Alexandrov外部算子。

3) 外部算子空間構成的范疇Ext和拓撲空間范疇Top同構; Alexandrov外部算子空間構成的Ext的滿子范疇AExt和Alexandrov空間范疇ATop同構,這里稱f:(X,eX)→(Y,eY)是外部算子空間之間的連續映射,如果對于任意的B?Y,都有f-1(eY(B))?eX(f-1(B))。

2.4.2 Alexandrov邊界算子

拓撲空間的邊界算子是由閉包算子或內部算子衍生出來的一個算子。設(X,T)是一個拓撲空間, 則外部算子bT:2X→2X定義為bT(A)=ClT(A)∩ClT(A′)=(IntT(A)∪IntT(A′))′。

定義11 設X是一個非空集合,b:2X→2X是一個映射, 如果

B1)b(X)=b(?)=?;

B2)對于任意A?X,有b(A)=b(A′);

B3)對于任意A?X,有b(b(A))?b(A);

B4)對于任意A,B?X,有A∩B∩b(A∩B)=A∩B∩(b(A)∪b(B))。

則稱b為X上的一個邊界算子。如果邊界算子b還滿足:

BA)對于任意{Ai|i∈I}?2X,有(∩iAi)∩b(∩iAi)=(∩iAi)∩(∪ib(Ai))。

則稱b為X上的一個Alexandrov邊界算子。

注6 1)拓撲空間和邊界算子可以相互唯一確定。設(X,T)是一個拓撲空間,則外部算子bT:2X→2X定義為

bT(A)=ClT(A)∩ ClT(A′)=(IntT(A)∪IntT(A′))′;

反過來, 對于集合X上的一個邊界算子b,Tb={A?X|b(A′)∩A=?}是X上的一個拓撲; 而且有bTb=b和TbT=T。

2)Alexandrov空間和Alexandrov邊界算子可以相互唯一確定,即如果b:2X→2X是一個Alexandrov邊界算子,則Tb是X上的一個Alexandrov拓撲,如果T是X上的一個Alexandrov拓撲, 則bT是X上的一個Alexandrov邊界算子。

3) 邊界算子空間構成的范疇Bnd和拓撲空間范疇Top同構; Alexandrov邊界算子空間構成的Bnd 的滿子范疇ABnd和Alexandrov空間范疇ATop同構,這里稱f:(X,bX)→(Y,bY)是邊界算子空間之間的連續映射, 如果對于任意的A?X,都有f(bX(A))?f(A)∪bY(f(A))。

3 Alexandrov空間的格序特征

3.1 Alexandrov空間與偏序集

通常用拓撲空間的特殊化序和預序集上的上(下)集建立拓撲空間和二元關系之間的聯系。1966年, MCCORD[2]和STEINER[3]分別獨立地發現了偏序集范疇和T0拓撲空間范疇之間的范疇同構。

設(X,T)是一個拓撲空間,定義X上的二元關系≤T為

x≤Ty?Ux?Uy

則≤T是X上的一個預序, 并且(X,T)是一個T0空間當且僅當≤T是X上的一個偏序。

反過來,設(X,≤)是一個預序集,令γ(X)為X的所有上集構成的集合,則(X,γ(X))是一個的Alexandrov空間, 并且(X,≤)是一個偏序集當且僅當(X,γ(X))是一個T0的Alexandrov空間。

于是ATop同構于預序集范疇POrd[5,21],T0的Alexandrov空間范疇ATop0同構于偏序集范疇POS[2-3]。

3.2 Alexandrov空間的無點化刻畫

對于每個拓撲空間(X,T),偶對(T,?)是一個空間式Frame, 即由素元交生成的完備格(可以證明由素元交生成的完備格自然就是一個Frame); 反過來, 對于每個完備格, 則其全體素元構成的集合帶上譜拓撲是一個Sober空間。由此可以得到Sober空間范疇和空間式Frame范疇之間的對偶等價[1]。對于Alexandrov空間,BONSANGUE等[22]通過引入ObservationFrame建立了T0的Alexandrov空間的對偶形式為完備素元交生成的完備格。

