高考數學與數學文化賞析

王佩其

我們知道，數學不僅是一種重要的“工具”，也是一種思維模式，即“數學方式的理性思維”；數學不僅是一門科學，也是一種文化，即“數學文化”；數學不僅是一些知識，也是一種素質，即“數學素質”.數學是人類文化的重要組成部分，是人類精神與社會進步的產物，也是推動社會發展的動力.新考綱明確，要考數學文化.那么高考如何考數學文化呢？對于數學文化，其實在近兩年的高考試題中已經有所體現，只是今年新修訂的大綱更加強調.我國古代數學里有大量的實際問題，可以結合函數、數列、立體幾何、算法等內容.這些問題同時也體現了應用性的考查，理應引起考生的充分重視.本文列舉幾個例子，與大家共賞！

一、《九章算術》與高考數學

《九章算術》是流傳到現在的中國最早的一部數學專門著作.《九章算術》的內容豐富，而且大多和實際生活密切聯系.這些密切聯系實際生活的題材，反映出中國古代先賢的智能，同時也顯出古代中國數學的研究多以實用性為主.《九章算術》中所蘊涵的科學思想可謂極其深邃.如邏輯思想、重驗思想、極限思想、求理思想、創新思想、對立統一思想等，從某種意義上看，當代高中數學與之“一脈相承”，《九章算術》必然會在倡導“學以致用”理念的新課標數學高考中有所體現，于是與《九章算術》有關的高考題或模擬題應運而生，從這些試題中，我們可以看到《九章算術》與現代高考的優美結合，看到中華古代文明與現代文明的交相輝映.

例1.《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖，在陽馬P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點E，作EF⊥PB交PB于點F，連接DE，DF，BD，BE.

（1）證明：PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由.

（2）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為■，求■的值.

解析：（1）證明：因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，

由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面PCD.

而DE？奐平面PCD，所以BC⊥DE.

又因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DE⊥PC.

而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC.

而PB？奐平面PBC，所以PB⊥DE.

又PB⊥EF，DE∩EF=E，所以PB⊥平面DEF.

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個鱉臑，其四個面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB.

（2）如圖所示，在面PBC內，延長BC與FE交于點G，連接DG，則DG是平面DEF與平面ABCD的交線.

由（1）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG.

又因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG.

而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD.

故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角.

設PD=DC=1，BC=？姿，有BD=■.

在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPF=∠FDB=■，

則tan■=tan∠DPF=■=■=■，解得？姿=■. 所以■=■=■.

故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為■時，■=■.

點評：此題背景源于《九章算術》卷第五《商功》之[一五].今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺.問積幾何；之[一六]今有鱉臑，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣，高七尺.問積幾何.考題將“陽馬”，“鱉臑”相結合，并與課本例題有機整合.巧妙嫁接，精典設問，和諧優美的考題呼之即出.讓數學教育者與高考學子為之贊嘆！

例2. 中國古代數學名著《九章算術》中的“引葭赴岸” 是一道名題，其內容為：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與齊.問水深葭長各幾何”意為：今有邊長為1丈的正方形水池的中央生長著蘆葦，長出水面的部分為1尺，將蘆葦牽引向池岸，恰巧與水岸齊接，問水深蘆葦的長度各是多少？將該問題拓展如圖，記正方形水池的剖面圖為ABCD，蘆葦根部O為AB的中點，頂端為P（注蘆葦與水面垂直）.在牽引頂端P向水岸邊中點D的過程中，當蘆葦經過DF的中點E時，蘆葦的頂端離水面的距離約為________尺.（注：1丈=10尺，■≈24.5）

解析：設水深為x，則x2+52=（x+1）2，解得：x=12.

∴水深12尺，蘆葦長13尺，

以AB所在的直線為x軸，蘆葦所在的直線為y軸，建立直角坐標系，在牽引過程中，P的軌跡是以O為圓心，半徑為13的圓，其方程為：

x2+y2=169（-5≤x≤5，12≤y≤13）……①

E點的坐標為（-■，12），∴OE所在的直線方程為y=-■x……②

由①②聯列，解得y=■≈■=■.

