尋易錯之源，覓糾錯之道

林生

從2010年至2016年的全國高考題來看：歷年全國卷對數(shù)列的考查雖然不是每年都作為解答題出現(xiàn)，但數(shù)列卻是高考數(shù)學(xué)中的一棵“常青樹”. 而全國卷中的數(shù)列對考生的考查雖不難，但由于考生對數(shù)列的概念、性質(zhì)以及基本結(jié)論理解不透徹、思考不全面等多種原因，這就導(dǎo)致考生對數(shù)列易混淆、易錯題的題型“難以把握”. 加上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個認(rèn)知過程，在這個過程中，由于考生的認(rèn)知水平、理解水平的不同，解題過程中往往會出現(xiàn)這樣或者那樣的錯誤，因此若不厘清數(shù)列中的易混淆、易錯題的題型，考生依然“重復(fù)昨天的錯誤故事”. 所以我們在備考的過程中就要認(rèn)真對待出現(xiàn)的錯誤，要剖析錯誤產(chǎn)生的原因，探討錯誤的糾正方法，只有我們在這個過程中真正地做到慎思、深思，明辨其錯誤的“是非”，這樣才可以做到不要讓類似的錯誤再次發(fā)生. 因此我們要真正地解決數(shù)列易混淆、易錯題的題型，就必須要熟練數(shù)列相關(guān)知識，厘清它們數(shù)列易混淆、易錯題的題型，在解題過程中加強對條件和結(jié)論的分析，掌握數(shù)列易混淆、易錯題的題型的注意問題，做到將數(shù)列中的易混淆、易錯題的題型“藥到病除”. 下面總結(jié)歸納數(shù)列中的易混淆、易錯題的題型，就解數(shù)列易混淆、易錯題的題型的一些解題方法和技巧來進(jìn)行舉例分析、總結(jié)歸納，結(jié)合在數(shù)列中解題出現(xiàn)的一些錯誤來辨析，以達(dá)到正本清源的功效.

一、混淆相近的數(shù)學(xué)概念或概念不清產(chǎn)生的錯誤

例1. x=■是a， x， b成等比數(shù)列的（ ）

A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件

C. 充要條件 D. 既不充分也不要條件

錯解展示：此題易錯選為A，若x=■，則x2=ab，所以a， x， b成等比數(shù)列，當(dāng)a， x， b成等比數(shù)列，則x2=ab，所以x=±■，所以x=■是a， x， b成等比數(shù)列的充分不必要條件，故選A.

錯因剖析：本題選A的原因主要是知識性的錯誤，是由概念不清所致，等比數(shù)列中要求數(shù)列中的每一項及公比不能為零，所以由x2=ab不一定能推出a， x， b成等比數(shù)列，反過來，a， x， b成等比數(shù)列，有x2=ab，但是不一定推出x=■.

正解：選D，若x=■，則x2=ab，但x， a， b有可能為零，因此推不出成a， x， b等比數(shù)列，反過來，a， x， b成等比數(shù)列，有x2=ab，所以x=±■，因此x=■是a， x， b成等比數(shù)列的既不充分也不要條件.

變式1：已知Sn為數(shù)列{ an }的前n項和，且有Sn=bn+■，試判斷{ an }是什么數(shù)列？

錯解展示：由已知條件得：當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=bn+■-（bn-1+■）=（b-1）bn-1，所以an-1=（b-1）bn-2，因此有■=b，故{ an }成等比數(shù)列.

錯因剖析：本題錯誤的原因就是對等比數(shù)列的概念不清晰，忽略等比數(shù)列的公比不能為零這一情況，而b=0或b≠0.

正解：當(dāng)b=0時，顯然數(shù)列{ an }不成等比數(shù)列，此時數(shù)列{ an }為常數(shù)列；當(dāng)b≠0時，由已知條件得：當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=bn+■-（bn-1+■）=（b-1）bn-1，所以an-1=（b-1）bn-2，所以可得■=b，因此數(shù)列{ an }是以公比b的等比數(shù)列.

例2. 已知數(shù)列{ an }的首項為1，Sn為數(shù)列{ an }的前n項和，Sn+1=qSn+1，其中q>0， n∈N？鄢，若2a2，a3，a2+2成等差數(shù)列，求{ an }的通項公式.

錯解展示：依題意a1=1，a1+a2=qa1+1，2a3=3a2+2，解得a1=1，a2=2，a3=4，因為a2 2=a1a3，所以{ an }是一個等比數(shù)列，所以an=2n-1（n∈N？鄢）.

錯因剖析：本題由特殊代替一般，即由前3項成等比數(shù)列，就錯誤認(rèn)為數(shù)列{ an }為等比數(shù)列，要證明數(shù)列為等比數(shù)列，要確保任意一項都滿足■為同一常數(shù)才行.

正解：由已知得Sn+1=qSn+1，Sn+2=qSn+1+1， 兩式相減得到an+2=qan+1，n≥1. 又由S2=qS1+1得到a2=qa1，故an+1=qan對所有n≥1都成立. 所以數(shù)列{ an }是首項為1，公比為q的等比數(shù)列. 從而an=qn-1. 由2a2，a3，a2+2成等比數(shù)列可得2a3=3a2+2，即2q2=3q+2，則（2q+1）（q-2）=0，由已知q>0，故q=2. 所以an=2n-1（n∈N？鄢）.

例3. 等比數(shù)列{ an }的公比為q，則q>1是“對于任意n∈N？鄢”都有an+1>an的_______條件.

錯解展示：當(dāng)q>1時，很多考生容易錯誤判斷出an+1>an，或當(dāng)an+1>an時，則錯誤判斷出q>1，因此很多考生會錯誤判斷為充要條件或充分不必要條件或必要不充分條件.

錯因剖析：本題主要是由于不理解等比數(shù)列的遞增數(shù)列這個基本概念所致，誤認(rèn)為判斷等比數(shù)列為遞增數(shù)列和等差數(shù)列為遞增數(shù)列一樣，只需要判斷公比的情況，殊不知判斷一個等比數(shù)列是否為遞增數(shù)列或遞減數(shù)列，不單單要考慮公比，還要考慮首項a1才行. 對于等比數(shù)列{ an }，若a1>0且q>1（或a1<0且01（a1>0或且00為遞增數(shù)列，d<0為遞減數(shù)列），切莫將判斷等差數(shù)列和等比數(shù)列為遞增（遞減）混淆，要理解它們之間的本質(zhì)，才可以避免出錯.

正解：在等比數(shù)列{ an }中，由于a1沒有確定（a1>0或a1<0），因此q>1無法推出數(shù)列{ an }為遞增數(shù)列，即an+1>an，同樣由an+1>an，即等比數(shù)列{ an }是遞增數(shù)列，因此可得a1>0且q>1或a1<0且01，所以q>1是“對于任意n∈N？鄢”都有an+1>an的既不充分也不要條件.