自主招生電學(xué)專題講解

江蘇 吳 俊

自主招生電學(xué)專題講解

江蘇 吳 俊

一、電場的計(jì)算

【例1】（2009·浙江大學(xué)自招）正方體八個頂點(diǎn)上各有一電荷為q的點(diǎn)電荷，求它們在上面中心O形成的合場強(qiáng)大小和方向。

【解析】設(shè)正方體邊長為a，正方體上方頂點(diǎn)四個電荷在上面中心O形成的合場強(qiáng)為零。

正方體下方頂點(diǎn)四個電荷與上面中心O的距離為

每個點(diǎn)電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生電場的場強(qiáng)大小為

由對稱性可知該場強(qiáng)在正方體上方平面的分量相互抵消。垂直正方體上方平面的分量為

在上面中心O形成的合場強(qiáng)大小為

方向垂直于正方體上方平面向上。

【點(diǎn)評】庫侖定律的應(yīng)用，電場、電勢的計(jì)算等問題是自主招生考試中的常考題。常用的方法有微元法、對稱法和極限法等。其中電場強(qiáng)度的計(jì)算要注意利用矢量的疊加，對于一些選擇題來說，可以利用對稱法和極值法避開復(fù)雜運(yùn)算。而電勢為標(biāo)量，疊加時利用標(biāo)量的運(yùn)算法則。

二、帶電粒子在電場中的運(yùn)動

【例2】（2010·華約自招）如圖1所示，三個面積均為S的金屬板A、B、C水平放置，A、B相距d1，B、C相距d2，A、C接地，構(gòu)成兩個平行板電容器。上板A中央有小孔D，B板開始不帶電。質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的液滴從小孔D上方高度為h處的P點(diǎn)由靜止一滴一滴落下。假設(shè)液滴接觸B板可立即將電荷全部傳給B板。油滴間的靜電相互作用可忽略，重力加速度取g。

圖1

（1）若某帶電液滴在A、B板之間做勻速直線運(yùn)動，此液滴是從小孔D上方落下的第幾滴？

（2）若發(fā)現(xiàn)第N滴帶電液滴在B板上方某點(diǎn)轉(zhuǎn)為向上運(yùn)動，求此點(diǎn)與A板的距離H（以空氣為介質(zhì)的平行板電容器電容C＝S/（4πkd），式中S為極板面積，d為極板間距，k為靜電力常量）。

【解析】（1）根據(jù)題意，A、B板與B、C板構(gòu)成的兩個平行板電容器的電容分別為

設(shè)第n滴帶電液滴可在A、B板之間做勻速直線運(yùn)動，當(dāng)?shù)趎滴帶電液滴處于A、B板之間時，B板所帶電荷量為

Q1＋Q2＝（n－1）q③

式中，Q1和Q2分別為金屬板B上、下兩個表面上的電荷量。設(shè)B板電勢為U，則

Q1＝C1U④

Q2＝C2U⑤

A、B板之間的電場強(qiáng)度為E1＝U/d1⑥

由于第n滴帶電液滴在A、B板之間做勻速直線運(yùn)動，有

qE1＝mg⑦

（2）當(dāng)?shù)贜－1滴帶電液滴在B板上時，（1）中①～⑤仍有效，相應(yīng)的B板電勢以及其上、下表面所帶電荷量分別記為U′、Q′1和Q′2。B板所帶電荷量為

按題意，第N滴帶電液滴會在下落到離A板距離為H（H＜d1）時，速度為零，此時液滴所在位置的電勢為

由能量守恒定律得

【點(diǎn)評】帶電粒子在電場中的運(yùn)動是高考和自主招生命題中的熱點(diǎn)，只不過自主招生命題中，出現(xiàn)了電容器的串、并聯(lián)問題。串聯(lián)電容器充電后各電容器的電量相同，即Q1＝Q1＝…Q，第一個電容器的正極與第n個電容器的負(fù)極之間的電壓U為各電容器電壓Ui之和，即，并聯(lián)電容器充電后正極總電量Q等于各電容器正極電量Qi之和，即。

帶電粒子在電容器中的運(yùn)動主要涉及的知識點(diǎn)是牛頓運(yùn)動定律、動量定理、動能定理等，不涉及時間優(yōu)先考慮動能定理，對于多過程問題可以借助圖象法。

