基于故障診斷觀測器的非線性時滯時變奇異系統的容錯控制

范喬喬，石學濤，蘇連青

(河北科技大學理學院，河北石家莊 050018 )

基于故障診斷觀測器的非線性時滯時變奇異系統的容錯控制

范喬喬，石學濤，蘇連青

(河北科技大學理學院，河北石家莊 050018 )

為了解決控制理論中的系統安全性與可靠性問題，考慮到時滯時變普遍存在于此類系統中，沿著故障診斷和容錯控制解決問題的思路，針對基于故障診斷觀測器的非線性時滯時變奇異系統的容錯控制問題進行研究，構造了一種新型的故障診斷觀測器，結合Lyapunov穩定性理論研究了故障診斷觀測器的狀態估計誤差，構建了狀態反饋的容錯控制器，利用Schur補引理以及一些基本的控制理論得到了故障診斷觀測器和容錯控制器存在的線性矩陣不等式(LMI)的充分條件，確定了閉環系統的穩定并且符合所給定的性能指標。通過Matlab仿真實例驗證了所提方法的簡便性以及實用性。此方法很好地克服了系統中存在的非線性、擾動以及時滯時變問題。

穩定性理論；故障診斷觀測器；非線性；時滯時變；奇異系統；容錯控制；線性矩陣不等式

科學技術的飛速發展要求工業控制系統中具有越來越高的可靠性與安全性，因此系統的故障診斷與容錯控制已成為被關注的一個熱點[1-9]，近年來, 奇異系統在電力、經濟等系統中已經得到了廣泛的應用[10-12]。如：以線性矩陣不等式(LMI)為基礎的奇異系統的魯棒穩定性控制[11]，時滯離散奇異系統帶有不確定項的魯棒控制[12]等，其中，得到學者最多關注的是非線性奇異系統的研究。

通過構造廣義Sylvester方程的參數，文獻[13]中關于非線性奇異系統得到構建觀測器的充分條件。但所設計觀測器的適用范圍在文獻[13]中僅是定值故障，故文獻[14]給出了一個非線性奇異系統，并在此基礎上構建了一種新的故障診斷觀測器，其克服了系統中的定值故障問題以及存在的非線性擾動干擾項問題；針對廣義時變系統，以LMI為基礎，結合Lyapunov理論、Schur補引理和Riccati方程等，文獻[15]關于廣義時變系統進行了探索和討論；文獻[16]關于魯棒H∞保性能控制問題針對非線性不確定時滯切換奇異系統進行了深入研究。已經獲得有關大量的保性能控制問題的科研成果[17-20]。

雖然目前各行各業關于非線性奇異系統容錯控制問題的研究成果已成功地應用于各行各業，但值得關注的這些系統要么缺乏故障觀測器的非線性描述，要么時滯時變項在觀測器中體現不明顯，這些均具有較強的局限性，因而，如何構建具有擾動干擾項以及時滯時變項的非線性時滯時變奇異系統的容錯控制，是一個有理論和實用價值的一個新的研究方向。

本文以故障診斷觀測器為基礎，討論了關于非線性時滯時變奇異系統的容錯控制問題。首先，描述非線性時滯時變奇異系統，設計新式的故障診斷觀測器，繼而研究所構造的故障診斷觀測器的狀態估計誤差，運用Lyapunov穩定性理論經過大量的運算得出滿足LMI的充分條件。其次狀態反饋的容錯控制器被構造，應用Lyapunov穩定性理論經過大量計算得出LMI的充分條件，然后研究了能夠實現所得閉環系統穩定和滿足給定的H∞性能指標，最后運用Matlab仿真檢驗研究方式的有效性。

1 預備知識

設A為n階埃爾米特矩陣，如果對任意n維復向量x都有xTAx≥0，則稱A為半正定矩陣，也就是A≥0；如果xTAx>0，則稱A為正定矩陣，也就是A>0。

引理 2[22]對任意適當維數和確定的向量X，Y和任意標量ε>0，有：

XTY+YTX≤εXTX+ε-1YTY。

針對本文所討論的問題進行如下描述：

下面考慮具有執行器故障的時滯時變非線性奇異系統：

(1)