對于Frame, 所有素元、所有從該Frame到二元格的Frame同態和所有完備素濾子這三者之間存在一一對應關系, 因此可以分別在3個集合上建立相應的拓撲, 最后都能得到對偶等價的結論。為此在文獻[23]中, 姚衛和韓相彥利用完備素元交生成格的自對偶性以及這種格上的所有素元、所有余素元和所有到二元格的完備格同態之間的一一對應,以完備格同態為基礎建立了T0的Alexandrov空間的對偶形式及其模糊形式。

本節的目的是以余素元為基礎重現T0的Alexandrov空間的對偶形式, 利用余素元使得這種對偶更加直觀和簡潔。

定義12 設L是一個完備格,b∈L稱為完備余素元,如果b≤∨S可推出存在s∈S使得b≤s。記c(L)為L的全體完備余素元之集(注意c(L)有可能為空集, 如單位區間)。如果對于任意的a∈L,都有a=∨{b∈c(L)|b≤a}, 則稱L為一個完備余素元生成格, 簡稱完全生成格。令CGLat為由完全生成格及其完備格同態構成的范疇。

從定義可以看出, 每一個完全生成格都是一個完全分配格, 因為沿仿照Domain理論[24-25]中的術語, 完備余素元實際上是相對于三角小于關系的緊元,從而完全生成格之于完全分配格類似于代數格之于連續格。

定理5 設(X,T)是一個Alexandrov空間,則c(T)={V(x)|x∈X}。

證明 設U∈c(T),則U=∪x∈UV(x),于是存在x0∈U使得U=V(x);反過來,設V(x)?∪iUi,則存在i0∈I使得x∈Ui0。由V(x)的最小性知,V(x)?Ui0。故V(x)∈c(T)。

定理6 每一個Alexandrov空間的開集格都是一個完全生成格。

證明 對于任意開集U都有U=∪x∈UV(x),于是該定理是定理5的直接推論。

定理7 設f:(X,T)→(Y,S)是Alexandrov空間之間的連續映射,則f-1:S→T是一個完備格同態。

該定理證明是直接的, 這是因為(X,T)和(Y,S)對任意交和任意并都封閉,而f-1:2Y→2X恰好保任意交和任意并。

這樣,可以得到一個函子V:ATop0→CGLatop,V(X,T)=(T,?),V(f)=(f-1)op。

定理8 設A是一個完備格,則c(A)是一個偏序集,賦予下拓撲γ(c(A))成為T0的Alexandrov空間。

該定理不需要證明, 因為每個偏序集上的下拓撲都是一個T0的Alexandrov空間。

定理9 設g:A→B是完備格同態,定義G(g):c(B)→c(A)為G(g)(b)=g*(b),其中g*是g的左伴隨(定義見文獻[24]), 則G(g):c(B)→c(A)是一個連續映射。

證明 只需證明G(g)是一個定義好的映射, 其連續性可由保序性(而這是顯然的)直接推得。 設b∈c(B)且g*(b)≤∨iai,則b≤g(∨iai)=∨ig(ai), 從而存在i0∈I使得b≤g(ai0),這等價于g*(b)≤ai0,故G(g)是一個定義好的映射。

這樣, 得到了另一個函子G:CGLatop→ATop0,具體為G(A)=(c(A),γ(c(A))),G(g)=g*。

定理10 設(X,T)是一個T0的Alexandrov空間,則(c(T),γ(c(T)))同胚于(X,T)。

證明 易見，V:X→c(T)(xV(x))定義了一個一一映射(其中單射性用到(X,T)的T0分離性)。

首先,V是一個開映射,即若U∈T,則V(U)={V(x)|x∈U}是c(T)的一個下集。實際上,如果V(y)?V(x)且x∈U,則Ux?Uy,于是U∈Uy,y∈U。故V(y)∈V(U),V(U)是c(T)的一個下集。

