一類復合抽象函數任意階導數的MATLAB程序實現

李豪

【摘要】本文致力于設計高效的MATLAB程序來計算具有任意多個中間變量和任意多個自變量的復合抽象函數的任意階導數，其中中間變量僅限于是自變量的線性函數.

【關鍵詞】復合抽象函數；任意階導數；MATLAB程序；中間變量；自變量

【基金項目】貴州省科學技術基金項目《板振動問題的非協調有限元自適應算法》（項目合同編號：黔科合LH字[2014]7061號）.

一、前言

在一些理論研究、工程計算以及一些程序設計中，我們往往不可避免地要計算函數的導數.對具體的函數求導數，是現在大多數數學軟件都可以解決的問題.但是由于理論分析的需要，或者提高程序設計的效率，很多時候我們需要寫出函數的導數表達式.對于具有任意多個中間變量的復合抽象函數求任意階導數，理論上，我們可以按照鏈式求導法則寫出導數表達式，但是這往往是一個復雜的計算過程，尤其對于多個中間變量的高階導數.例如，對具有4個中間變量，而每個中間變量又是3個自變量的線性函數的復合抽象函數求三階導數，按照鏈式法則展開有64項；若對其求四階導數，展開則有256項.

本文將鏈式法則程序化，給出了計算任意多個中間變量和任意多個自變量的復合抽象函數的任意階導數的MATLAB程序，其中的中間變量都是關于自變量的線性函數.

二、符號說明

本文中，我們約定以下符號：

f：一個抽象復合函數；

pi：中間變量，i∈Z+；

xi：自變量，i∈Z+.

三、鏈式法則及程序設計思想

為確定起見，我們假設y=f（p1，p2，p3），pi=（x1，x2），i=1，2，3.其中，pi是關于x1，x2的線性函數，則y=f[p1（x1，x2），p2（x1，x2），p3（x1，x2）]，求混合偏導數3yx1x2x1.

在混合偏導數不連續的情況下，一定要注意求導順序.而我們只要觀察一下右側中相應的行即可發現求導順序的規律.例如，本例左側中的第二、三、四行雖然相同，但是求導順序卻不一樣.觀察右側中第二、三、四行就可發現，左側中第二、三、四行分別表示3fp1p2p1，2fp21p2和

綜上以及連續參數鞅的定義可知{M（t）；t≥0}關于F為鞅.

證畢.

定理2建立的復合Poisson分布下m重風險模型{U（t）=u+S（t）；t≥0}的最終破產概率為φ（u）=e-RuE[e-RU（T）|T<∞]，其中T=inft>0{t；U（t）<0}是破產時刻.

推論1最終破產概率φ（u）滿足Lundberg不等式φ（u）≤exp（-Ru）.

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