則此時蘆葦的頂端到水面的距離為■-12=■. 故答案為■.

點評：本題是《九章算術》中的一道名題，可用現代數學的解析法來解決，體現了數學解題的與時俱進，可以考查考生處理數學問題的靈活性.

二、楊輝三角與高考數學

楊輝三角形，又稱賈憲三角形，帕斯卡三角形，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.隨著新課程的全面展開，“楊輝三角”問題已逐步滲透到高考和各級各類模擬試題之中.以它為載體設計情境新穎的試題，通過研究其自身蘊含的性質，來考查學生的數學思維，在新情境中提高考生吸收信息、處理信息、創新探究的學習能力.

例3. 以下數表的構造思路源于我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》一書中的“楊輝三角形”.

該表由若干行數字組成，從第二行起，每一行中的數字均等于其“肩上”兩數之和，表中最后一行僅有一個數，則這個數為（ ）

（A）2017×22015 （B）2017×22014

（C）2016×22015 （D）2016×22014

解析：第一行為1、2、3的三角形，最后一行的數為（3+1）×21；

第一行為1、2、3、4的三角形，最后一行的數為（4+1）×22；

第一行為1、2、3、4、5的三角形最后一行的數為（5+1）×23

…

可猜想第一行為1、2、3…2016最后一行的數為（2016+1）×22014=2017×22014，故選B.

點評：解決與楊輝三角有關的問題的一般思路：（1）對數據要橫看、豎看、隔行看、連續看，多角度觀察；（2） 通過觀察找出每一行的數據之間，行與行之間數據的規律；（3）將發現的規律用數學式子表達；（4）由數學式子得出結論.

例4. 楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數學家、數學教育家，楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質與組合數的性質有關，楊輝三角中蘊藏了許多優美的規律.下圖是一個11階楊輝三角：

（1）求第20行中從左到右的第3個數；

（2）若第n行中從左到右第13與第14個數的比為■，求n的值；

（3）寫出第12行所有數的和，寫出n階（包括0階）楊輝三角中的所有數的和；

（4）在第3斜列中，前5個數依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個數為35，我們發現，事實上，一般地有這樣的結論：第m斜列中（從右上到左下）前k個數之和，一定等于第m+1斜列中第k個數.試用含有m，k（m，k∈N*）的數學式子表示上述結論，并證明.

解析：（1）第20行中從左到右的第3個數為■=■=190.

（2）第n行中從左到右第13個數為■，第14個數為■.

于是由■=■解得n=34.

（3）第12行所有數的和為212=4096.

n階（包括0階）楊輝三角中的所有數的和為1+2+22+23+…+2n=2n+1-1.

（4）■+■+…+■=■.

證明：左邊=■+■+…+■=■+■+…+■

=…=■+■=■=右邊.

點評：（1）與楊輝三角有關的問題往往可以轉化為數列問題和組合數問題.（2）注意二項式系數性質■=■，■=■+■的應用.

三、古代詩文與高考數學

例5. 上下五千年，華夏文化源遠流長，我國古代詩文堪稱世界一絕.將古代詩文與現代數學交融在一起，不僅增強了數學試題的“文化味”，給人以耳目一新的感覺，而且體現了不同門類知識之間的相互聯系，能更好考查考生的綜合素質.

回文詩是我國古典詩歌中一種較為獨特的體裁，據唐代吳兢《樂府古題要解》的釋義是：回文詩，回復讀之，皆歌而成文也.如湖北咸豐縣有一首《萬柳堤即景》回文詩： 春城一色柳垂新， 色柳垂新自愛人. 人愛自新垂柳色， 新垂柳色一城春.此詩讀來朗朗上口，又前后對稱，堪稱一絕.殊不知，古文里有回文詩，數學里有回文數.回文數是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數.如22，121，3443，94249等.顯然2位回文數有9個：11，22，33，…，99.3位回文數有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.則

（Ⅰ）4位回文數有 個；

（Ⅱ）2n+1（n∈N？鄢）位回文數有 個.