其次,V是一個連續映射,即若W是c(T)的下集,則V-1(W)={x∈X|V(x)∈W}∈T。實際上,若x∈V-1(W),則V(x)∈W。任取y∈V(x),有V(y)?V(x)。由W是下集知,V(y)∈W,即y∈V-1(W)，從而V(x)?V-1(W)或者V-1(W)∈Ux。故V-1(W)∈T。

因此，(c(T),γ(c(T)))同胚于(X,T)。

定理11 設A是一個完全生成格, 則A與γ(c(A))完備格同構。

證明 對于任意的a∈A,令Φ(a)=↓a∩c(A),則Φ:A→γ(c(A))是一個映射,且由A是完全生成格知,Φ是一個單射。

首先,Φ是滿射。設W是c(A)中的下集,令a=∨W,則W?↓a∩c(A)=Φ(a); 另外對于任意的b∈Φ(a),有b∈c(A)且b≤∨W，從而存在w∈W使得b≤w,由W是下集知b∈W,故Φ(a)?W。故W=Φ(a)。

其次,Φ是完備格同態。實際上,Φ(0)=↓0 ∩c(A)=?,Φ(1)=↓1 ∩c(A)=c(A);對于任意的{ai|i∈I}?A,有：

Φ(∧iai)=↓(∧iai)∩c(A)=(∩i↓ai)∩c(A)=∩i(↓ai∩c(A))=∩iΦ(ai),

Φ(∨iai)=↓(∨iai)∩c(A)=(∪i↓ai)∩c(A)=∪i(↓ai∩c(A))=∪iΦ(ai),

因此，A與γ(c(A))完備格同構。

定理12 ATop0對偶等價于CGLat。

3.3 偏序集范疇與完全生成格范疇的對偶等價

由于ATop0與POS同構、與CGLat對偶等價, 因此POS與CGLat對偶等價, 具體對應關系為偏序集的所有下集構成的集族在包含序下是一個完全生成格, 完全生成格的所有完備余素元之集是一個偏序集。這種對應關系類似于Domain理論中的偏序集范疇與代數Domain范疇之間的關系(其中偏序集的理想和代數Domain的way-below緊元是紐帶)。

/References:

[1] JOHNSTONE P T. Stone Spaces[M].New York: Cambridge University Press. 1986.

[2] MCCORD M C. Singular homology and homotopy groups of finite topological spaces[J]. Duke Mathematical Journal, 1966, 33(3):465-474.

[3] STEINER A K. The lattice of topologies: Structure and complementation[J]. Transactions of the American Mathematical Socity, 1966, 122(2): 379-398.

[4] HERRLICH H, STRECKER G E. Coreflective subcategories in general topology[J]. Fundamenta Mathematicae, 1972, 73(73):199-218.

[5] HOFFMANN R E. Reflective hulls of finite topological spaces[J]. Archiv der Mathematik, 1979, 33(1):258-262.

[6] HERMAN G T. On topology as applied to image analysis[J]. Computer Vision Graphics & Image Processing, 1990, 52(3):409-415.

[7] KRONHEIMER E H. The topology of digital images[J]. Topology & Its Applications, 1992, 46(3):279-303.

[8] ARENAS F G. Alexandrov spaces[J]. Acta Math Univ Comenianae, 1999, 68(1): 17-25.

[9] HAO Jing, LI Qingguo. The relationship betweenL-fuzzy rough set andL-topology[J]. Fuzzy Sets & Systems, 2011, 178(1):74-83.

[10]LI Zhaowen, XIE Tusheng, LI Qingguo. Topological structure of generalized rough sets[J]. Computers & Mathematics with Applications, 2012, 63(6):1066-1071.

[11]PEI Zhi, PEI Daowu, ZHENG Li. Topology vs generalized rough sets[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2011, 52(2):231-239.

