例說在實際問題中的線性代數概念及理論

摘 要：線性代數是高校有關專業一門重要的課程，它主要研究行列式、矩陣、向量組、線性方程組等理論。具有非常強的實用性。它的理論體系嚴密、完善，且抽象。不易學，往往給學者一種學線性代數有什么用的感覺。其實，線性代數的概念、理論不是數學家的杜撰，而是來源于現實生活實際，能夠找到它的溯源。

關鍵詞：線性代數；行列式；矩陣；線性方程組

線性代數的產生：線性代數是數學的一個重要分支，主要以行列式、矩陣、線性方程組、向量組等基本概念為基礎，以定理為依托，線性變換為手段，利用矩陣、線性方程組理論，通過對大量數據的處理，得到最優化的結果或簡明的表示。在實際生活各領域都具有非常強的實用性。在線性代數的學習過程中，學生常提出學線性代數從何而來又有什么用的問題，多數教師只是將定義、定理泛泛講一講，而忽略了他的出處，實際上定義、定理的產生不是數學家的杜撰，而是來源于現實生活實際，能夠找到它的溯源。

一、行列式的幾何意義

一維空間即數軸上，向量表示一有向線段，可以求長度。二維空間兩向量可以圍成一平行四邊形，可以求面積。三維空間三個向量可以圍成一六面體，可以求體積。

有了行列式概念及理論，為進一步研究矩陣打下堅實的基礎。

二、矩陣概念的產生

例如：某手機營銷公司旗下有X、Y兩個店，分別經營蘋果、華為、三星、金立四品牌手機一月份銷售數據如下表：

顯然兩個月的銷售數據就是一、二月銷售數據對應相加。這就是矩陣的加法。進一步可以定義矩陣的數乘、矩陣的乘法。從實際問題中分離出來，就定義了一般意義上的純數學概念。

三、線性方程組理論

線性方程組是線性代數中一重要理論，貫穿于線性代數課程的大部分內容，知識理論體系嚴謹、完善、抽象。分化為線性方程組、矩陣方程、向量方程，三個理論體系，又完善地融合于一體，學起來有些困難。但是，線性方程的提出，同樣可以找到它的溯源。

例如：近年來，車輛的增加，北京在有些道路設置了單行道，以解決擁堵現象，如下圖所示（數據為某一時間段內的統計），假設每個交叉路口進入和離開的車輛相等，計算每條道路的車輛情況由問題，得出如下方程關系：[x1+x2=650x1-x4+x5=450x2+x3=340x4-x3=300]

這就是由n個未知數建立了m個方程的一般方程關系，在這種方程關系下，線性代數建立了完善的方程理論，進一步研究矩陣、矩陣的秩、矩陣的初等變換，向量、向量組、向量組的秩、最大無關組。使得線性方程組、矩陣方程、向量方程有了完美的融合，建立了嚴謹的線性代數理論。

結論：通過對行列式、矩陣、線性方程組三個概念的溯源，可以說，線性代數完美理論體系的建立，不是數學家異想天開杜撰而成，而是來源于現實生活實際反之，又廣泛應用于社會各領域，為人類所應用。

參考文獻：

[1]石金瑋，梁藝義，田碩.線性代數的應用問題舉例[J].無線互聯科技，2012（07）：180.

[2]胡玥.線性代數案例教學研究[J].知識經濟，2014（17）：179-180.

[3]周紹偉，劉洪霞，南長全.線性代數應用教學案例[J].統計與管理，2016（09）：189-191.

作者簡介：

李巨成（1966—），男，大學本科；唐山學院基礎部副教授；主要研究：基礎數學、應用數學、高等數學等。