具有兩種修復方法的可修復系統解研究

周 莉,蘆 雪 娟,王 偉 華

(齊齊哈爾大學 理學院, 黑龍江 齊齊哈爾 161006 )

具有兩種修復方法的可修復系統解研究

周 莉*,蘆 雪 娟,王 偉 華

(齊齊哈爾大學 理學院, 黑龍江 齊齊哈爾 161006 )

將半離散算法應用到具有兩種修復方法的可修復系統模型中，在[0，x0]上對其修復率進行離散，得到了該系統的半離散化模型．進一步利用泛函分析中算子半群理論將半離散后的偏微分方程轉化為抽象Cauchy問題，即轉化為矩陣常微分方程組；再根據Trotter逼近定理證明了矩陣常微分方程組的解收斂于原方程的解．最后在故障率和修復率均為常數的前提下，利用Matlab對該系統的穩定性和可靠性等進行了數值試驗并得到了該模型的數值解，同時給出了相應的圖形趨勢．結果表明，對具有兩種修復方法的可修復系統模型進行半離散化研究，既可以為利用計算機進一步進行數值計算打下理論基礎，又有助于研究和分析系統的可靠性．

可修復系統；半離散化；收斂；數值計算

0 引 言

可修復系統在可靠性理論中占有重要地位，是非常重要的系統，也是可靠性數學研究的基本問題之一．目前，Gupur[1]、Li等[2]、Chung[3]從統計獨立事件和兩個狀態單調相關聯的系統到多個狀態相對復雜系統的可靠性都進行了研究．對于一個可修復系統的可靠性來說，最希望的是設計出來的系統能長時間地安全穩定工作．對維修性來說，希望設計出來的系統在發生故障時能夠被快速修復好．將良好的可靠性與良好的維修性結合起來，就可以保證系統較高的實用性．因此，在實際中為了提高系統的可靠性，經常采用檢修的手段對系統進行維護．可修復系統一般由一些故障部件和一個或多個維修設備組成，維修設備對發生故障的部件進行檢查和維修，修理后的部件可繼續執行正常的工作．

Dhillon[4]運用Laplace變換研究了具有兩種修復方法的可修復系統模型，得到了穩態解的存在性．張玉峰等[5]證明了該系統動態非負解是存在且唯一的．趙玉榮等[6]通過系統算子的譜點分析得出了其解的漸進穩定性及系統穩態解就是系統算子的零本征值對應的本征向量．本文在文獻[6]的基礎上將半離散算法[7]應用于該系統模型中，對系統的修復率μj(x)(j=1，2)用初等階梯函數進行逼近[8]，得到系統半離散化模型，最后對所得結果用Matlab進行數值模擬，并得出相應的模擬圖形，從直觀上驗證理論研究結果的正確性．

1 數學模型

具有兩種修復方法的復雜可修復系統(系統Ⅰ)的模型見圖1.

圖1 具有兩種修復方法的復雜可修復系統模型Fig.1 Repairable system model with two typesnof repair facilities

該模型可用積分-微分方程描述為

(1)

(2)

(3)

j=3，4

(4)

pj(0，t)=λjp2(t)；j=3，4

(5)

p(0)=1，p1(0)=p2(0)=0，pj(x，0)=0；

j=3，4

(6)

記m0=λ1+λc，m1=λ2+μd，m2=λ3+λ4．其中pj(t)表示t時刻系統處于j狀態的概率，j=0為正常狀態，j=1為退化狀態，j=2為崩潰狀態，j=3為大修狀態，j=4為小修狀態．pj(x，t)表示系統處于狀態j且已修時間為x的概率，j=3，4．λj是系統定常故障率，j=1為從正常狀態到退化狀態，j=2為從退化狀態到崩潰狀態，j=c為從正常狀態到崩潰狀態．μd是系統在退化狀態時的定常修復率．μj(x)表示系統處于狀態j修復時間為x時的修復率，j=3，4，且滿足

在Banach空間中用抽象Cauchy問題來描述這個系統狀態空間：

顯然X是Banach空間．定義算子A及其定義域：

則方程(1)～(6)可以描述成Banach空間X中一個抽象的Cauchy問題：

(7)

p(0)=(1 0 0 0 0)T

(8)

2 模型的半離散化

下面構造階梯函數：

(9)

pn(0)=(1 0 0 0 0)T

(10)

3 系統動態解的逼近

由文獻[6]和[9]可知：A生成一個C0壓縮半群，再由生成C0半群的唯一性知此壓縮C0半群就是T(t)．

首先估計線性算子A的預解式R(v；A)和線性算子An的預解式R(v；An)，然后用Trotter定理來證明系統動態解的逼近．

考慮方程(vI-A)p(x)=y(x)，即

(11)

-λ1p0+(v+λ2+μd)p1=y1

(12)

-λcp0-λ2p1+(v+λ3+λ4)p2=y2

(13)

(14)

