一類物理學問題的特殊求解

河北 陳月新

一類物理學問題的特殊求解

河北 陳月新

由于學生數學知識的欠缺，許多的物理問題，在高中階段可能是無法求解的，但是學生可以通過一定的物理分析，同時借助單位（量綱）分析法、對稱分析法、極限分析法等思維方法，對解的合理性作出相應判定。具體來說，我們可以從解的物理量單位、解隨某些已知量變化的趨勢、解在一些特殊條件下的結果等方面進行分析，并與預期結果、實驗結論等進行比較，從而判斷解的合理性或正確性。

由于這類題目并不要求具體的計算，只是用所學的物理知識來分析，注重對考生科學思維方法和能力的考查，這就需要考生靈活的應用物理知識來分析，而不只是利用公式來解決問題。本文試圖通過一些典型的例題，介紹此類問題的一般求解方法，希望能夠引起考生的高度重視。

一、利用特殊值法

在許多此類問題中，采用特殊值的方法，問題容易得到解決。這里關鍵的問題是特殊值的試探，因此也可以稱作“試探法”，即通過試探找到問題的特殊情況。

【例1】如圖1所示，一不可伸長的輕質細繩跨過定滑輪后，兩端分別懸掛質量為m1和m2的物體A和B。若滑輪有一定大小，質量為m且分布均勻，滑輪轉動時與繩之間無相對滑動，不計滑輪與軸之間的摩擦。設細繩對A和B的拉力大小分別為T1和T2，已知下列四個關于T1的表達式中有一個是正確的。請你根據所學的物理知識，通過一定的分析判斷正確的表達式是 （ ）

圖1

【解析】在不考慮滑輪質量的情況下，這是一個比較簡單的牛頓第二定律應用問題，但是滑輪有質量時，一般的隔離法不能直接使用，因此我們利用特殊的情況迂回解決。假設滑輪質量m＝0，兩物體質量m1＝m2，在此情況下，兩物體均處于靜止狀態，滑輪也不轉動，容易知道T1＝m1g＝m2g。將此假設的條件代入四個選項逐一驗算，容易判斷只有C項正確。

【答案】C

【例2】兩個相距很近的等量異號點電荷組成的系統稱為電偶極子。設相距為l，電荷量分別為＋q和－q的點電荷構成電偶極子。如圖2所示，取二者連線方向為y軸方向，中點O為原點，建立如圖所示的x Oy坐標系，P點距坐標原點O的距離為r（rl），P、O兩點間連線與y軸正方向的夾角為θ，設無窮遠處的電勢為零，P點的電勢為φ，真空中靜電力常量為k。下面給出φ的四個表達式，其中只有一個是合理的。你可能不會求解P點的電勢φ，但是你可以通過一定的物理分析，對下列表達式的合理性做出判斷。根據你的判斷，φ的合理表達式應為 （ ）

圖2

【解析】中學階段不要求掌握電勢的表達式，但是對于P點的電勢φ顯然可以看出取θ＝90°時，由實際情況知道φ＝0，因此可排除選項A和D，而當我們取r＝∞時，φ＝0，可見只有C項符合。

【答案】C

二、利用單位制法

物理關系式不僅反映了物理量之間的關系，也確定了單位間的關系。如關系式U＝IR，既反映了電壓、電流和電阻之間的關系，也確定了V（伏）與A（安）和Ω（歐）的乘積等效。力學中的基本物理量是長度、質量、時間，而國際單位制中的基本單位則包括長度，米（m）；質量，千克（kg）；時間，秒（s）；電流，安（A）；熱力學 溫度，開（K）；物質的量，摩（mol）；發光強度，坎（cd）。

如現有物理量單位：m（米）、s（秒）、N（牛）、J（焦）、W（瓦）、C（庫）、F（法）、A（安）、Ω（歐）和 T（特），由它們組合成的單位都與電壓單位V（伏）等效的是和T·m2/s等，而不是C·T·m/s和N/C、T·A·m。

在進行計算或檢查的過程中，如果發現所求結果的單位與采用的單位制中該量的單位不一致，那么該公式或計算結果肯定是錯誤的。如在解一道文字計算題（由字母表達結果的計算題）時，一個同學解得，用單位制的方法檢查，這個結果一定是錯誤的！原因非常簡單，根據位移公式，上述結果的單位是速度而不是位移。

【例3】真空中半徑為a的圓環，環中電流為I，以圓環圓心O為原點，建立垂直于圓環所在平面的x軸。設軸上任意點P到O點的距離為x，P點的磁感應強度大小為B。下面給出的四個表達式（式中μ0＝4π×10－7N/A2為常量）中，正確的是 （ ）

圖3

【解析】根據安培力公式F＝ILB，則，利用單位制法，磁感應強度的單位為T，也可以寫作1由等式右側單位即可排除B、C、D項，故A項正確。

【答案】A

三、極限分析法

所謂極限分析法，即是將問題從一般狀態推到特殊狀態進行分析處理的解題方法。將問題推想到極端狀態或極端條件下進行分析，問題有時會變得明朗而簡單。在求解過程中，通過恰當地選取某個物理量，并將其推向極端，如“極大”和“極小”或“極右”和“極左”等，從而把某個物理情境中比較隱蔽的臨界現象或各種可能性暴露出來，便于解答。

【例4】如圖4所示，在足夠長的光滑水平面上有一靜止的質量為M的斜面，斜面表面光滑、高度為h、傾角為θ。一質量為m（m＜M）的小物塊以一定的初速度沿水平面向右運動，不計沖上斜面過程中機械能損失。如果斜面固定，則小物塊恰能沖到斜面頂端。如果斜面不固定，則小物塊沖上斜面后能達到的最大高度為 （ ）

圖4

【解析】這是《選修3—5》中關于動量守恒定律的一類非常典型的問題，一般的求解方法是通過動量守恒定律及能量守恒定律解決，計算非常煩瑣。

斜面固定，則小物塊恰能沖到斜面頂端，有mgh＝；斜面不固定時，則小物塊沖上斜面后，系統水平方向上動量守恒，則mv0＝（M＋m）v，設能達到的最大高度為H，據能量守恒定律，有，聯立以上三式解得

而本題如果利用極限分析法則異常簡單。在斜面固定時，小物塊能沖到斜面頂端高為h處，如果斜面不固定，小物塊沖上斜面后能達到的最大高度一定小于h，當取斜面的質量M為無窮大，對后面三個選項分析，符合題意的答案只能是選項D。

【答案】D

四、通過簡單的計算來確定

在許多類似的問題中，我們通過上述兩種方法可能使問題得到解決，而對某些情況下，有的物理問題僅僅依靠上述方法并不能求解，此時需要通過簡單的計算再結合特殊值才能最終確定問題的答案。

【例5】如圖5所示，一輕質細繩的下端系一質量為m的小球，繩的上端固定于O點。現用手將小球拉至水平位置（繩處于水平拉直狀態），松手后小球由靜止開始運動。在小球擺動過程中繩突然被拉斷，繩斷時與豎直方向的夾角為α。已知繩能承受的最大拉力為F，若想求出cosα值，你有可能不會求解，但是你可以通過一定的物理分析，對下列結果的合理性做出判斷。根據你的判斷cosα值應為（ ）

圖5

【解析】由于在剛釋放的瞬間，繩子拉力為零，物體在重力作用下下落。此時α＝90°，所以cosα＝0，但是F＝0時，A、D項均不為0，因此可以排除A、D項。

【答案】B

（作者單位：河北省衡水市第二中學）