立意新穎，界定明確，有效區分

【摘要】作為一道高中數學聯賽（一試）原創模擬題，試題除了“科學性、能力性”之外，還要做到“新穎性”、“界定性”、“選拔性”。立意新穎，不為題海戰術開方便之門。界定明確，對一線教練員的教學有導向功能。有效區分，讓不同層次水平的學生高低立顯。

【關鍵詞】高中數學聯賽 新穎性 界定性 選拔性 導向功能

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）24-0106-02

高中數學聯賽在即，為方便學生備考。筆者組織了高中數學聯賽（一試）模擬題的命制工作，命題組緊扣“科學性、新穎性、選拔性、能力性、界定性”[1]的原則命制試題。筆者也參與了解答題第10題的命制。現將其命制歷程及解法與各位同仁分享，不到之處敬請各位批評指正。

一、問題呈現

題目（1）已知，求證：

（2）若正數滿足，求的最小值。

點評：本題綜合考察了不等式的性質、代數式的恒等變形能力。其中第（1）小問一題多解，可以從代數式的恒等變形或導數法等視角進行思考。設問梯度得當，能使不同的數學競賽者得到他應得的分數，測試效度較好。

二、命制歷程

1.試題立意

根據雙向細目表的要求，在解答題第10題的位置需要命制一道以不等式為載體的最值問題，題目要求新穎、具備壓軸性，有一定的區分度，能起到選拔功能。試題要求界定明確，為高中數學聯賽（一試）模擬題，命題范圍不得超出中學數學大綱。

2.試題命制與打磨

命制方案：命題組試圖通過組合法[2-3]命制一道二元函數最值問題，既堅持與高等數學的銜接，為學生后續升入大學學習作鋪墊，又使試題不落俗套，讓數學競賽者無范本可循，讓試題有一定的新穎性。

（1）多問題重組，形成初稿

復雜生于簡單，第10題的命制從兩個簡單的問題開始。

問題1 已知，求證

問題1的命制思路：筆者注意到，當且僅當取等號。即：；在不等式兩邊同乘以得：，生成問題1。

問題2 已知，求證：

問題2的命制思路：由于，當且僅當取等號。同時注意到二次多項式的判別式小于0，故；則

；故，由此生成問題2。

將問題1與問題2組合形成問題3。

問題3 已知，，求證：

不難發現，問題3中要求證的不等式當且僅當時，取等號。即二元函數當時，取得最小值。于是想到將“”，即“”作為已知條件，衍生出新的問題，形成初稿。

初稿 若正數滿足，求的最小值。

（2）考慮界定性原則，改成二稿

命題組預估到本題作為高中數學聯賽（一試）模擬題難度偏大，且審題教師解題后給出的幾種參考解法中包括拉格朗日乘數法，故命題組認為初稿有超出中學數學大綱范圍之嫌。而高中數學聯賽（一試）難度的界定為不得超出中學數學大綱范圍。初稿可以用作高中數學聯賽（二試）試題，其有高等數學背景，但可以用初等數學方法來解。如若作為一試試題，區分度較差，必須給出梯度，層層遞進。故命題組采用“分步設問”的方式，將問題2作為第一問，初稿問題作為第2問，以此降低試題的難度，提高試題的區分度，形成二稿。

二稿 （1）已知，求證：

（2）若正數滿足，求的最小值。

三、解法展示

解法1 （1）因為，

則，

從而，當且僅當時，取等號。

（2）由題意得：，由，得 ，即；

，當且僅當取等號；當時，，

又由（1）得，

故

解法2 （1）構造輔助函數，

，令，即：；

亦即：，

又，故，

即原方程解為，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增。

所以，當時，取得最小值。

故：，即：

（2）下同解法1

解法3 （1）令，

則，，，

故函數在處的切線方程為：；

故

（2）下同解法1

四、總結

作為一道高中數學聯賽（一試）原創模擬題，試題除了“科學性、能力性”之外，還要做到“新穎性”、“界定性”、“選拔性”。立意新穎，不為題海戰術開方便之門。界定明確，對一線教練員的教學有導向功能。有效區分，讓不同層次水平的學生高低立顯。

參考文獻：

[1]朱華偉.從數學競賽到競賽數學[M].北京：科學出版社，2009.

[2]劉蔣巍. 例談試題打磨的九種方法[J]. 文理導航（下旬），2016，（12）：98.

[3]劉蔣巍.命題轉換的9種方法在教學中的運用[M].南昌：江西科學技術出版社，2016.