技巧顯身手 妙解數列題

江蘇 陸東標 韓文美

技巧顯身手 妙解數列題

江蘇 陸東標 韓文美

數列是一種特殊的函數，既包含有函數的一般性質特征，又具有其獨特的特殊含義．在實際解決數列問題時，可以借助函數的一般技巧方法，又可以超出函數尋求其獨特的技巧策略．特別在解答數列小題時結合一定的技巧與策略，巧妙借助一些技巧方法，往往可以使問題簡單易懂，解答快捷方便，達到非常好的效果．特別在解決一些相關的高考數列選擇題或填空題中，如果采用一些技巧，往往方法簡單，思維巧妙，大大節約了寶貴的考試時間．

1．簡單化技巧

在實際解答數列的一些選擇題或填空題時，經常采用把數列的項、數列的項數、數列的通項等簡單化，利用更為具體直觀的簡單化問題來求解具有一般情況的數列問題．

【例1】（2015·陜西文·13）中位數為1010的一組數構成等差數列，其末項為2015，則該數列的首項為．

【分析】具體數列的項不能確定，必須根據中位數的性質分奇偶項來分析，而通過簡單化思維，直接考慮數列分別為3項、4項的情況即可，問題簡單化，求解更為快捷．

【解析】由數列的項數簡單化，當數列的項數為3項時，則有a1＋a3＝2a2＝2020，解得a1＝5；

當數列的項數為4項時，則有a1＋a4＝a2＋a3＝2020，解得a1＝5．

綜合可知該數列的首項為5，故填5．

【點評】常規方法是根據中位數的求法，考慮數列的項數分別為奇偶數時，結合數列的性質建立相應的數列關系式，進而分析與求解．而通過數列的項數簡單化，使問題進一步具體化、簡單化，求解起來更具體、直觀．

A．an＞an＋1

B．an＜an＋1

C．an＝an＋1

D．與n的取值相關

2．特殊化技巧

在實際解答數列的一些選擇題或填空題時，我們有時可以嘗試利用最簡單可行的辦法——特殊化來求解數列問題．可以用來解決數列的特殊項、數列運算等相關問題．

【例2】（2014·廣東理·13）若等比數列｛an｝的各項均為正數，且a10a11＋a9a12＝2e5，則lna1＋lna2＋…＋lna20＝ ．

【分析】根據等比數列的相關性質計算時比較煩瑣，而通過取特殊的等比數列——公比為q＝1的數列，可以使得計算更為簡單快捷，又由特殊回歸一般得到答案．

故填答案：50．

【點評】要直接計算或求解時難度比較大或計算比較煩瑣，有時還可能無從下手，而通過取特殊數列、特殊項等特殊化技巧加以分析，并從中發現規律，進而得出答案．

3．賦值化技巧

對于題設為一般狀態，而結論為定值的問題，可以對題中的參數問題加以特殊賦值，可以賦以特殊數列、數列的特殊項進行代換，以特殊的賦值的結果替代一般的推理運算，從而得出答案．

【分析】根據題目條件，直接求解存在很大的難度，而通過依次賦值，結合相關項的值加以歸納得以確定規律，進而加以運算得到相關的答案．

【解析】由題意通過直接賦值可得b2＝3，b3＝4，b4＝5，a3＝3，a4＝4，

由不完全歸納可得an＝n，bn＝n＋1，

【點評】當相關數列的填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值來賦值代替，即可以得到正確結果；對應數列的遞推關系式問題也經常采用靈活賦值來分析．這里直接通過賦值化技巧確定數列｛an｝，｛bn｝的前幾項，通過歸納得相應的通項后加以求解．

【變式3】（2016·浙江理·13）設數列｛an｝的前n項和為Sn．若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，，則a1＝________， S5＝________．

