基于APOS理論下的小學數學概念教學模式
——以《三角形的認識》為例

云南省教育科學研究院 管尤躍

基于APOS理論下的小學數學概念教學模式
——以《三角形的認識》為例

云南省教育科學研究院 管尤躍

管尤躍云南省教育學會副秘書長，云南省教育科學研究院小學數學教研員，貴州省教育廳特聘研究員，云南師范大學兼職教授。中國教育學會小學數學教學專業委員會學術委員，云南省教育學會小學數學教學專業委員會秘書長。

精彩的課堂來自于課堂精彩之處，源于學生的心底之音。日常的、平常的、正常的，即所謂家常的、常態的小學數學課堂教學就應如水，來自山間，來自江河，更應來自心靈，來自學生的感受和感悟，順其自然，順勢而導，順逆從容，順應而生！

結合美國數學家杜賓斯基等人提出的一種數學教學理論——APOS理論。先分析對APOS理論四階段（活動階段、過程階段、對象階段和圖式階段）的認識，然后通過“三角形的認識”的教學實踐嘗試了APOS理論在小學數學概念教學中的應用，主要分析三角形的定義、特征以及底和高等多個概念之間的內在聯系。

APOS理論 小學數學概念 教學模式 三角形的認識

一、引言

我們都知道，數學概念就是數學知識的“細胞”，數學學習過程就是一個不斷運用數學概念的思維過程。高斯曾經指出，在數學中重要的不是符號，而是概念。數學概念是人們對客觀事物在感性認識的基礎上經過比較、分析、綜合、概括、判斷、抽象等一系列思維活動，逐步認識到它的本質屬性以后才形成的。

由于數學具有高度抽象性，在教學中應該注重體現概念的來龍去脈，經歷數學概念從具體到抽象的過程，在運用中逐步理解概念的本質。但在一線教學實踐中，很多教師認為概念就是一種規定，就是一種定義，就是一種約定俗成，沒什么好講的，只要能記住就行；或者認為小學階段的數學概念大多“顯而易見”，無須多講；或者淺嘗輒此，草草收場，節省時間用來“刷題”。此現象在常態課中屢見不鮮，如何才能將小學數學概念教學執行“到位”？下面就結合APOS理論，以《三角形的認識》為例，簡要談一談小學數學概念教學模式。

二、引論

APOS理論是20世紀80年代由美國數學教育家杜賓斯基提出來的一種關于數學概念學習的理論，這種理論具有很強的數學學科特色，被譽為近年來數學教育界最大的理論成果之一。該理論認為學生學習數學概念需要經歷四個階段的心理建構，即活動階段（Action）、過程階段（Process）、對象階段（Object）和圖式階段（Scheme），簡稱APOS。指出：學生學習是一個建構的過程，建構是有層次的，反映的是學生學習數學概念過程的真實的思維活動。

盡管國內外眾多學者對教學模式的解說不一，無法達成一致認識，我更愿意接受這樣的觀點，教學模式指的是在一定教學思想指導下所建立的比較典型的、穩定的教學程序或階段，又稱為“教學結構”。教學模式源于教學實踐又反過來指導教學實踐，是人們在長期的教學實踐中不斷總結、改良之后逐步形成的。小學數學概念教學的重要地位和價值無須贅言，是否應該有相對適用、合理而有效的模式可供參考和借鑒？大家所熟知的概念形成模式、同化模式、“七階段”模式等，在小學數學教學中都得到了廣泛的認同和使用。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：“數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質。”“數學概念具有過程和對象的雙重性，它既是邏輯分析的對象，又是具有現實背景和豐富寓意的數學過程。”

小學數學概念的本質如何讓學生在學習過程得到揭示和經歷其發展過程成為制約小學數學教學發展的重要因素，APOS理論在小學數學教學中的合理運用，可以充分體現小學數學概念的形成過程，充分反映學生個體認知數學概念的思維過程，充分揭示小學數學概念學習的本質。更為重要的是，這與當前我國新一輪課程改革所倡導的理念是一脈相承的。

基于此，我想以一節涉及很多數學概念的課為例，來分析如何使用APOS理論作為指導，突出各概念間的聯系，更為重要的是剖析概念之間以及概念域和特征之間的內在聯系。

三、引例

下面將以人教版數學三年級下冊《三角形的認識》為例（不涉及三角形的穩定性），在文中，僅就三角形的定義以及三角形的底和高的教學作為研究對象。請看教材：

值得我們一起思考的幾個問題：

1.教材中為何要以“找”三角形為情境，以“畫”三角形、“說”三角形為例題？

2.對于“由3條線段圍成的圖形（每相鄰兩條線段的端點相連）叫作三角形。”這個定義是三角形的標準定義嗎？這個概念重要嗎？有多重要？如何組織、引導學生進行總結、歸納？是否需要準確描述并記憶？

