平拋運動與圓周運動有關知識的結合在生活中的應用

貴州 胡朝平

平拋運動與圓周運動有關知識的結合在生活中的應用

貴州 胡朝平

平拋運動與圓周運動知識相結合的問題在現實生活中有很多事例，解決這類問題要分析研究各階段的獨立性，其中兩相鄰過程中的速度是聯系兩過程的紐帶，運用平拋運動規律和圓周運動有關規律，同時結合圖形中的幾何關系分析，下面以力學中常見的情況進行分析。

一、物體運動由平拋運動變化到豎直圓周運動

【例1】如圖1所示，是某次四驅車比賽的軌道中某一段，小華控制的四驅車（可視為質點），質量為m＝1．0 kg，額定功率為P＝7 W。小華的四驅車到達水平平臺上時，啟動四驅車的發動機并直接使發動機的功率達到額定功率，一段時間后關閉發動機。當四驅車由平臺邊緣P點飛出后，恰好從光滑圓弧ABC的A點的切線方向進入圓?。ú挥嬁諝庾枇?，進入圓弧時無機械能損失）。已知圓弧的半徑R＝0．3 m，θ＝60°，賽車到達A點時的速度vA＝4 m/s（取g＝10 m/s2）。求：

圖1

（1）賽車做平拋運動的初速度v0；

（2）P點與A點的水平距離和豎直高度；

（3）賽車到達圓弧最高點C時對軌道的壓力。

【解析】（1）賽車到A點的速度如圖2所示，賽車做平拋運動的初速度v0等于vA的水平分速度，由圖可知v0＝vx＝vAcosθ＝4×cos60°＝2 m/s。

（2）由圖可知，賽車運動至A點時豎直方向的分速度為

設P點與A點的水平距離為x，豎直高度為h，則

圖2

聯立以上幾式解得

x≈0．69 m，h＝0．6 m。

（3）取A點為重力勢能的零點，由機械能守恒定律得

設賽車到達圓弧最高點C時，軌道對它的彈力為FN，由圓周運動向心力公式得

代入數據得FN≈13．3 N，

由牛頓第三定律可知，賽車對軌道的壓力大小F′N＝FN＝13．3 N，方向豎直向上。

【評析】物體運動由平拋運動變化到豎直圓周運動，分析時，應按如下步驟：

（1）畫好圖示，明確圖中幾何關系，運用數學知識找出相關量之間的關系；

（2）抓住速度是聯系前后兩個過程的關鍵物理量，前一過程的末速度是后一過程的初速度；

（3）列出平拋運動有關規律（包括速度、位移、角度關系式）；

（4）若利用功能關系解答問題時，要特別注意兩種曲線運動結合處的速度情況。若速度分解，有能量損失，若沒有速度分解，可以利用全過程法解決。

二、物體運動由圓周運動變化到平拋運動

【例2】如圖3所示的S形玩具軌道，該軌道是用內壁光滑的薄壁細圓管彎成，放置在豎直平面內，軌道彎曲部分是由兩個半徑相等的半圓對接而成，圓弧半徑比細管內徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平方向不可移動。彈射裝置將一個小球（小球的直徑略小于細圓管內徑）從a點沿水平地面向b點運動并進入軌道，經過軌道后從最高點d水平拋出。已知小球與地面ab段間的動摩擦因數為μ，ab段長為L，圓的半徑為R，小球質量為m，求：

圖3

（1）若小球經d處時，對軌道上壁有壓力，則它經過b處時的速度滿足什么條件？

（2）為使小球離開軌道d處后，不會再碰到軌道，則小球離開d處時的速度至少為多大？

【解析】（1）小球經過d處時，對軌道上壁有壓力，向心力由重力和軌道上壁壓力提供，根據牛頓第二定律，小球經d點時得

小球經d處對軌道上臂有壓力Fd＞0

小球從b到d，由機械能守恒定律得

（2）設小球離開d處時的速度為vd，在運動過程中與軌道恰好相碰，即小球的運動軌跡與圓相切。以d點為坐標原點建立如圖4所示坐標系，由平拋運動規律得

圖4

由①②兩式得

由解析幾何知識得

聯立③④兩式得

要使得拋物線與圓相切，則方程⑤的Δ判別式為零，

故小球離開軌道d處后，不再碰到軌道，小球離開d出時的速度至少為

【評析】物體運動由豎直圓周運動變化到平拋運動，分析這類情況分析時，有以下步驟：

（1）明確豎直面內的圓周運動是“輕桿模型”還是“輕繩模型”，分析物體能夠到達圓周最高點的臨界條件；

（2）物體在豎直圓周運動最高點或最低點求作用力時，找到指向圓心的向心力，運用牛頓第二定律列方程式Fn＝man分析；

（3）光滑軌道上的圓周運動運用機械能守恒定律，有摩擦的圓周運動運用動能定理或能量守恒定律分析；

（4）畫好圓周運動與平拋運動圖示，明確圖中幾何關系，運用數學知識（包括幾何關系、三角函數和解析幾何知識）找出相關量的關系；

（5）列出平拋運動有關規律求解。

（作者單位：貴州省天柱民族中學）