三、帶電粒子在磁場中的運(yùn)動

【例3】（2013·北約自招）如圖2所示，在一豎直平面內(nèi)有水平勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向垂直該豎直平面朝里。豎直平面中a、b兩點(diǎn)在同一水平線上，兩點(diǎn)相距l(xiāng)。帶電量q＞0，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P，以初速度v從a對準(zhǔn)b射出。忽略空氣阻力，不考慮P與地面接觸的可能性，設(shè)定q、m和B均為不可改動的給定量。

圖2

（1）若無論l取什么值，均可使P經(jīng)直線運(yùn)動通過b點(diǎn)，試問v應(yīng)取什么值？

（2）若v為（1）問可取值之外的任意值，則l取哪些值，可使P必定會經(jīng)曲線運(yùn)動通過b點(diǎn)？

（3）對每一個滿足（2）問要求的l值，計(jì)算各種可能的曲線運(yùn)動對應(yīng)的P從a到b所經(jīng)過的時間。

（4）對每一個滿足（2）問要求的l值，試問P能否從a靜止釋放后也可以通過b點(diǎn)？若能，在此過程中可達(dá)到的最大運(yùn)動速率vmax。

【解析】（1）要使P經(jīng)過直線運(yùn)動通過b點(diǎn)，必有mg＝qvB

解得

（2）設(shè)質(zhì)點(diǎn)速度為v＋Δv，質(zhì)點(diǎn)所受到的洛倫茲力為q（v＋Δv）B，與重力的合力為mg＋q（v＋Δv）B＝qΔvB，所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動可視為沿ab連線方向做速度為v的勻速直線運(yùn)動和速度為Δv的圓周運(yùn)動，要使質(zhì)點(diǎn)通過b點(diǎn)，t＝nT②

l＝vt④

以上各式解得

【點(diǎn)評】帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動不僅是自主招生命題的熱點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)。速度分解的穿插應(yīng)用在自主招生中比較常見，高考中主要是福建等地出現(xiàn)幾次。應(yīng)對策略還是要掌握高考中的幾種題型，如帶電粒子在分立場（有界）、組合場、復(fù)合場等的運(yùn)動，由高考促自招，這樣的對策與高考和自招的時間安排及內(nèi)容都是吻合的。

四、電磁感應(yīng)定律的綜合應(yīng)用

【例4】（2011·北約自招）不計(jì)電阻的光滑平行軌道EFG、PMN構(gòu)成相互垂直的L型，如圖3所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場方向與水平的EFMP平面夾角θ（θ＜45°）斜向上，金屬棒ab、cd的質(zhì)量均為m、長均為L、電阻均為R。ab、cd由細(xì)線通過角頂處的光滑定滑輪連接，細(xì)線質(zhì)量不計(jì)，ab、cd與軌道正交，已知重力加速度為g。

圖3

（1）求金屬棒的最大速度vmax；

（2）當(dāng)金屬棒速度為v時，且v小于最大速度vmax時，求機(jī)械能損失的功率P1和電阻的發(fā)熱功率P2。

【解析】金屬棒達(dá)到最大速度vmax時，回路的感應(yīng)電動勢E＝B cosθ·Lvmax－B sinθ·Lvmax＝ BLvmax（cosθ－sinθ），回路電流為I＝E/2R

當(dāng)兩金屬棒做勻速運(yùn)動時，速度達(dá)到最大值，有

（2）當(dāng)金屬棒速度為v時，回路中的感應(yīng)電動勢

E′＝B cosθ·Lv－B sinθ·Lv＝BLv（cosθ－sinθ），回路中電流I′＝E′/2R，

機(jī)械能損失的功率

【點(diǎn)悟】解答雙桿問題時，首先要根據(jù)右手定則（或楞次定律）判斷每個桿電動勢的方向，進(jìn)而判斷兩個電源是順接還是反接，從而準(zhǔn)確寫出電路中電流的表達(dá)式，在使用E＝Blv公式時要注意使用的條件，B與v不垂直時要注意矢量的分解，在處理功能問題時，要分清安培力做功功率、電路中的發(fā)熱功率等。