3.對于“從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高，這條對邊叫三角形的底。”這一組概念域，如何形成？教學中的重難點如何突出、突破并使之順其自然、順理成章？

4.概念教學如何展開才能做到“自然而然”？概念域如何相得益彰？三角形的特點和概念域之間的本質聯系及其內涵如何凸顯？

根據《三角形的認識》這節課“概念較多”的特殊情況以及APOS理論的階段特性，本文按照APOS理論的階段順序，打亂教學內容順序的方式展開研究，以期能更好地體會四階段分步實施、交叉進行、循序漸進、水乳交融的過程，體會教學多個“單概念”之后形成一個“概念域”的思想。

1.活動階段

在教學中不僅需要外在的動作“活動”，如操作、實踐、實驗等，也需要內在的思維“活動”，如回憶、思考、猜想、判斷等。這個階段，可以為學生積累數學活動經驗，也可以為數學概念的形成提供對象，不僅可以成為建構數學概念的起點和生長點，也一定是數學概念認知的基礎和前提。

（1）三角形的定義

活動1：①外顯活動——觀察。

同學們，你們知道這是哪兒嗎？請你找出圖中的三角形。

②內隱活動——回憶。

在生活中，你在哪兒見過三角形？

活動2：①外顯活動——操作。

看得出來，同學們對三角形都有認識，但要清楚、準確地理解三角形，還得請大家動手畫一個三角形。

②內隱活動——思考、想象、判斷。

請你一邊畫，一邊思考：我是怎樣畫的？什么樣的圖形是三角形？

如果不畫三角形，請你想象一下三角形長什么樣？有多少種樣子？

出示一組圖形，請學生判斷哪些是三角形，哪些不是。

（2）三角形的底和高

活動3：①外顯活動——操作。

師：三角形除了有3條邊、3個角和3個頂點以外，和平行四邊形、梯形一樣，三角形也有底和高嗎？那什么是三角形的高？什么又是三角形的底呢？請看教材第60頁的內容。

讓學生嘗試說說什么是三角形的高，什么是三角形的底。

師：先想一想，怎樣在剛才畫的三角形（銳角三角形）內畫出一條高？看誰畫得最規范。

師：怎樣正確地畫高呢？請一名同學來畫出黑板上這個三角形的高？邊畫邊說你是怎么畫的。

生：以A為頂點、BC邊為底畫一條高，先用三角板的一條直角邊與BC邊重合，另一條直角邊通過A點，然后從A點向它的對邊BC畫一條垂線，用虛線表示，標出直角符號，頂點與垂足之間的線段就是三角形的高，寫上高，這條對邊叫作三角形的底，寫上底。

②內隱活動——思考、想象、判斷。

師：還是剛才這個三角形，換個位置你還能在BC邊上畫出它的高嗎？怎樣畫？請用手勢比劃比劃。再換一個位置呢？

師：你還能在這個三角形中畫出其他的高嗎？還能通過哪個頂點向它的對邊作垂線畫高？

2.過程階段

如何將之前在學生頭腦中的“活動”描述出來，并不斷地進行分析和反思，通過思維的內化和整合，形成過程模式，抽象出概念的本質，即外在“活動”內化為隱形“過程”。在此階段中，學生個體會表現出一定的自動化特點，不再需要實際的“活動”而是在意識中思考“過程”。這個階段學生個體會“自動”對此概念進行一般化，對數學概念的實質從認識上升到認知、從感性上升到理性，初步形成數學概念。

（1）過程一：“畫”出三角形的定義。

師：你能用簡單的話說說你是怎樣畫的嗎？請其他同學用手勢跟著畫。還有其他畫的方法嗎？（展示一般隨機而無序的畫法、按照某個方向有序連接的畫法、一條線段及線段外的某一點和先確定三個點再依次連線等不同的畫法。）

比較這幾種畫法，你認為怎樣畫三角形更合理一些？

根據剛才的比較學習，再思考什么樣的圖形是三角形？請把你的想法寫下來。（根據學生的思維特點和語言特點，一般都只習慣于說表面現象：由三條線連起來的圖形就是三角形；有三個角的圖形就是三角形；或者反過來說，三角形有三個角和三條邊，三角形是由三條線組成的，等等。）

