分數階差分方程解的振動性

王志云，劉淑娟，李巧鑾

(河北師范大學數學與信息科學學院 , 河北石家莊 050024 )

分數階差分方程解的振動性

王志云，劉淑娟，李巧鑾

(河北師范大學數學與信息科學學院 , 河北石家莊 050024 )

分數階微積分是研究任意階微分和積分性質及應用的一種理論，它可以更加精確的描述一些系統的物理特性,更加適應系統的變化，可以應用于描述生物醫學中的腫瘤生長(生長刺激與生長抑制)過程。為了研究2類分數階差分方程解的振動性，主要利用反證法，即假設方程有非振動解，對于第1類方程首先確定函數符號，通過構造Riccati函數，對其求差分，利用函數滿足的條件得到矛盾，即假設不成立，驗證了解的振動性。對于第2類帶有初值條件的方程，首先證明了與該分數階差分方程等價的和分形式，然后分別考慮0<α≤1和α>1兩種情況，運用Stirling公式及階乘函數的性質，放大處理得到與已知條件相矛盾，假設不成立，獲得分數階差分方程有界解振動的充分條件。以上結果優化了相關結論，豐富了相關成果,并把結果應用到具體方程之中,驗證了方程解的振動性質。

定性理論；分數階；振動性；差分；微積分

分數階微積分可應用于越來越多的領域中，例如：生物學、物理學、粘彈性、控制理論等方面[1-5]。許多學者研究了分數階微分方程的各種性質，例如：解的存在唯一性、解的穩定性、解對初值的連續依賴性、解的振動性等[6-13]。當物質擁有記憶和遺傳效應或者諸如質量擴散與熱傳導的過程，在用整數階微分方程描述時不能精確的表征其中的物理特性，這就需要對傳統的整數階微積分進行推廣，以便更好地描述這些現象。

雖然分數階差分方程解的振動性在工程領域中有著重要的作用, 但是, 關于分數階差分方程解的振動性的相關理論較少。

2012年，MARIAN等[14]研究了形式如下的非線性分數階差分方程解的振動性,

2014年, SAGAYARAJ等[15]討論了形式如下的分數階差分方程解的振動性,

2016年, LI[16]考慮了帶有強迫項的分數階差分方程的解的振動性,

同年, SELVAM等[17]研究了形式如下的分數階差分方程解的振動性,

受以上學者的啟發，筆者討論2類分數階差分方程解的振動性, 得到了其振動的充分條件。

首先考慮了如下形式的方程：

(1)

其中Δα是Riemann-Liouville定義的α階差分算子,0<α<1,η>0是正奇整數的商,N0={0,1,2,…} 。

對于方程(1)假設有以下條件，

H)r(t),q(t)是正函數,z(t)=Γ(1-α)Δα-1x(t)且f:R→R是連續函數,對于z≠0滿足f(z(t))/z(t+1)≥K,其中K>0。

其次, 筆者討論了帶有初值的分數階差分方程, 形式如式(2)所示：

(2)

其中m-1<α≤m,m≥1是整數,v是實函數，并且滿足以下條件：

如果解x(t)既不最終正的, 也不最終負的, 則稱x(t)是方程(1)(或者方程(2))的振動解; 否則, 稱其為非振動解。

1 預備知識

定義1[18]設v>0,函數的v階和分定義為

(3)

定義2[18]設μ>0,m-1<μ≤m,其中m是正整數,m=[μ]。設v=m-μ,f(t)的μ階差分定義為

Δμf(t)=Δm-vf(t)=ΔmΔ-vf(t)。

(4)

引理1[18]對于任意實數v>0,任意正整數p,以下等式成立:

(5)

其中f(t)定義在Na上。

引理2 方程(2)的等價和分形式為

(6)

證明 將Δ-1算子應用到方程(2)兩邊, 得到：

Δ-1Δ[r(t)Δαx(t)]=Δ-1[-q(t)f(z(t))+v(t)],

(7)

由定義1和引理1, 得到：

(8)

應用Δ-α到式(8)兩邊, 有

(9)

由引理1, 得到：

Δ-αΔαx(t)=Δ-αΔmΔ-(m-α)x(t)=

(10)

應用定義1,有：

(11)

由式(10)和式(11), 得到等式(6)。

引理3[19]對于α,β,t>0有：

t(-β)>(t+α)(-β)。

(12)

引理4[20]對于分數階函數, 有以下性質：

t(β+γ)=(t-γ)(β)t(γ)。

(13)

2 主要結論

定理1 設條件H)及以下條件滿足:

(14)

(15)

那么方程(1)的每個解都是振動的。

證明 假設x(t)是方程(1)的1個非振動解。首先，假設x(t)是最終正解，則存在t1>t0使得x(t)>0,所以對t∈[t1,∞)有z(t)>0,其中z是條件H)中定義的函數。對t∈[t1,∞)有：

Δ[r(t)(Δαx(t))η]=-q(t)f(z(t))<0，

(16)

因此r(t)(Δαx(t))η在[t1,∞)上是嚴格遞減函數并且最終定號。由于t∈[t1,∞)時r(t)>0,η是正奇整數的商,則Δαx(t)最終定號。

下面證明：

Δαx(t)>0。

(17)

