基于多元表征的極限感知
——從“兔子怎樣追上烏龜”談起

浙江臺州市椒江區前所中心校 蔣開林

浙江臺州市椒江區中山小學 張優幼

基于多元表征的極限感知
——從“兔子怎樣追上烏龜”談起

浙江臺州市椒江區前所中心校 蔣開林

浙江臺州市椒江區中山小學 張優幼

數學思想方法是數學的靈魂，要想學好數學、用好數學，就要深入到數學的“靈魂深處”。極限思想是近代數學的一種重要思想，在分析問題和解決問題中有著無法替代的作用。小學階段，可以讓學生借助多元表征來感知極限：借助圖形表征顯性外化，直觀感知無限；借助數字表征遷移經驗，初次感知極限；借助動作表征動態演繹，孕伏極限思維；通過思維的抽象逆推深化，內化極限思維。

小學數學 思想方法 極限思想 多元表征

曾有學生興沖沖地跑來告訴我，他有一個驚奇的發現：龜兔賽跑，如果烏龜先跑一會兒，然后再兔子開始跑，不管兔子有多快，永遠也追不上烏龜！這激起了我的好奇心，怎么可能，兔子比烏龜跑得快，只要有足夠的時間，兔子肯定能超過烏龜，怎么會永遠也追不上？雖然第一反應是想給他舉個例子，潑一盆冷水，但快到嘴的話，又被我給硬生生地逼回去。該學生思維活躍，平時愛動腦筋，顯而易見的錯誤不會犯。接著，我追問他這烏龜是怎么辦到的。

于是，他一邊拿起筆來畫圖，一邊說：假如兔子的速度是烏龜的2倍，先讓烏龜先跑128米，到達A點。然后兔子再出發，等兔子跑到A點的時候，烏龜在這段時間里已經又跑了64米到B點。等兔子跑到B點的時候，烏龜又前進了32米到C點……（見下表）

兔子0 1 2 8 6 4 3 2 1 6 8 4 2 1 1 1 1 2 4 8烏龜1 2 8 6 4 3 2 1 6 8 4 2 1 1 1 1 2 4 8 1 1 6 離1 2 8 6 4 3 2 1 6 8 4 2 1 1 距1 1 2 4 8 1 1 6

就這樣一直下去，每次前進的路程是前一段的一半。雖然兔子離烏龜越來越近，但烏龜總能再往前一點點。從這一點點分析中，學生的思維和結論愈加清晰。如果按照這樣的規律無限進行下去，兔子似乎印證了《莊子》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，掉進了無限的“陷阱”中，永遠也追不上烏龜！解決這樣無限的問題，需要讓學生充分感知，最終把無限轉化為有限，感知極限思想，讓兔子能夠“追”上烏龜。

一、借助形的形象顯性外化

圖1

二、借助數的經驗遷移感知

無數次的追趕、無數次的逼近，是怎樣追上的？解決的方法就像思維深處有一只頑皮的小貓，知道它的存在，卻難以捉到。因此，我們可以借助數的經驗，通過數字表征，借助0和1的大小比較，在遷移中尋求答案。

圖2

借助這次對于數的驗證經驗，通過遷移讓學生感知：那只“兔子”像“0”，那只“烏龜”像“1”，看起來似乎怎么追也追不上，但經驗告訴我們“兔子”是有可能追上的！把不可能轉化為有可能，這是極限思想的魅力之一。

三、借助直觀的操作動態演繹

想跳出“無限”的陷阱，要先跳出思維的陷阱。借助對于“0.=1”的驗證經驗，我讓學生用手指代表0.，隨著小數部分的展開，讓學生在數軸上指出0.在數軸上的位置。0.9、0.99……學生的指尖不斷接近“1”，但又不敢碰到“1”。此時，我讓學生展開思維的翅膀，當小數部分展開有無數個9的時候，應該指到哪里？由于學生已經有“0= 1”論證結論，學生最終指向“1”的位置。通過手指的動態演示，讓學生感知在無限逼近的瞬間，有可能達到最終目標。

接著，我讓學生用折線統計圖來表示龜兔賽跑（烏龜的速度是2米/秒，兔子的速度是烏龜的2倍，烏龜先跑1秒，兔子開始出發），學生繪制相應的統計圖（如圖3）。我讓學生分別用兩只手的食指代表兔子和烏龜，借助動作表征來動態演繹龜兔賽跑的情境。每一次追逐，兔子不斷地逼近烏龜，在第2秒到第3秒之間，學生的動作也越來越慢，演繹著一次又一次的追逐。當指到兩條線的交點處，最終兔子終于追上了烏龜。在接近第3秒的一瞬間，隱藏著無數次的追逐。通過這樣的動態演繹，把極限的種子孕伏到學生的思維中去。

四、通過思維的逆推內化頓悟

極限思想看似離小學數學很遠，但不管是在數與代數，還是在圖形與幾何、概率和統計中，都蘊含著極限思想。0 到1之間有無數個小數；在圓的面積計算公式的推導過程中，把圓形平均分成無數份，最后能組成一個長方形……小學階段諸多的“無數個”，都滲透著無限和極限。這有待我們不斷挖掘極限的素材，讓學生去充分感知。借助圖形、數字、動作操作等多元表征，讓學生通過直觀感知、經驗遷移、動態演繹和抽象內化，自主探究、感知極限，孕伏下極限思維的種子。靜待花開，小學階段孕伏的這顆思維種子，也許會在學生今后的數學學習中綻放出極限的魅力。?

[1]孫國元.對小學數學中極限思想的探討[J].教育實踐與研究(A)，2013(08).

[2]孟兆山.讓極限思想生根[J].教育實踐與研究(A)，2013(02).

[3]屈佳芬.數學思想在小學數學教學中的滲透[J].教育探索，2015(01).

[4]林梅香.淺談數形結合思想方法的滲透[J].科教文匯(下旬刊)，2014(01).

[5]張必勝,袁權龍.李善蘭極限思想研究[J].貴州大學學報(自然科學版)，2015(03).