百變彈簧，功能制勝

江蘇 傅思遠

百變彈簧，功能制勝

江蘇 傅思遠

百變，說的是彈簧的彈力和彈性勢能善變，涉及的問題很多。彈簧問題常常涉及胡克定律、動能定理、功能關系，而功能關系能一錘定音，克敵制勝。

【例題】如圖1所示，水平桌面上的輕質彈簧一端固定，另一端與小物塊相連。彈簧處于自然長度時物塊位于O點（圖中未標出）。物塊的質量為m，AB＝a，物塊與桌面間的動摩擦因數為μ。現用水平向右的力將物塊從O點拉至A點，拉力做的功為W。撤去拉力后物塊由靜止向左運動，經O點到達B點時速度為零。重力加速度為g。則上述過程中 （ ）

圖1

A．物塊在A點時，彈簧的彈性勢能等于

B．物塊在B點時，彈簧的彈性勢能小于

C．經O點時，物塊的動能小于W－μmga

D．物塊動能最大時彈簧的彈性勢能小于物塊在B點時彈簧的彈性勢能

【第一印象】

（1）題干中已知AB的距離為a，卻不將O點的位置在圖中標出，所以潛意識認為判斷O點位置或許就是解題的突破口。

（2）物塊與桌面間的動摩擦因數為μ，在運動過程中存在阻力作用，這無疑增大解題的難度和復雜性。

（3）初看物體的運動可分為兩個過程：O→A和A→B。但分析選項C時發現并不如此簡單，還應將A→B過程分為A→O和O→B兩個過程。

方法一：【解析】為了更清楚地說明情況，畫出位置示意圖如圖2所示。

圖2

如果沒有摩擦力，則O點應該在AB中間，由于存在摩擦阻力，物體從A到B過程中機械能損失，故無法到達沒有摩擦力情況下的B點，即O點應靠近B點。故有OA＞，此過程物體克服摩擦力做功大于，所以物塊在A點時，彈簧的彈性勢能小于，A項錯誤；由A項分析得物塊從開始運動到最終停在B點，路程大于a＋，故整個過程物體克服阻力做功大于，所以物塊在B點時，彈簧的彈性勢能小于，B項正確；從O點開始到再次到達O點，物體路程大于a，根據動能定理得物塊的動能小于W－μmga，故C項正確；物塊動能最大時，彈力大小等于摩擦力。而在B點，彈力與摩擦力的大小關系未知，故物塊動能最大時彈簧伸長量與物塊在B點時彈簧壓縮量大小未知，故此兩位置彈性勢能大小關系不好判斷，所以D項錯誤。

【答案】BC

【啟迪】上述解法亮點是巧妙利用反證法迅速判斷O點并非AB連線的中點。再運用功能關系和動能定理分別分析相應過程的彈性勢能、動能的大小關系。除此之外，還有讓人腦洞大開的思路和方法嗎？

令k＝100 N/m，小物塊的質量m＝1 kg，小物塊與桌面的動摩擦因數μ＝0．4，則滑動摩擦力為f＝μmg＝4 N，動能最大位置的彈簧伸長量為

當用水平向右的力將物塊從O點拉至A點，應該有xA＞x′，撤去拉力后物塊才能由靜止向左運動，并且若能使小物塊過O點時速度大于0，需，則xA＞2x′，設xA＝0．1 m，則拉力做功0．9 J。

所以經O點時，物塊的動能為Ek＝EpA－μmgxA＝

解得xB＝0．02 m（舍去負值）

則物塊在B點時，彈簧的彈性勢能為

故a＝xA＋xB＝0．12 m。

對于題中四個選項逐個判斷

選項A：物塊在A點時，彈簧的彈性勢能等于EpA＝

選項B：物塊在B點時，彈簧的彈性勢能EpB＝0．02 J，

選項C：經O點時，物塊的動能為Ek＝0．1 J，而W－μmga＝0．42 J，故Ek＜W－μmga，C項正確；

選項D：物塊動能最大時，彈簧的彈性勢能Epmax＝，大于物塊在B點時彈性勢能EpB＝0．02 J，所以D項錯誤。

通過上述的分析求解可總結如下特點：

（1）通過例題可以看出，解決彈簧問題，分析彈簧的形變是關鍵，確定彈簧的形變及變化情況，結合受力分析、動能定理、功能關系是解決問題的突破口；

（2）彈簧的彈性勢能與勁度系數、形變量有關，一般情況不需要計算大小，只要彈簧的形變量相同時，彈性勢能就相同，運算過程中可以替代或約去，省去煩瑣的計算。

（作者單位：江蘇省六合高級中學高三12班）