高考易錯題自測卷
——導數

陜西 侯有岐

高考易錯題自測卷
——導數

陜西 侯有岐

一、選擇題

1．函數y＝（x＋1）2（x－1）在x＝1處的導數等于 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．若曲線y＝x4－x的一條切線l與直線x＋3y＋1＝0垂直，則直線l的方程為 （ ）

A．x－3y－3＝0 B．3x－y－3＝0

C．3x－y－1＝0 D．x－3y－1＝0

4．過點（－1，0）作曲線y＝x2＋x＋1的切線，則其中一條切線方程為 （ ）

A．2x＋y＋2＝0 B．3x－y＋3＝0

C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0

5．函數f（x）＝（x2－1）3＋1的極值點為 （ ）

A．x＝1 B．x＝－1

C．x＝1或x＝0或x＝－1 D．x＝0

A．k＞1 B．k≥1

C．｜k｜＞1 D．｜k｜≥1

7．函數y＝ln（2－3x）的單調區間為 （ ）

9．已知函數f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則f（2）＝ （ ）

A．11 B．18

C．11或18 D．17或3

10．已知函數f（x）＝ax·x2＋cosx，則其導數是（ ）

A．x（ax－1x2＋2ax）－sinx

B．x（ax－1x2＋2ax）＋sinx

C．ax（x2lna＋2x）－sinx

D．ax（x2lna＋2x）＋sinx

11．已知函數f（x）的導函數為f′（x），且滿足f（x）＝2xf′（e）＋lnx，則f′（e）＝ （ ）

A．1 B．－1 C．－e－1D．－e

12．函數y＝（1＋cos2x）2的導數是 （ ）

A．－2sin2x（1＋cos2x）

B．2sin2x（1＋cos2x）

C．－4sin2x（1＋cos2x）

D．4sin2x（1＋cos2x）

二、填空題

13．若曲線f（x）＝acosx與曲線g（x）＝x2＋bx＋1在交點（0，m）處有公切線，則a＋b＝________．

15．已知曲線y＝x3＋x＋1，則①過點P（1，3）的切線方程為_____________；②在點P（1，3）處的切線方程為______ ________．

16．下列關于函數的說法中，正確的有________（寫出所有正確命題的序號）．

①若f′（x0）＝0，則f（x0）為f（x）的極值點；

②在閉區間［a，b］上，極大值中最大的就是最大值；

③若f（x）的極大值為f（x1），f（x）的極小值為f（x2），則f（x1）＞f（x2）；

④有的函數有可能有兩個最小值；

⑤已知函數f（x）＝ex，對于f（x）定義域內的任意一個x1都存在唯一一個值x2，使f（x1）f（x2）＝1成立．

三、解答題

17．已知函數f（x）＝ax3＋x2－x（a∈R）．

（1）若f（x）在（2，＋∞）上是單調遞增的，求實數a的取值范圍；

（2）若f（x）在（2，＋∞）上存在單調遞增區間，求實數a的取值范圍．

（1）若函數g（x）＝f（x）＋2k有兩個不同的零點，求實數k的取值范圍；

（2）若函數g（x）＝f（x）＋2k恰有一個零點，求實數k的取值范圍．

【參考答案與提示】

1．D 【解析】因為y＝（x＋1）2（x－1），所以y′＝2（x＋1）（x－1）＋（x＋1）2＝3x2＋2x－1，所以，在x＝1處的導數為4，故選D．

【易錯警示】對于某一點的導數的求解，要特別注意復合函數的求導法則，避免出錯的有效途徑是將其展開，利用基本導數公式來解決有關問題．

2．B 【解析】與直線x＋3y＋1＝0垂直的直線l為3x－y＋m＝0，即y＝x4－x在某一點的導數為3，而y′＝4x3－1，由4x3－1＝3，解得x＝1，所以y＝x4－x在（1，0）處導數為3，此點的切線為3x－y－3＝0，故選B．

【易錯警示】理解導數概念容易忽視導數的某些實際背景，解決導數中有關切線問題，要明確導數的幾何意義，以及某一點處的導數的定義，然后再解才不至于出錯，因此要加強對導數概念的理解．