2 故障觀測器及容錯控制器

2.1 故障檢測觀測器設計

為了檢查和推測故障，構造下面故障檢測觀測器：

(2)

TE+NC=In,

這里，T和N可由下式確定,

其中，Z∈Rn×(n+m)是任意矩陣，代表設計自由度。

(3)

注1:對于系統(1)，如果系統沒有發生故障，即f(t)=0。結合系統(3)可知‖ey(t)‖=‖Cex(t)‖，則表示在t時刻系統沒有故障發生，即f(t)=0。

相應的結果如下。

定理1 根據系統(1)，若有矩陣P∈Rn×n和Q∈Rn×n是對稱正定矩陣和標量ε>0，符合如下不等式(4)，那么存在一個形如(2)的故障診斷觀測器適合系統(1)，并且使故障估計誤差系統(3)魯棒穩定，而且故障診斷觀測器的參數矩陣L=P-1Y，其中:

(4)

Θ2=(TA)TP+PTA-CTYT-YC+Q+εI。

根據引理2可以知道:

即

φ(t)T∏φ(t)。

其中:

Θ1=(TA-LC)TP+P(TA-LC)+ε-1PTTTP+Q+εI。

注2:通過適當的T和N的選取，求解得出故障診斷觀測器的參數矩陣L。求LMI(4)，得到矩陣P, Q，以及L=P-1Y。

2.2 設計容錯控制器

根據系統(1)，構造如下方式的反饋容錯控制器：

(5)

其中：x(t)∈Rn表示狀態向量；矩陣K∈Rn×n是待確定的容錯控制器的參數。結合式(1)和式(5)，可得到如下閉環系統：

(6)

現在，給出如下結果。

定理2 針對確定的標量γ>0和e>0，假若有矩陣H∈Rn表示非奇異可逆和矩陣Q∈Rn×n，K∈Rn×n表示對稱正定，滿足下列不等式：

(7)

(8)

其中，Ξ2=(A+BK)TH+HT(A+BK)+Q+ε2I+ε3λI。那么基于故障診斷觀測器的狀態反饋容錯控制器使閉環系統(6)狀態魯棒穩定，并且滿足‖y(t)‖∞≤γ‖ω(t)‖∞。

xT(t)HTg(x(t))+fT(t)FTHx(t)+xT(t)HTFf(t),

首先證明當ω(t)=0時，閉環系統(6)狀態魯棒穩定。

由引理2和‖f(t)‖≤λ‖x‖得到：

由此可以得到：

即

ΦTΩΦ，

其中：

其次，證明如下滿足‖y(t)‖∞≤γ2‖ω(t)‖∞。

在零初始條件下，對任意的ω(t)∈L2[0,∞)，考慮以下的性能指標函數:

根據閉環系統(6)魯棒穩定性的推論，可以得到：

應用引理2和‖f(t)‖≤λ‖x‖得：

即可以得到：

其中：

Φ=[xT(t) xT(t-d(t))]T，

(9)

再根據閉環系統(6)魯棒穩定性的推論，得到Ω2<0，所以有：

因此控制輸出y(t)∈[0,∞)滿足‖y(t)‖∞≤γ2‖ω(t)‖∞。

ETM=ETE≥0 ，

(10)

(11)

圖1 Lorenz系統的狀態響應曲線解Fig.1 State response of the curve of the Lorenz system

證明 顯然式(7)等價于式(10)，將式(9)的左右兩邊分別乘以diag[H-T,I]和diag[H-1,I]，利用Schur補引理,可以得到一個類似式(11)的八階的方陣，然后將此方陣左右分別乘以diag[I,Q-T,I,I,I,I,I,I]和diag[I,Q-1,I,I,I,I,I,I]可得式(11)。