小試身手

1．（第32屆全國高中物理競賽預(yù)賽）如圖所示，一半徑為R的固定的光滑絕緣圓環(huán)，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)上有兩個相同的帶電小球a和b（可視為質(zhì)點(diǎn)），只能在環(huán)上移動。靜止時兩小球之間的距離為R。現(xiàn)用外力緩慢推左球a使其到達(dá)圓環(huán)最低點(diǎn)c，然后撤除外力，下列說法正確的是（ ）

A．在左球a到達(dá)c點(diǎn)的過程中，圓環(huán)對b球的支持力變大

B．在左球a到達(dá)c點(diǎn)的過程中，外力做正功，電勢能增加

C．在左球a到達(dá)c點(diǎn)的過程中，a、b兩球的重力勢能之和不變

D．撤除外力后，a、b兩球在軌道上運(yùn)動過程中系統(tǒng)的能量守恒

2．（2010·華約自招）如圖所示，圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，P為磁場邊界上的一點(diǎn)。有無數(shù)帶有同樣電荷、具有同樣質(zhì)量的粒子在紙面內(nèi)沿各個方向以同樣的速率通過P點(diǎn)進(jìn)入磁場。這些粒子射出邊界的位置均處于邊界的某一段弧上，這段圓弧的弧長是圓周長的1/3。將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小從原來的B1變?yōu)锽2，結(jié)果相應(yīng)的弧長變?yōu)樵瓉淼囊话耄瑒tB2/B1等于 （ ）

3．（2011·華約自招）空間某區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場的上下邊界水平，方向和豎直平面（紙面）垂直，兩個由完全相同的導(dǎo)線制成的剛性線框a和b，其形狀分別是周長為4l的正方形和周長為6l的矩形，線框a和b在豎直平面內(nèi)從如圖所示的位置開始自由下落，若從開始下落到線框完全離開磁場的過程中安培力對兩線框的沖量分別為Ia、Ib，則Ia∶Ib為 （ ）

A．3∶8 B．1∶2 C．1∶1 D．3∶2

4．（2011·卓越自招）心電圖儀是將心肌收縮產(chǎn)生的脈動轉(zhuǎn)化為電壓脈沖的儀器，其輸出部分可用一個與大電阻（40 kΩ）相連的交流電源來等效，如圖所示。心電圖儀與一理想變壓器的初級線圈相連，以揚(yáng)聲器（可以等效為阻值為8Ω的電阻）與該變壓器的次級線圈相連。在等效電源的電壓有效值U0不變的情況下，為使揚(yáng)聲器獲得最大功率，變壓器的初級線圈和次級線圈的匝數(shù)比約為 （ ）

A．1∶5 000 B．1∶70

C．70∶1 D．5 000∶1

5．（2015·第32屆全國高中物理競賽預(yù)賽）在“利用電流傳感器（相當(dāng)于理想電流表）測定干電池電動勢和內(nèi)阻”的實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)利用兩個電流傳感器和定值電阻R0＝2 000Ω以及滑動變阻器，設(shè)計(jì)了如圖甲所示的電路，減小誤差。該同學(xué)測出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示。

1 2 3 4 5I1/m A 1．35 1．30 1．20 1．10 1．05I2/A 0．30 0．40 0．60 0．80 0．90

表中I1和I2分別是通過電流傳感器1和2的電流。該電流的值通過數(shù)據(jù)采集器輸入到計(jì)算機(jī)，數(shù)據(jù)采集器和計(jì)算機(jī)對原電路的影響可忽略。

（1）在圖乙中繪出I1－I2圖線；

（2）由I1－I2圖線得出，被測電池的電動勢為

6．（第30屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽）圖中所示的靜電機(jī)由一個半徑為R、與環(huán)境絕緣的開口（朝上）金屬球殼形的容器和一個帶電液滴產(chǎn)生器G組成。質(zhì)量為m、帶電量為q的球形液滴從G緩慢地自由掉下（所謂緩慢，意指在G和容器口之間總是只有一滴液滴）。液滴開始下落時相對地面的高度為h。設(shè)液滴很小，容器足夠大，容器在達(dá)到最高電勢之前進(jìn)入容器的液體尚未充滿容器。忽略G的電荷對正在下落的液滴的影響。重力加速度大小為g。若容器初始電勢為零，求容器可達(dá)到的最高電勢Vmax。