3．D 【解析】因為f′（x）－f（x）＝xex，

【易錯警示】抽象函數的導數問題在高考中?？汲Ｐ?，可謂變化多端，解題關鍵在于構造函數，這就要求我們熟悉導數的四則運算和復合運算法則，結合問題的外形結構特征與導數法則的結構特征進行合理構造．

【易錯警示】正確理解導數的幾何意義是解答本題的關鍵，切線的斜率k應是在切點處的導數，而點（－1，0）不在曲線上（即使在曲線上，也應先判斷其是否為切點），更不是切點．故本題應先設切點，再求斜率，寫出切線方程．

5．D 【解析】由f′（x）＝6x（x2－1）2＝6x（x＋1）2·（x－1）2，可知

所以只有x＝0是f（x）的極值點．故選D．

【易錯警示】本題易錯選C，錯解是因為誤認為導數為0的點是極值點，而沒有代入檢驗．事實上，f′（x0）＝0是f（x）在點x0處取得極值的必要不充分條件，導數為0的點只是函數存在極值的可能點，若它的兩側導數異號，它才是函數的極值點；若它的兩側導數同號，則不為極值點，所以在求得導數為0的點后，還要進行檢驗，否則容易出錯．

【易錯警示】當f（x）不含參數時，可通過解不等式f′（x）＞0（或f′（x）＜0）直接得到單調遞增（或遞減）區間．而已知函數的單調性，求參數的取值范圍時，應用條件f′（x）≥0（或f′（x）≤0），x∈（a，b）恒成立，解出參數的取值范圍，應注意參數的取值是f′（x）不恒等于0的參數的范圍．

故選A．

【易錯警示】求函數的最大值和最小值時，一定要考慮區間端點的函數值，但是，在通常情況下不必確定極大值和極小值，而只需把所有極大值和極小值與區間端點值的函數值計算出來，然后比較大小即可．

當a＝4，b＝－11時，f′（x）＝（3x＋11）（x－1），所以當x＞1時，f′（x）＞0；

當－11＜x＜1時，f′（x）＜0，此時f（x）在x＝1處有極值，所以f（2）＝18．

當a＝－3，b＝3時，f′（x）＝3（x－1）2，所以當x＞1時，f′（x）＞0；

當x＜1時，f′（x）＞0，又f（x）在x＝1處連續，因此f（x）在R上是增函數，所以f（x）在x＝1處無極值，因此a＝－3，b＝3時不合題意，應舍去．所以f（2）＝18．故選B．

【易錯警示】f′（x0）＝0是f（x）在x＝x0處有極值的必要不充分條件．若x＝x0是f′（x）＝0的偶次方根，則x0不是f（x）的極值點．

10．C 【解析】因為f（x）＝ax·x2＋cosx，所以f′（x）＝（ax·x2）′＋（cosx）′＝axlna·x2＋2x·ax－sinx＝ ax（x2lna＋2x）－sinx．故選C．

【易錯警示】導數的概念與運算是導數的基礎，但往往因為對公式的結構規律或法則記憶不正確而出錯，如本題中易將y＝ax與y＝xn的求導法則相混淆，求cosx的導數時易漏掉負號，導致結果出錯．

【易錯警示】f′（x0）與f′（x）的關系是：f′（x0）是一個確定的數值，而f′（x）是一個函數；聯系是f′（x0）是導函數f′（x）在x＝x0處的函數值．本題求導時，要注意已知式中的f′（e），由于f′（e）是一個常數，所以［f′（e）］′＝0．

12．C 【解析】設y＝u2，u＝1＋cos2x，則y′x＝y′u· u′x＝2u（1＋cos2x）′＝2u（－sin2x）（2x）′＝2u（－sin2x）· 2＝－4sin2x（1＋cos2x）．故選C．