【解析】令n＝1，可得a2＝2a1＋1，

又S2＝a1＋a2＝4，解得a1＝1，a2＝3，

由an＋1＝2Sn＋1，可知a3＝2S2＋1＝9，則S3＝S2＋a3＝13，

同理a4＝2S3＋1＝27，則S4＝S3＋a4＝40；a5＝2S4＋1＝81，則S5＝S4＋a5＝121；

故填答案：1，121．

4．整體化技巧

把數列題中的一些式子視為一個整體，把它代入另一個式子，從整體思維上思考，便能化繁為簡，得出答案．往往把數列中的一些項的整體、求和公式的整體等作為一個整體來加以研究．

【分析】結合創新定義，非常巧妙地把式子S1＋S2＋S3＋…＋S99看作一個整體，利用整體思維與求和公式加以剖析，轉化成式子S1＋S2＋S3＋…＋S99的代數運算形式，再利用相應的公式加以求解．

則有S1＋S2＋S3＋…＋S99＝99000，

則有100項的數列｛1，a1，a2，a3，…，a99｝的“凱森和”為

故填答案：991．

【點評】通過創新定義的應用，巧妙把相應的式子S1＋S2＋S3＋…＋S99整體化，結合新數列的運算加以轉化，利用該整體式子的值加以分析與應用．整體化技巧在解決一些數列性質、創新定義、創新運算等數列問題時經常有上佳表現．

【變式4】（2015·新課標Ⅱ理·4）已知等比數列｛an｝滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝ （ ）

A．21 B．42

C．63 D．84

【解析】設等比數列｛an｝的公比為q，

則有a1＋a3＋a5＝a1＋a1q2＋a1q4＝21，

整理有q4＋q2－6＝0，解得q2＝2，

那么a3＋a5＋a7＝（a1＋a3＋a5）q2＝42，故選B．

5．拆分化技巧

涉及數列的一些通項問題時，往往可以通過對其通項加以合理轉化，利用拆分化技巧，把通項加以巧妙拆分，再結合題目條件加以分析與求解．往往可以大大減少計算量，簡化過程．

【例5】（2015·江蘇·11）數列｛an｝滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1，則數列的前10項和為________．

【點評】通過巧妙拆分數列的通項，把有關分式的通項進行拆分，把通項拆分為兩數式差的形式，再結合數列求和加以抵消達到簡化運算的目的．

6．建模化技巧

建模構造是在解決一些數列填空題時，可以根據題設有關數列的條件與結論的特殊性，構造出一些新的數學形式（例如直觀幾何模型、函數、特殊數列、方程等），并借助于它認識和解決問題的一種方法．

【例6】如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC＝，過點A作BC的垂線，垂足為A1；過點A1作AC的垂線，垂足為A2；過點A2作A1C的垂線，垂足為A3；……，依次類推，設BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，…，則a2017＝________．

【分析】結合等腰直角三角形的性質，根據對應的三角形的直角邊構成等比數列的關系，建構模型，結合等比數列的遞推關系與通項關系來分析，并通過歸納推理來求解．

【點評】本題考查了圖表的表示、分析與處理，等比數列的應用，歸納與推理，建構模型等．關鍵是通過建構模型，利用圖表表示形式引入，利用等腰直角三角形的直角邊間的特征規律加以探究分析，進而歸納出一般性的規律，從而得以解決相應的問題．此類數列問題解決的基本思路是：遞推→通項→求值（和、積等）．

【變式6】（2014·安徽文·12）如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊，過點A作BC的垂線，垂足為A1；過點A1作AC的垂線，垂足為A2；過點A2作A1C的垂線，垂足為A3；依此類推，設BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，則a7＝________．

解答數列小題中，關鍵是抓住等差數列或等比數列的定義、公式與相關性質加以分析與處理，特別碰到一些計算量大、創新性強、信息量多的數列問題時，可以抓住題目本質，從定義、性質等方面入手，使問題簡單化，通過以上一些相關的技巧方法入手加以輔助解決，往往可以使得數列小題的解答顯得更為簡單快捷，處理起來更為順手，同時可以簡化運算，提升解題速度，提高解題效率．

（作者單位：江蘇省張家港職業教育中心校）