3 數值仿真

考慮如下Lorenz系統

如圖1可得此系統的狀態響應曲線，得出系統的不穩定性。

這個系統能被推廣為非線性時滯時變奇異系統(1)的形式，參數如下：

其中d(t)=2sin(0.1t2)，基于系統的有界性存在一個真正的這樣的常數η，

通過MATLAB的LMI工具箱分別對線性矩陣不等式(4)和(11)進行仿真，可以分別得觀測器參數和狀態反饋控制器的參數矩陣：

然后得出誤差動態閉環系統(3)的狀態響應曲線見圖2，和圖3展示容錯控制閉環系統(6)的狀態響應曲線。得到系統能保持穩定，因此本文所提出的容錯控制器不被故障以及非線性因素干擾。

圖2 誤差閉環系統(3)的狀態響應曲線Fig.2 State response of the curve of the error closed-loop system (3)

圖3 容錯控制閉環系統(6)的狀態響應曲線Fig.3 State response of the curve of the fault tolerant control closed-loop system (6)

4 結 論

本文關于非線性時滯時變奇異系統，構造了一種新的故障診斷觀測器，此方法解決了針對系統中已有的非線性、擾動以及時滯時變項。在此措施的基礎上，隨后提出了狀態反饋的容錯控制器被提出，閉環系統穩定性被確保并且符合給定的H∞性能指標，最后運用Matlab仿真檢驗了研究的有效性。

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[1]CHENJ,PATTONRJ.RobustModel-basedFaultDiagnosisforDynamicSystems[M].Boston:KluwerAcademicPublishers, 1999.

[2] 袁侃. 復雜系統的故障診斷及容錯控制研究[D]. 南京：南京航空航天大學, 2010. YUAN Kan. Fault Diagnosis and Fault Tolerant Control of Complex Systems [D]. Nanjing:Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2010.

[3] CHEN M Y, ZHOU D H. Fault detection and isolation in a class of nonlinear systems[J]. Acta Automatica Sinica, 2004, 30(6): 1011-1016.

[4] KABORE R, WANG H. Design of fault diagnosis filters and fault-tolerant control for a class of nonlinear systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2001, 46(11): 1805-1810.

[5] ZHANG Y, JIANG J. Issues on integration of fault diagnosis and reconfigurable control in active fault-tolerant control systems[J]. IFAC Proceedings Volumes, 2006, 39(13): 1437-1448.

[6] HONGM W, TIAN Y C, DING J L, et al. Data driven fault diagnosis and fault tolerant control: Some advances and possible new directions[J]. Acta Automatica Sinica, 2009, 35(6): 739-747.

[7] PUIG V. Fault diagnosis and fault tolerant control using set-membership approaches: Application to real case studies[J]. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 2010, 20(4): 619-635.

[8] WANG R, WANG J. Fault-tolerant control with active fault diagnosis for four-wheel independently driven electric ground vehicles[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2011, 60(9): 4276-4287.

[9] YIN S, LUO H, DING S X. Real-time implementation of fault-tolerant control systems with performance optimization[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2014, 61(5): 2402-2411.

[10]XU S Y, SHI P, CHU Y M, et al. Robust stochastic stabilization and control of uncertain neutral stochastic time-delay systems[J]. Journal of Mathematical Analusis and Applications, 2006, 314(1): 1-16.

[11]WU Z G, ZHOU W N. Delay-dependent robust stabilization for uncertain singular systems with state delay[J]. Acta Automatica Sinica, 2007, 33(7): 714-718.

[12]MEI F. Delay-dependent robust control for uncertain singular systems with state delay[J]. Acta Automatica Sinica, 2009, 35(1): 65-70.

[13]SHARIFUDDIN M, GOUTAM C, KINGSHOOK B. LMI approach to robust unknown input observer design for continuous systems withnoise and uncertainties[J]. International Journal of Control, Automation and Systems, 2010, 8(2): 210-219.

[14]安新國. 基于故障診斷觀測器的非線性系統的容錯控制[D].石家莊：河北科技大學, 2013. AN Xinguo. Fault Tolerant Control of the Nonlinear System Based on Fault Diagnosisobserver[D]. Shijiazhuang:Hebei University of Science and Technology, 2013.