如果Δαx(t)<0,t∈[t1,∞),那么Δαx(t)是最終負的,存在t2∈[t1,∞)使得Δαx(t2)<0。

因為r(t)(Δαx(t))η在[t1,∞)上是嚴格遞減的,則有：

r(t)(Δαx(t))η≤r(t2)(Δαx(t2))n=c<0, t∈[t2,∞)。

與z(t)>0矛盾, 所以式(17)成立。因此Δz(t)=Γ(1-α)Δαx(t)>0,即z(t)是增函數。

定義Riccati函數：

(18)

則w(t)>0,t∈[t1,∞)。由式(16)、式(18)和條件H), 得到：

故有：

即

w(t+1)-w(t)≤-Kq(t),

(19)

假設x(t)是方程(1)的一個最終負解，則存在t1>t0,使得x(t)<0,所以對t∈[t1,∞)有z(t)<0,其中z是條件H)中定義的函數，則對t∈[t1,∞)有：

Δ[r(t)(Δαx(t))η]=-q(t)f(z(t))>0,

(20)

因此r(t)(Δαx(t))η在[t1,∞)上是嚴格遞增函數并且最終定號。由于t∈[t1,∞)時r(t)>0,η是正奇整數的商,則Δαx(t)最終定號。

下面證明

Δαx(t)<0,t∈[t1,∞)。

(21)

令上式t→∞,

與z(t)<0矛盾,所以式(21)成立。因此Δz(t)=Γ(1-α)Δαx(t)<0,即z(t)是減函數。

證明過程同以上證明類似, 在這里省略，定理得證。

定理2 假設條件H′) 滿足, 對任意的C1,C2如果對于充分大的T有：

(22)

(23)

則方程 (2) 的每個有界解都是振動的。

證明 設x(t)是方程(2)的有界非振動解。則存在M1,M2使得：

M1≤x(t)≤M2。

(24)

首先, 假設x(t)是方程(2)的最終正解，則存在t1使x(t)>0,z(t)>0,t≥t1,將式(6)兩邊同時乘以t1-αΓ(α)得到：

(25)

其中：

則有：

0

(26)

令t2>t1,下面分別考慮0<α≤1和α>1的情況。

所以有：

|Φ(t)|=t1-αt(α-1)|b1|≤M|b1|,t≥t2。

(27)

(28)

由式(26),式(27)和式(28)得：

-(M|b1|+C(t1,t2)),t≥t2，

上式兩邊分別令t→∞取極限, 則與式(22)矛盾。

運用引理3和引理 4, 得到：

(29)

(30)

由式(26), 式(29)和式(30), 得到：

-(C1(t2)+C2(t1)),t≥t2，

上式兩邊分別令t→∞,則與式(22)矛盾。

最后, 假設x(t)是方程(2)的最終負解, 類似可證與式(23)相矛盾。在此省略，定理得證。

3 應 用

考慮以下Riemann-Liouville型分數階差分方程:

(31)

應用定理 1，得到方程(31)的每個解都是振動的。

/References:

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Oscillation results for certain fractional difference equations

WANG Zhiyun, LIU Shujuan, LI Qiaoluan

(College of Mathematics and Information Science, Hebei Normal University, Shijiazhuang, Hebei 050024, China)

Fractional calculus is a theory that studies the properties and application of arbitrary order differentiation and integration. It can describe the physical properties of some systems more accurately, and better adapt to changes in the system, playing an important role in many fields. For example, it can describe the process of tumor growth (growth stimulation and growth inhibition) in biomedical science. The oscillation of solutions of two kinds of fractional difference equations is studied, mainly using the proof by contradiction, that is, assuming the equation has a nonstationary solution. For the first kind of equation, the function symbol is firstly determined, and by constructing the Riccati function, the difference is calculated. Then the condition of the function is used to satisfy the contradiction, that is, the assumption is false, which verifies the oscillation of the solution. For the second kind of equation with initial condition, the equivalent fractional sum form of the fractional difference equation are firstly proved. With considering 0<α≤1 andα>1, respectively, by using the properties of Stirling formula and factorial function, the contradictory is got through enhanced processing, namely the assuming is not established, and the sufficient condition for the bounded solutions of the fractional difference equation is obtained. The above results will optimize the relevant conclusions and enrich the relevant results. The results are applied to the specific equations, and the oscillation of the solutions of equations is proved.

qualitative theory; fractional; oscillation; difference; calculus

河北省高等學校高層次人才科學研究項目(GCC2014052)；河北師范大學校級研究生創新項目(xj2016040)

王志云(1991—)，女，河北承德人，碩士研究生，主要從事微分方程方面的研究。

李巧鑾教授。E-mail:qll71125@163.com

1008-1542(2017)04-0360-07

10.7535/hbkd.2017yx04007

O175.12MSC(2010)主題分類：34B40

A

2016-12-28；

2017-04-20；責任編輯：張 軍

王志云，劉淑娟，李巧鑾.分數階差分方程解的振動性[J].河北科技大學學報,2017,38(4):360-366. WANG Zhiyun, LIU Shujuan, LI Qiaoluan.Oscillation results for certain fractional difference equations[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2017,38(4):360-366.