對于教學中的“生成”如何“順流而下”？需要的是教學智慧：有三條邊、三個角和三個頂點的圖形就是三角形嗎？

請大家想想剛才的這兩種畫法，是不是都有這樣的一個過程：

根據學生的語言情況適當引導總結出怎樣的圖形才是三角形，特別要注意的是：在學生說出三角形有三個角、三條邊、三個頂點等特征時，即可“隨機”板書。

再次根據“畫”三角形的過程，適時板書所形成的定義。

（2）過程2：“辨”出三角形的底和高

師：（第一次畫BC邊上的高）仔細觀察你畫的三角形的底和高，它們的位置有什么特點？（互相垂直）

師：三角形的底和高是一組互相垂直的線段。畫三角形的高實際上就是我們學過的過直線外一點，畫已知直線的垂線段。

三角形有三條邊和三個頂點，能畫出幾條高呢？

3.對象階段

對之前兩階段初步形成的數學概念，形成一個將“過程”看成“整體”的自覺意識，并對此概念進行變形和轉換，將動態的“過程”慢慢凝聚為一般意義上的靜態的數學“對象”。“對象階段”是一個內在的思維活動過程，此時概念即從動態的活動過程轉變為一種靜態的結構關系，有助于對數學概念的本質進行整體把握。

對象：聯系與拓展（也是一種“內隱活動”）

請同學們完成教材第60頁的“做一做”：

師：剛才我們知道了一個三角形有幾條高？你能作出后面兩個三角形其他兩條邊上的高嗎？怎樣作呢？為什么會是這樣子呢？（結合剛才學習的“底和高的對應關系”，聯系三條邊和三個頂點的關系，知道任意一個三角形都有三條高。直角三角形和鈍角三角形也有三條高，清晰地知道并畫出特殊位置上的高。教學雖然不要求，但這是一個必須經歷的完整的認識過程，更是領悟概念本質、厘清概念內涵和外延的重要組成部分。）

4.圖式階段

此階段中，學習個體對之前進行的活動、過程和對象以及認知結構中與此概念相關的其他概念進行相應的整合，在頭腦中產生一個新的心理圖式。該階段是學習個體對數學概念進行更高層次的心理加工與整合的過程，有助于對數學概念的理解與應用進一步深化。

圖式：聯絡與整合

師：剛才我們學習了三角形的定義、特征以及三角形的底和高，這些都是一個個孤立的知識點嗎？它們之間有沒有本質的聯系？請大家聯系以前學過的和今天所學習的知識仔細想一想。

引導學生觀察：定義、特征之間有沒有什么關系？找到：三條邊就是圍成三角形的三條線段，在“圍成”的過程中每兩條邊（線段）正好“圍”成一個角，每個角都有一個頂點。

四、引議

在教學《三角形的認識》中，結合APOS理論可看出：

對三角形的認識中相關概念屬性的具體操作、觀察，呈現數學概念的具體實例階段就相當于活動階段；

從多個具體操作、具體活動和具體實例中抽象概括出三角形相關概念屬性的階段則是過程階段；

將每個概念或概念組作為一個個抽象的概念出現在頭腦中，是能將概念作為一個獨立的對象并施加各種心理運算的階段就是對象階段；

圖式階段指對三角形有關概念的具體實例、本質屬性及其應用的認識進一步充實豐富之后，這些概念會以一種完整的心理圖式貯存于大腦中，包括具體的“活動”——實例、抽象的“過程”、完整的“對象”——定義，以及與其他概念之間的區分與聯系，等等。

本節課的教學，最能體現APOS理論在小學數學概念教學中的運用價值，因為，“數學概念教學應該返璞歸真，揭示數學概念的形成過程，讓學生從概念的現實原型，概念的抽象過程、形式表述和符號化的運用等多方位、多角度地理解一個數學概念，使之符合學生概念建構的教育原理。”基于此，筆者認為基于APOS理論指導下的小學數學概念教學可以從以下幾個方面著手：

第一，APOS理論的“四階段”在同一個（或單一）概念教學中的使用是按順序依次進行的，但是對單位時間內要完成多個有緊密聯系的“概念組”來說就可能需要多次重復、交叉進行這四個階段的任務。

第二，小學數學概念的建立需要經過長時間的多次反復過程。一個概念的建立從“活動”“過程”到“對象”的不斷抽象、具體、壓縮、形成，直到學生理解是一個較為漫長的過程，特別是達到“圖式”階段需要的是學生用簡潔的語言、文字、符號表征并在頭腦中建立這組概念的直觀結構形象。

第三，讓“教”“學”合一。教學重心是使教和學和諧共生，相互促進，精心設計“活動”（包括外在的和內隱的），主動參與“過程”，自覺形成“對象”。感受到數學知識內部結構之間的聯系，領會數學的思想和方法，培養和積累數學應用意識。

第四，認識APOS理論的價值和作用。APOS理論不僅是概念教學的理論，也是一種工具，可以根據它來設計教學全過程（包括教學目標、教學活動、教學組織等）。同時，我們也可以用其作為一種檢測評價手段或工具，對學習現象、學習過程、思維過程和思維結果等進行觀察、分析和評價，了解學生的學習水平處于何種層面，反過來思考和調整教學的行為、策略和方法。?