[15]王夢陽. 廣義時變系統的魯棒耗散及容錯控制[D]. 沈陽：沈陽工業大學, 2015. WANG Mengyang. Robust Dissipative and Fault Tolerant Control for Generalized Time Varyingsystems[D]. Shenyang:Shenyang University of Technology, 2015.

[16]張立俊, 楊麗蕓, 劉春菊, 等. 非線性不確定多時滯切換奇異系統的魯棒 保性能控制[J]. 河北科技大學學報,2015, 36(2): 150-156. ZHANG Lijun, YANG Liyun, LIU Chunju, et al. Robust guaranteed cost control for non-linear uncertain switched singular systems with multiple time-delay[J]. Journal of Hebei University of Science and Technology, 2015, 36(2): 150-156.

[17]YONEYAMA J. Robust stabilization for uncertain time-delay systems under time-varying sampling[J]. Applied Mathematical Sciences, 2009, 38(3): 1873-1883.

[18]JIA Huimei, XIANG Zhengrong, KARIMIH R. Robust reliable passive control of uncertain stochastic switched time-delay systems[J]. Applied Mathematics and Computation, 2014, 231:254-267.

[19]DU Zhaoping, ZHANG Qinglin. Delay-dependent robustcontrol for uncertain singular systems with multiple state delays[J]. IET Control Theory Application, 2009, 3(6): 731-740.

[20]李文晶, 唐睿, 李聰. 參數不確定時滯奇異系統的魯棒控制[J]. 黑龍江科技信息, 2015(15):34.

[21]ARIK S, HAN Q L. Global asymptotic stability of a larger class of neiral networks with constant time delay[J]. Physics Letters A, 2003, 311(1): 504-511.

[22]SU X, WANG X Z. Flocking for multi-agents with a virtual leader[J]. IEEE Transctions on Automatic Control, 2009, 54(2):293-307.

Fault-tolerant control for nonlinear singular systems withtime-varying delay based on fault diagnosis observer

FAN Qiaoqiao, SHI Xuetao, SU Lianqing

(School of Science, Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, Hebei 050018,China)

In order to solve the security and reliability problems of the system control in the control theory, considering that time-varying delay is widespread in many systems, thinking about solving problems by fault diagnosis and fault-tolerant control, and aiming at the study of fault-tolerant control of nonlinear time-delay singular systems based on fault diagnosis observers, a new fault diagnosis observer is constructed. With the Lyapunov stability theory, the fault diagnosis observer state estimation error is researched. Then, the state feedback fault-tolerant controller is designed. Using Schur lemma and some basic control theories, the sufficient conditions for linear matrix inequality (LMI) existed in fault diagnosis observer and fault tolerant controller are obtained. The closed-loop system is guaranteed to be stable and satisfies the given performance index. Finally, the Matlab simulation example is given to illustrate the simplicity and practicability of the proposed method, which overcomes effectively problems existed in the system such as: nonlinearity, destabilization, and time-varying delay.

theory stability; fault diagnosis; nonlinear systems; time-varying delay; singular system; fault-tolerant control; linear matrix inequality

2017-02-09；

2017-06-20；責任編輯：張 軍

河北省自然科學基金 (F2014208042)

范喬喬(1990—)， 女，河北衡水人，碩士研究生，主要從事系統魯棒控制方面的研究。

蘇連青教授。E-mail:lianqing_su@163.com

1008-1542(2017)04-0367-08

10.7535/hbkd.2017yx04008

O231.3MSC(2010)主題分類：93D15

A

范喬喬，石學濤，蘇連青.基于故障診斷觀測器的非線性時滯時變奇異系統的容錯控制[J].河北科技大學學報,2017,38(4):367-374. FAN Qiaoqiao, SHI Xuetao, SU Lianqing.Fault-tolerant control for nonlinear singular systems with time-varying delay based on fault diagnosis observer[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2017,38(4):367-374.