由方程(14)可得

(15)

令

由邊界條件，則有關于p0、p1、p2方程組如下：

(v+λ1+λc)p0-μdp1-(λ3σ3+λ4σ4)p2=y0+φ(y3)+φ(y4)

(16)

-λ1p0+(v+λ2+μd)p1=y1

(17)

-λcp0-λ2p1+(v+λ3+λ4)p2=y2

(18)

考慮關于p0、p1、p2方程組的系數矩陣D：

當v>0時detD≠0，方程組(16)～(18)有唯一解[6,10]，那么方程組(11)～(14)有唯一解，從而有R(vI-A)X=3．所以(vI-A)是閉算子，(vI-A)-1存在且有界[11]．

由Gramer法則可得

其中d14=d11w3，d15=d11w4，d24=d21w3，d25=d21w4，d34=d31w3，d35=d31w4．

其中

k11=λ3d31w3， k12=λ3d32w3，

k13=λ3d33w3， k14=k15=λ3d31，

k21=λ4d31w4， k22=λ4d32w4，

k23=λ4d33w4， k24=k25=λ4d31

取

H=d11d12d13d14d15d21d22d23d24d25d31d32d33d34d35k11k12k13G k15φ4(τ)k21k22k23k24φ3(τ)G^?è?????????÷÷÷÷÷÷÷

其中

=k25φ4(τ)+G(y4)

因此A的預解式為

現在來證明系統修復率的逼近，只要證明R(v，An)y→R(v，A)y．

即證明

σnj→σj(n→∞)

考慮

則有

即

即

R(v；An)y→R(v；A)y(n→∞)

這樣就證明了系統動態解的逼近．

4 數值模擬

下面利用數值計算方法，對上述結果進行數值模擬，以期待驗證理論結果的正確性，并以此說明上述離散化方法的合理性．

為此假設故障率和修復率為常數，即

λj=λc=λ(j=1，2，3，4)，μd=μ3(x)=μ4(x)=μ．

并令

則系統(Ⅰ)轉化為一個常微分方程組(Ⅱ)：

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

p0(0)=1，pj(0)=0；j=1，2，3，4

(24)

記m0=λ1+λc，m1=λ2+μd，m2=λ3+λ4．

下面用Matlab數學軟件求常微分方程組的數值解，此時令λ=0.5，μ=0.5，其結果如圖2所示．

(a) p0

(b) p1

(c) p2

(d) p3

(e) p4

圖2 系統Ⅰ的數值解(μ3(x)=μ4(x)=常數)
Fig.2 Numerical solution of System Ⅰ (μ3(x)=μ4(x)=const)

由以上模擬圖形可以看出系統動態解是存在的．這與以上證得的結論是相符的，從而也說明了半離散化方法應用于該模型是合理的．

5 結 語

本文通過半離散逼近算法將具有兩種修復方法的復雜可修復系統模型進行合理離散并運用Trotter逼近定理加以證明．同時在假設故障率和修復率為常數的前提下利用數值計算的方法對該模型進行數值模擬，得到了該系統的數值解，并給出了相應的數值模擬圖，從而更有效地利用計算機尋求數學問題近似解，更好地解決數學問題．

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ZHANG Gongqing, GUO Maozheng. Functional Analysis [M]. Beijing:Beijing University Press, 1990. (in Chinese)

Study of solution of repairable system with two types of repair facilities

ZHOU Li*,LU Xuejuan,WANG Weihua

(College of Science, Qiqihar University, Qiqihar 161006, China )

The semi-discrete algorithm is applied to the repairable system with two types of repair facilities, the repairable rate in [0,x0] is discretized and the semi-discrete model of the system is acquired. Furthermore, by using the operator semi-group theory in functional analysis, the semi-discrete partial differential equation is transformed to the abstract Cauchy problems, i. e. the matrix ordinary differential equations. Then the solution of the matrix ordinary differential equations is proved to converge to the solution of the original equation according to Trotter approximate theorem. At last, because the failure rate and the repairable rate are constants, using Matlab the stability and the reliability of the system are proved and the numerical solution of the system is acquired, the corresponding graph trend is given. The results show that semi-discrete study of the repairable system model with two types of repair facilities can not only lay a theoretical foundation for the use of the computer for further numerical calculation, but also have practical value to analyze and study the reliability of the system.

repairable system; semi-discretization; convergence; numerical calculation

1000-8608(2017)04-0424-06

2017-03-09；

2017-06-05．

國家科技支撐計劃課題資助項目(2013BAK12B0803)；黑龍江省教育廳基本業務專項理工面上項目(135109229).

周 莉*(1976-)，女，碩士，副教授，E-mail:13796881349@139.com；蘆雪娟(1979-)，女，博士，講師，E-mail:lujuan02@163.com；王偉華(1978-)，女，碩士，副教授，E-mail:wangweihua8500@163.com.

TP391.9

A

10.7511/dllgxb201704014