解析：（Ⅰ）4位回文數只用排列前面兩位數字，后面數字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（1～9）種情況，第二位有10（0～9）種情況，所以4位回文數有9×10=90種.故答案：90.

（Ⅱ）法一：由上面多組數據研究發現，2n+1位回文數和2n+2位回文數的個數相同，所以可以算出2n+2位回文數的個數.2n+2位回文數只用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項每項有10種情況，所以個數為9×10n.

法二：可以看出2位數有9個回文數，3位數90個回文數.計算四位數的回文數是可以看出在2位數的中間添加成對的“00，11，22，…，99”，因此四位數的回文數有90個按此規律推導S2n=10S2n-2，而當奇數位時，可以看成在偶數位的最中間添加0～9這十個數，因此S2n+1=10S2n，則答案為9×10n.

點評：本題有回文詩引出一個新定義背景下的排列創新題，與新教材“推理與證明”相吻合，考查了考生的分類討論思想和排列運算能力，命題中同時也滲透了數學文化，是一個值得大家引起注意的好題.

例6. 歐陽修的《賣油翁》中寫道：（翁）乃一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕.可見“行行出狀元”. 賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為6cm的圓，中間有邊長為3cm的正方形孔，請你隨機向銅錢上滴一滴油（油滴的直徑忽略不計），則油滴正好落入孔中的概率是________.

解析：由題意知，直徑為6cm的圓的圓的面積為S=π×（■）2=9πcm2.

而邊長為3cm的正方形的面積s=3×3=9cm2.

由幾何概型的計算公式得所求概率P=■=■=■.

故答案：■.

點評：本題以古文歐陽修的《賣油翁》為入題點考查幾何概型，設計圓與正方形的面積的計算，難度不大，卻將語文與數學交匯在一起，增強了試題的“文化味”.

四、名人軼事與高考數學

數學思想與方法，是數學文化的一個重要組成部分，而它的產生往往離不開數學家超常的智慧，也離不開人們社會活動的經驗.而名人軼事折射出的數學思想與方法，可以說是數學解題的“航標”. 一類與名人軼事交融的數學問題，能彰顯豐富的數學思想和數學文化.

例7. 一次數學課上，老師讓學生練習算數.于是讓他們一個小時內算出1+2+3+4+5+6+…+100的得數.全班只有高斯用了不到20分鐘給出了答案，因為他想到了用（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51），一共有50個101，所以50×101就是1加到一百的得數.后來人們把這種簡便算法稱作高斯算法.請用高斯算法解下面問題：

已知函數f（x+■）=■，則f（■）+f（■）+f（■）+…+f（■）=_______.

解析：高斯算法的本質就是合理配對相加，并發現所求項的和的n項中第i項與第n-i+1項的和是定值.本題共有項相加，從題意看出，只需發現f（x）+f（1-x）是定值，且求出這個定值，就可利用高斯算法解答本題.

因為f（x+■）=■=2+■，所以f（-x+■）=2-■.

所以f（x+■）+f（-x+■）=4，即f（x）+f（1-x）=4.

所以f（■）+f（■）+f（■）+…+f（■）

=[ f（■）+ f（■）]+[ f（■）+ f（■）]+…+

[ f（■）+f（■）]

=4×1008=4032.

故答案：4032.

點評：由一道題的解法遷移到一類題的解法，并觸類旁通，是數學解題的最高境界，可謂“授之于魚，不如授之于漁”，這類問題要求考生在考場上執“漁”捕“魚”，從而更能考查考生的數學能力與數學素養.

例8. 王戎小時候，愛和小朋友在路上玩耍.一天，他們發現路邊的一棵樹上結滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨有王戎沒動.等到小朋友們摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結滿了李子，所以李子一定是苦的.” 試問從推理與證明的方法來看，王戎判斷李子是苦的是用的什么方法？請用這個方法，解答求證下面問題：

已知{an}是由非負整數組成的無窮數列，該數列前n項的最大值記為An，第n項之后各項an+1，an+2…的最小值記為Bn，dn=An-Bn

證明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3…），則{an}的項只能是1或2，且有無窮多項為1.