7．（2014·北約自招）如圖所示，區(qū)域中一部分有勻強(qiáng)磁場，另一部分有勻強(qiáng)電場，磁場方向垂直于紙面向里，電場方向與電、磁場分界線平行向右。一帶正電粒子從A點(diǎn)以速度v射入勻強(qiáng)磁場，方向未知，經(jīng)過t1時間運(yùn)動到磁場與電場交界處B點(diǎn)，此時速度方向垂直于兩個場的分界線，此后粒子在電場力的作用下，經(jīng)過t2時間從C點(diǎn)離開電場，已知磁場寬度與電場寬度分別為l1和l2，A與B點(diǎn)的水平距離為d，不計(jì)粒子的重力。

（1）求整個運(yùn)動過程中粒子的最大速度；

參考答案

1．BD 【解析】在左球a到達(dá)c點(diǎn)的過程中，b球向上移動，重力與庫侖力的夾角增大，其合力減小，由平衡條件可知，圓環(huán)對b球的支持力變小，A項(xiàng)錯誤；在左球a到達(dá)c點(diǎn)的過程中，兩球之間的距離減小，外力做正功，電勢能增加，B項(xiàng)正確；在左球a到達(dá)c點(diǎn)的過程中，a、b兩球的重力勢能之和變化，C項(xiàng)錯誤；撤除外力后，a、b兩球在軌道上運(yùn)動過程中系統(tǒng)的能量守恒，D項(xiàng)正確。

2．D 【解析】設(shè)圓形區(qū)域磁場的半徑為r，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B1時，從P點(diǎn)入射的粒子射出磁場時與磁場邊界的最遠(yuǎn)交點(diǎn)為M，（見圖甲）由題意知∠POM＝120°，則該帶電粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡是以PM為直徑的圓。由幾何關(guān)系得軌跡圓半徑為，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B2時，從P點(diǎn)入射的粒子射出磁場時與磁場邊界的最遠(yuǎn)交點(diǎn)為N（見圖乙），由題意知∠PON＝60°，由幾何關(guān)系得軌跡圓半徑為

3．A 【解析】線框受到安培力F＝BIL，而E＝BLv，則，設(shè)安培力在Δt內(nèi)對線框的沖量為ΔI，則ΔI＝，那么整個過程中安培力的沖量

4．C 【解析】設(shè)變壓器的初次級線圈匝數(shù)之比為k，利用等效思想，將副線圈電阻R＝8Ω等效折成原線圈電路中的電阻為R′＝k2R，將40 kΩ等效為電源內(nèi)阻，當(dāng)內(nèi)外電阻阻值相等時，可使揚(yáng)聲器獲得最大的功率，即40 kΩ＝k2R，解得k≈70。

5．（1）I1－I2圖線如圖所示

（2）3．0 1．0

【解析】利用描點(diǎn)法繪出I1－I2圖線。對電路，由閉合電路歐姆定律，E＝I1R0＋（I1＋I(xiàn)2）r，變化成，對比繪出的I1－I2圖線可知0．5×10－3，聯(lián)立解得r＝1．0Ω，E＝3．0 V。

【解析】設(shè)在某一時刻球殼形容器的電量為Q。以液滴和容器為體系，考慮從一滴液滴從帶電液滴產(chǎn)生器G出口自由下落到容器口的過程。根據(jù)能量守恒定律有

式中，v為液滴在容器口的速率，k是靜電力常量。由此得液滴的動能為

從上式可以看出，隨著容器電量Q的增加，落下的液滴在容器口的速率v不斷變小；當(dāng)液滴在容器口的速率為零時，不能進(jìn)入容器，容器的電量停止增加，容器達(dá)到最高電勢。設(shè)容器的最大電量為Qmax，則有

【解析】（1）如圖所示，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由于垂直從交界處進(jìn)入電場，故在電場中做類平拋運(yùn)動：

豎直方向：l2＝vt2

在離開電場時粒子的速度最大，由動能定理得

（2）設(shè)在磁場中做圓周運(yùn)動所對應(yīng)的圓心角為θ，由幾何關(guān)系知l1＝R sinθ和d＝R（1－cosθ），

（3）在磁場中做圓周運(yùn)動的時間

（作者單位：江蘇省江陰市第一中學(xué)）