[12]CHEN Piwei, ZHANG Dexue. AlexandrovL-co-topological spaces[J]. Fuzzy Sets & Systems, 2010, 161(18):2505-2514.

[13]FANG Jinming.I-fuzzy Alexandrov topologies and specialization orders[J]. Fuzzy Sets & Systems, 2007, 158(1):2359-2374.

[14]FANG Jinming, QIU Yue. Fuzzy orders and fuzzifying topologies[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2008,48(1):98-109.

[15]LAI Hongliang, ZHANG Dexue. Fuzzy preorder and fuzzy topology[J]. Fuzzy Sets & Systems, 2006, 157(14):1865-1885.

[16]KOVALEVSKY V. Axiomatic digital topology[J]. Journal of Mathematical Imaging and Vision,2006,26(1/2):41-58.

[17]KOVALEVSKY V A. ANNOUNCEMENT:Geometry of locally finite spaces[J].International Journal of Shape Modeling,2008,14(2):231-232.

[18]HAN S E. Extension of continuity of maps between axiomatic locally finite spaces[J]. International Journal of Computer Mathematics, 2011, 88: 2889-2900.

[19]熊金成. 點集拓撲講義[M]. 4版.北京：高等教育出版社，2011.

[20]KURATOWSKI K. Sur l’operation A de l’analysis Situs[J]. Fundamenta Mathematicae, 1922, 3:182-199.

[21]NATURMAN C A. Interior Algebras and Topology[D]. Capetown:University of Cape Town, 1990.

[22]BONSANGUE M M, JACOBS B, KOK J N. Duality beyond sober spaces: Topological spaces and observation frames[J]. Theoretical Computer Science, 1995, 151(1):79-124.

[23]YAO Wei, HAN S E. A Stone-type duality forsT0stratified AlexandrovL-topological spaces[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2016, 282:1-20.

[24]DAVEY B A, PRIESTLEY H A. Introduction to Lattices and Order[M]. New York:Cambridge University Press, 2002.

[25]GIERZ G, HOFMANN K H, KEIMEL K, et al. A Compendium of continuous lattices[J]. Springer-Verlag, 1980,29(3):189-224.

Axiomatic systems of Alexandrov spaces

ZHANG Shanshan1， LI Fei2， YAO Wei1

(1.School of Science, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang，Hebei 050018， China；2.School of Science, Beijing Forest University, Beijing 100081， China)

In order to study internel axiomatic systems and ordered features of Alexandrov spaces, with the help of some existed results in topology and locale theory, by restricting the related structures into Alexandrov setting, some equivalent descriptions are obtained. The results show that Alexandrov spaces are categorically isomorphic to Alexandrov neighborhood systems, Alexandrov closure operators, Alexandrov interior operators and Alexandrov derived operators;T0Alexandrov spaces are isomorphic to posets and dual to complete-generated lattices. Alexandrov spaces can be completely characterized by neighborhood systems, closure operators, interior operators, derived system, the specialization order and the point-free order.

topology; Alexandrov space； neighborhood system； closure operator； interior operator； derivation operator； specialization order； complete-generated lattice

2016-12-12；

2017-03-08；責任編輯：張 軍

國家自然科學基金(11201112)；中央高校基本科研業務專項資金項目(2017JC09)；河北省高等學校科學技術研究項目重點項目(ZD2016047)

張山山(1992—)，女，河北唐山人，碩士，主要從事拓撲學與格論方面的研究。

李 扉副教授。E-mail: feifei_1004@bjfu.edu.cn；姚 衛教授。E-mail：yaowei0516@163.com

1008-1542(2017)04-0352-08

10.7535/hbkd.2017yx04006

O189MSC(2010)主題分類：54A

A

張山山, 李 扉，姚 衛.Alexandrov空間的公理體系[J].河北科技大學學報,2017,38(4):352-359. ZHANG Shanshan，LI Fei，YAO Wei.Axiomatic systems of Alexandrov spaces[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2017,38(4):352-359.