解析：從推理與證明的方法來看，王戎判斷李子是苦的是用了反證法.

題中需證問題證明如下：

①首先{an}中的項不能是0，否則d1=a1-0=2，與已知矛盾.

②{an}中的項不能超過2，用反證法證明如下：

若{an}中有超過2的項，設ak是第一個大于2的項，{an}中一定存在項為1，否則與dn=1矛盾.當n≥k時，an≥2，否則與dk=1矛盾.

因此存在最大的i在2到k-1之間，使得a1=1，此時di=Ai-Bi=2-Bi≤2-2=0，矛盾.

綜上{an}中沒有超過2的項.

綜合①②，{an}中的項只能是1或2.

下面證明1有無數個，用反證法證明如下：

若ak為最后一個1，則dk=Ak-Bk=2-2=0，矛盾.

因此1有無數個.

點評：本題待證問題具有一定難度，若想不到反證法，則往往無從下手.而本題中的“名人軼事”不僅為待證問題提供了解決問題的方法，同時也考查了推理與證明的內容，使試題具有一定的“可讀性”，從而散發出濃濃的“文化味”.

五、現實生活與高考數學

無論從數學的產生還是從數學的發展看，數學與現實生活都有著密不可分的聯系.華羅庚先生在《大哉，數學之為用》一文中對此作了精辟的闡述：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學”.利用數學知識解決突發事件與社會熱點問題，既考查了考生的數學素養，同時又體現了數學的文化價值，一直是高考命題的主旋律.

例9. 2016年6月23日15時前后，江蘇鹽城阜寧、射陽等地突遭強冰雹、龍卷風雙重災害襲擊，風力達12級.災害發生后，有甲、乙、丙、丁4個輕型教授隊從A，B，C，D四個不同的方向前往災區.已知下面四種說法都是正確的.

（1）甲輕型教授隊所在方向不是C方向，也不是D方向；

（2）乙輕型教授隊所在方向不是A方向，也不是B方向；

（3）丙輕型教授隊所在方向不是A方向，也不是B方向；

（4）丁輕型教授隊所在方向不是A方向，也不是D方向.

此外還可確定：如果丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向.有下列判斷：

①甲所在方向是B方向；②乙所在方向是D方向；③丙所在方向是D方向；④丁所在方向是C方向.

其中判斷正確的序號是__________.

解析：由（1）知，甲選A或B；由（2）知，乙選C或D；由（3）知，丙選C或D；由（4）知，丁選C或B.由于如果丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向，故丙所在的方向是D方向.故答案：③.

點評：本題考查的知識點是合情推理與演繹推理.命題者卻將問題設置在江蘇鹽城阜寧、射陽等地的突發事件中，讓數學問題與現實生活交融，體現出數學不是孤立的，數學具有實用性.

例10. 中國人口已經出現老齡化與少子化并存的結構特征，測算顯示中國是世界上人口老齡化速度最快的國家之一，再不實施“放開二孩”新政策，整個社會將會出現一系列的問題，若某地區2015年人口總數為45萬，實施“放開二胎”新政策后專家估計人口總數將發生如下變化：從2016年開始到2025年每年人口比上年增加0.5萬人，從2026年開始到2035年每年人口為上一年的99%.

（1）求實施新政策后第n年的人口總數an的表達式（注：2016年為第一年）；

（2）若新政策實施后的2016年到2035年人口平均值超過49萬，則需調整政策，否則繼續實施，問到2035年后是否需要調整政策？（說明：0.9910=（1-0.01）10≈0.9）

解析：（1）由題意可知，從2016年開始到2025年每年人口數成等差數列無增長，從2026年開始到2035年每年人口數組成一個等比數列，由等差數列與等比數列的通項公式寫出即可.

當n≤10時，數列{an}是首項為45.5，公差為0.5的等差數列.故an=45.5+0.5×（n-1）.

