與動量知識結合的易錯問題分析

湖北 許 文

與動量知識結合的易錯問題分析

湖北 許 文

學習中防止出現錯誤，才能取得進步。認識每一道錯題背后可能隱藏的知識上的疏漏、理解上的偏差，透過錯誤表象看到其本質，往往比正確做出一道題收效更大。2017年全國高考物理大綱將動量知識內容調整為必考內容，這一調整必將在高考中有所體現。本文分析高考中與動量知識結合的易錯問題，做到有的放矢，科學備考。

一、用動量定理分析持續作用問題建模致錯

【例1】如圖1所示，一架質量為M的武裝直升機武直－10的旋翼槳旋轉向下推空氣獲得反沖力使直升機懸停在空中。已知向下推出空氣的速度為v，則直升機發動機的功率為 （ ）

圖1

【錯解】因直升機懸停在空中，旋翼槳旋轉向下推空氣獲得反沖力F＝Mg，則直升機發動機的功率為P＝Fv＝Mgv，B項正確。

【錯因】直升機發動機帶動旋翼槳旋轉持續向下推空氣使其獲得反沖力，發動機的平均功率是指旋翼槳對推出空氣做功的平均功率。以上錯解在于不能對持續作用問題正確建立物理模型。

【正解】在本題的求解過程中，我們可以構建這樣一個物理模型：設發動機帶動旋翼槳旋轉一段很短的時間Δt，使質量為Δm的一團空氣體獲得向下的速度v，發動機對這團氣體的作用力為F（FΔmg），直升機獲得反沖力F′而停在空中不動。發動機在這段時間內對這團氣體所做的功ΔW應等于這團氣體的動能的增量，即

對直升機有F′＝Mg

對這團氣體由動量定理有 （F＋Δmg）Δt＝Δmv，

由于FΔmg，上式可以變為FΔt＝Δmv

由牛頓第三定律得F與F′的大小應相等，即F＝F′

【答案】C

【感悟】持續作用問題又稱流體問題。液體流、電子流、光子流、氣體流等被廣義地稱為“流體”，其中電子流、光子流、氣體流等又可統稱為粒子流。對于流體的持續作用問題，關鍵的是正確建立物理模型，選取合適的研究對象。

持續作用問題的求解要點：

（1）確定研究對象：選取研究對象的方法通常用到微元法。對液體流，通常選取質量為Δm的一段液柱為研究對象；對于運動粒子流，通常是選取體積為ΔV的體積元為研究對象。

（2）選取作用時間：選取持續作用過程中一段很短的時間Δt。注意這段Δt內發生作用的“流體元”的質量Δm很小，必要時這一條件是采用相關數學近似計算的依據。

（3）選用相關規律：一般可用動量定理，也可用牛頓運動定律與相關運動學公式。值得注意的是，在很短的作用時間Δt內，研究對象“流體元”受到的作用力可以認為是不變的，或取作用力的平均值。動量定理的表達式是一個矢量式，可以用在某個方向上，應用時要注意相關矢量正方向的選取。

二、動量與能量相結合時對暫態過程分析不清致錯

【例2】如圖2所示，A、B、C三個木塊的質量均為m，置于光滑的水平桌面上，B、C之間有一輕質彈簧，彈簧的兩端與木塊接觸而不固連。將彈簧壓緊到不能再壓縮時用細線（細線未畫出）把B和C緊連。現A以初速度v0沿B、C的連線方向朝B運動，與B相碰并黏合在一起，之后細線突然斷開，彈簧伸展，從而使C與A、B分離。已知C離開彈簧后的速度恰為v0，求彈簧釋放的勢能。

圖2

【錯解】設A與B碰后A、B的共同速度的大小為v，由動量守恒定律得mv0＝2mv①

設C離開彈簧時，A、B的速度大小為v1，由動量守恒定律得2mv＝2mv1＋mv0②

設彈簧釋放的彈性勢能為Ep，從細線斷開到C與彈簧分開的過程中系統機械能守恒，有

【錯因】由于題給出“B和C間的彈簧壓緊到不能再壓縮”，在A與B碰撞瞬間，也存在B與C碰撞這樣一個暫態作用過程，可等效為A與B、C一起碰撞。以上錯解沒能認清這個暫態作用過程，致使列出的表達式①②③式均有錯誤，因而得出的結果錯誤。

【正解】設A與B、C碰后A、B、C的共同速度的大小為v，由動量守恒定律得mv0＝3mv①

設C離開彈簧時，A、B的速度大小為v1，由動量守恒定律得3mv＝2mv1＋mv0②

設彈簧的彈性勢能為Ep，從細線斷開到C與彈簧分開的過程中機械能守恒，有

【感悟】剛性物體間的碰撞是一個暫態作用過程。對這個暫態過程的分析，一般可從動量的觀點和能量的觀點來進行。由于這兩個觀點研究的是物體或系統運動變化所經歷過程中狀態的改變，不對過程變化的細節做深入的研究，只關心運動狀態變化的結果及引起變化的原因。因而就很容易忽視對暫態過程的分析。含有彈簧的碰撞問題，在碰撞過程中系統的機械能不一定守恒，如本例中，彈簧伸展之前，A與B碰撞的過程為完全非彈性碰撞，但在碰撞結束后，彈簧伸展的過程中，系統的動量和機械能均守恒。

三、動量守恒定律應用于原子能級躍遷因機理不明確致錯

【例3】用電子碰撞靜止的原子，能使原子從基態躍遷到激發態。設電子質量為m，原子質量為M，原子基態與激發態的能量差為ΔE，求入射電子初動能的最小值。

【錯解】設入射電子的初動能為Ek，則初動量大小為與靜止的原子碰撞后原子的速度為v，碰后電子的速度為零時，Ek最小。由動量守恒定律得，由能量守恒定律得，聯立以上兩式可得

【錯因】以上錯解在于對原子能級躍遷的機理不明確。電子碰撞靜止的原子，原子只吸收電子的部分能量而不是全部，因此碰后電子的速度不可能為零。

【正解】設入射電子的初動能為Ek，則初動量大小為與靜止的原子碰撞后電子的速度為u，原子的速度為v。由動量守恒定律得

【感悟】能量守恒定律與動量守恒定律是自然界中最普遍的規律，它們不僅適用于宏觀低速運動的物體，也適用于微觀高速運動的粒子。本題的求解要建立正確的物理情景：電子與原子的“碰撞”過程中損失的機械能被原子吸收，等于基態的原子躍遷到激發態而增加的原子能量。由于題給出的這一能量是個定值，由能量守恒定律知入射電子的初動能與碰撞后電子或原子的速度大小有關。通過運用兩個守恒定律導出電子初動能與碰后電子或原子的速度大小的表達式，再運用數學知識求極值。

（作者單位：湖北省武漢市華北科技大學附屬中學）