【易錯警示】復合函數求導時，選擇中間變量是關鍵，必須正確分析復合函數的復合層次，然后從外向里逐層求導，求導后，要把中間變量轉換成自變量的函數．易錯點是由于在復合函數求導時，復合過程劃分不徹底產生的，這里2x與x系數不一樣，也是一個復合過程．

13．1【解析】因為f（x）＝acosx，g（x）＝x2＋bx＋1，所以f′（x）＝－asinx，g′（x）＝2x＋b，依題意有f′（0）＝g′（0），所以－asin0＝2×0＋bb＝0．

由于點（0，m）同時都在曲線f（x）與g（x）上，所以m＝f（0）＝g（0），即m＝acos0＝02＋b×0＋1m＝a＝1，

所以a＋b＝1＋0＝1．

【易錯警示】求解本題易忽視切點在曲線上的隱含條件致錯．在由f′（0）＝g′（0）得到b＝0，就應想到切線的切點必在原兩函數的圖象上，這樣就有m＝f（0）＝g（0），這是解決本題的關鍵．

解得－1＜b＜3，

即實數b的取值范圍為（－1，3）．

【易錯警示】利用導數研究方程解的問題的一般思路是：（1）將問題轉化為函數的零點問題，進而轉化為函數的圖象與x軸（或y＝k）在該區間上的交點問題；（2）利用導數研究出函數在該區間上單調性、極值（最值）、端點值等性質，進而結合圖象求解．本題學生不會將方程解的問題轉化為函數的零點問題，再運用導數工具結合圖象求解．

15．①4x－y－1＝0或7x－4y＋5＝0②4x－y－1＝0

綜上所述，①的答案為4x－y－1＝0或7x－4y＋5＝0；②的答案為4x－y－1＝0．

【易錯警示】在確定曲線在某點處的切線方程時，一定要先確定此點是否在曲線上，若此點在曲線上，且求曲線在該點處的切線，那么曲線在該點處切線斜率即為該點的導數值，此時切線方程唯一；若此點不在曲線上，或此點在曲線上，但求過該點的切線方程時，則需按照上述方法，即應先設切點，再求斜率，然后求出直線方程，此時方程一般情況下不唯一．

16．⑤ 【解析】①錯．導數為0的點僅是該點為極值點的必要條件，其充分條件是這點兩側的導數異號；

②錯．閉區間上的極大值不一定是最大值，最大值有可能在區間端點處取得；

③錯．極大值與極小值之間無確定的關系，即一個函數的極大值未必大于極小值；

④錯．函數如果有最小值，必然是唯一的，否則就沒有最小值；

⑤對．因為函數f（x）＝ex是R上的單調遞增函數，只要x1與x2互為相反數必有f（x1）f（x2）＝1成立．

【易錯警示】弄清函數的極值與最值的概念是正確解決本題的關鍵．

依題意，得3a≥g（x）max，即a≥0．

而當a＝0時，f′（x）＝2x－1在（2，＋∞）上恒有f′（x）＞0，滿足題意．

所以，實數a的取值范圍為［0，＋∞）．

（2）由于f（x）在（2，＋∞）上存在單調遞增區間，所以存在3a≥g（x）成立，

【易錯警示】由函數的單調性、極值等問題求解參數的取值范圍是高考命題的一個重點．解決此類問題的關鍵在于正確理解單調性、極值的概念和其求解、判斷的方法．要注意以下細節問題：（1）f′（x）＞0（＜0）（x∈（a，b））是f（x）在（a，b）上單調遞增（減）的充分不必要條件．實際上，可導函數f（x）在（a，b）上為單調遞增（減）函數的充要條件為：對于任意x∈（a，b），有f′（x）≥0（≤0）且f′（x）在（a，b）的任意子區間上都不恒為0．因而這類題求出參數范圍后，應對“＝”成立的值進行檢驗，看是否符合題意；（2）解題中對“恒成立、能成立、恰成立”等概念區分不清也易致錯．

當x→－∞時，y→0且x＜0時，y＝g（x）＝（2x－x2）· ex＜0．

（1）若函數g（x）＝f（x）＋2k有兩個不同的零點，

（作者單位：陜西省漢中市四○五學校）