當n≥11時，數列{an}是公比為0.99的等比數列，又a10=50，所以an=50×0.99n-10.

因此，實施新政策后第n年的人口總數an（單位：萬）的表達式為：

an=45.5+0.5×（n-1），1≤n≤1050×0.99n-10. n≥11

（2）求出從2016年到2035年的人口總數S20，求其平均值即可.

設Sn為數列{an}的前n項和，則從2016年到2035年共20年，由等差數列及等比數列求和公式得，S20=S10+（a11+a12+…+a20）=477.5+4950×（1-0.9910）≈972.5萬.

所以新政實施到2035年年人口均值為■≈48.63<49.

故到2035年不需要調整政策.

點評：本題難度中等，考查了數列知識的實際應用.本題命題的著眼點放在當今社會的熱點問題：“放開二孩”新政策和社會老齡化問題.用數列知識來詮釋社會問題，體現出數學與現實的密不可分的關系.

同學們，讀到這里，你是否為高考數學中隱藏著豐富的數學文化而嘆為觀止！你是否對這類散發著文化味兒的數學試題產生濃厚的興趣！我國的數學史如長江黃河源遠流長，數學文化似夜空中的點點繁星光芒四溢，數學文化走進高考，必將為高考數學增光添彩.

類題演練

1.《九章算術》的第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應用，還提出 了一元二次方程的解法問題.直角三角形的三條邊長分別稱“勾”“股”“弦”.已知在橢圓■+■=1中以焦距F1F2為“弦”的直角三角形的“勾”與“股”的交點在橢圓上，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）

A. （0，■） B. [■，1）

C. [■，1） D. （0，■]

2.《九章算術》有這樣一個問題：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，第一日、第四日、第七日所走之和為三百九十里，問第八日所走里數為（ ）

A. 150 B. 160 C. 170 D. 180

3.《算數書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統的數學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術相當于給出了由圓錐的底面周長L與高h，計算其體積V的近似公式V≈■L2h，它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3，那么近似公式V≈■L2h，相當于將圓錐體積公式中的π近似取為（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

4. 將三項式（x2+x+1）n展開，當n=1，2，3，…時，得到如下左圖所示的展開式，右圖所示的廣義楊輝三角形：

觀察多項式系數之間的關系，可以仿照楊輝三角構造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構造方法：第0行為1，以下各行每個數是它頭上與左右兩肩上3數（不足3數的，缺少的數計為0）之和，第k行共有2k+1個數.若在（1+ax）（x2+x+1）5的展開式中，x8項的系數為75，則實數a的值為__________.

5. 二十世紀六十年代，日本數學家角谷發現了一個奇怪現象：一個自然數，如果它是偶數就用2除它，如果是奇數，則將它乘以3后再加1，反復進行這樣兩種運算，必然會得到什么結果，試考察幾個數并給出猜想.

類題演練答案與解析

1. 答案：B. 解析：即以F1F2為直徑的圓與橢圓有公共點時的橢圓的離心率，此時有c≥b，即c2≥b2=a2-c2，故離心率e=■≥■.

2. 答案：C. 解析：由題知該男子每天所走里數依次成等差數列，設為{an}，Sn是其前n項和，則S9=■=9a5=1260，所以a5=140，由題知a1+a4+a7=3a4=390，所以a4=130，所以公差d=a5-a4=10，所以a8=a5+3d=170.

3. 答案：B. 解析：V=■πr2h=■L2h：，若V≈■L2h，則■=■，π=■.

4.答案：2. 解析：（x2+x+1）5展開式系數為1，5，15，30，45， 51，45，30，15，5，1.所以在（1+ax）（x2+x+1）5的展開式中，x8項的系數為15+30a=75，則a=2.

5. 解析：取自然數6，按角谷的作法有：6÷2=3，3×3+1=10，3×5+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1，其過程簡記為6→3→10→5→16→8→4→2→1.

取自然數7，則有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→…→1.

取自然數100，則100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→…→1.

歸納猜想：這樣反復運算，必然會得到1.

責任編輯 徐國堅