數(shù)學(xué)美在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用與思考

侯方博

【摘要】目前高校學(xué)生對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值的認(rèn)知不夠全面，普遍沒(méi)有數(shù)學(xué)美的概念，本文就這一現(xiàn)狀做了分析并提出了建議.同時(shí)從要善于啟迪、不斷滲透、培養(yǎng)應(yīng)用能力、精講多練四個(gè)方面介紹了在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)美的運(yùn)用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)美；大學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)

【基金項(xiàng)目】吉林農(nóng)業(yè)科技學(xué)院教育教學(xué)改革項(xiàng)目——數(shù)學(xué)美在非專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)教學(xué)中的研究與應(yīng)用（JGZD011）.

大學(xué)數(shù)學(xué)是學(xué)生在大學(xué)階段的重要基礎(chǔ)課，一般在非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)開(kāi)設(shè)的大學(xué)數(shù)學(xué)有高等數(shù)學(xué)、線(xiàn)性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等，統(tǒng)稱(chēng)為大學(xué)數(shù)學(xué).它是學(xué)生在大學(xué)階段構(gòu)建完整知識(shí)體系的基石，對(duì)理工科、信息科學(xué)類(lèi)、經(jīng)濟(jì)管理類(lèi)、農(nóng)業(yè)研究類(lèi)等學(xué)科的學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)的專(zhuān)業(yè)課程和今后的工作起著重要的奠基作用.因此，在教學(xué)中如何提升教學(xué)質(zhì)量、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，是值得研究的問(wèn)題.

按照北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院張順燕教授的觀(guān)點(diǎn)，數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)是判美和析理.判美，就是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的審美和對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)美學(xué)教育.這是提高大學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和培養(yǎng)創(chuàng)新能力的必要環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)教師在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象審美，是進(jìn)行數(shù)學(xué)美育和提高學(xué)生文化素養(yǎng)的重要途徑.

一、數(shù)學(xué)美學(xué)知識(shí)在教與學(xué)中的現(xiàn)狀與思考

經(jīng)過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，我們的學(xué)生在機(jī)械地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，一半的學(xué)生認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有用的，但是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是無(wú)趣的，還存在少數(shù)學(xué)生不明確學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對(duì)今后的學(xué)習(xí)、工作、生活有何用處.另一方面，多數(shù)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中全程沒(méi)有提及過(guò)數(shù)學(xué)美，沒(méi)有向?qū)W生介紹過(guò)數(shù)學(xué)美的書(shū)籍，更不能從數(shù)學(xué)審美的角度分析教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美.就這種現(xiàn)狀，筆者有如下建議：

（一）應(yīng)在日常教學(xué)中將數(shù)學(xué)美學(xué)知識(shí)融入其中，增加數(shù)學(xué)課程的文化感和人文氣息

數(shù)學(xué)教師不僅僅是向?qū)W生傳播數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化.因?yàn)閺奈幕慕嵌热W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，可以了解數(shù)學(xué)的全貌，包括數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程，以及數(shù)學(xué)中的定義、公式、定理數(shù)學(xué)語(yǔ)言等的審美過(guò)程，從而使學(xué)生更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法和鑒賞數(shù)學(xué)的美.只有這樣，才能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)和培養(yǎng)創(chuàng)新能力的目的.

（二）對(duì)不同專(zhuān)業(yè)、不同層次的學(xué)生傳授數(shù)學(xué)美知識(shí)時(shí)要有所側(cè)重

美無(wú)處不在，缺少的是發(fā)現(xiàn)美的眼睛.數(shù)學(xué)的美是理性的，感受到的數(shù)學(xué)的美也是因人而異的.凡是體驗(yàn)過(guò)數(shù)學(xué)美感的人一般都會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)美有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，對(duì)這種美感有著長(zhǎng)時(shí)間深刻的記憶.

數(shù)學(xué)圖形的直觀(guān)、公式的簡(jiǎn)潔、數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)練等是一目了然的美觀(guān)，對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)差的學(xué)生可以引導(dǎo)其欣賞這種較低層次的數(shù)學(xué)美；高度概括的數(shù)學(xué)語(yǔ)言是較難理解的，但它是很理性的美，是較高層次的美.例如，用“ε-N”語(yǔ)言來(lái)定義極限概念，在數(shù)學(xué)素養(yǎng)高的人眼里它是很美的，因?yàn)樗?jiǎn)練、精準(zhǔn)地概括了極限的內(nèi)涵，而對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，就是晦澀難懂的，毫無(wú)美感可言.所以，感受數(shù)學(xué)美要以相應(yīng)的數(shù)學(xué)水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)為基礎(chǔ).在教學(xué)中教師要善于根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)選擇學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)講授數(shù)學(xué)美，或者對(duì)于不熟悉的知識(shí)先讓學(xué)生熟練后再引導(dǎo)其去審視數(shù)學(xué)美，這樣學(xué)生會(huì)對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行比較全面的理解，更會(huì)對(duì)審美數(shù)學(xué)有比較深刻的感受.

（三）數(shù)學(xué)教師要注重提升自身數(shù)學(xué)美學(xué)修養(yǎng)

任大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教師在日常工作中不僅應(yīng)當(dāng)挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)中的對(duì)稱(chēng)美、統(tǒng)一美、奇異美、簡(jiǎn)潔美，還要多方面積累有關(guān)數(shù)學(xué)美感的體驗(yàn)，只有美感經(jīng)驗(yàn)豐富的人才能清楚地了解和把握知識(shí)，才能更加恰當(dāng)?shù)剡x準(zhǔn)時(shí)機(jī)引導(dǎo)和帶動(dòng)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)美.

二、在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)美的運(yùn)用

（一）要善于啟迪，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧美與辯證美

數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用展現(xiàn)了他們的和諧性，但是數(shù)學(xué)本身就具有和諧美，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、完整性，這也是數(shù)學(xué)的普遍形式.

比如，極限的描述性定義是這樣表述的：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，|an-A|無(wú)限趨近于0.這里同時(shí)出現(xiàn)了無(wú)窮大和無(wú)窮小，將這樣一對(duì)相互矛盾的對(duì)象統(tǒng)一起來(lái)，何等的和諧.

在討論無(wú)窮小的性質(zhì)時(shí)，筆者常給學(xué)生舉下面的例子讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的辯證.

（1） limn→∞1n2+2n2+…+kn2（k是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)）；

（2） limn→∞1n2+2n2+…+nn2.

學(xué)生看到題目后的第一反應(yīng)認(rèn)為極限都是0，當(dāng)教師對(duì)k是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)做強(qiáng)調(diào)和解釋之后，就有一部分學(xué)生能判斷出兩題的區(qū)別了.此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生將兩題的求解過(guò)程具體寫(xiě)出來(lái)，大部分學(xué)生就能理解“有限個(gè)無(wú)窮小的和是無(wú)窮小，而無(wú)限個(gè)無(wú)窮小的和未必是無(wú)窮小”了.教師一句“量的積累引起質(zhì)的變化，辯證法在此得到具體體現(xiàn)”，使學(xué)生茅塞頓開(kāi).

（二）要不斷滲透，讓學(xué)生驚嘆數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美與奇特美

對(duì)稱(chēng)性是藝術(shù)領(lǐng)域里一個(gè)非常重要的要素，同時(shí)它也是數(shù)學(xué)美的重要特性.數(shù)學(xué)中的數(shù)與形的對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象是極為常見(jiàn)的，對(duì)稱(chēng)的圖形或式子從直觀(guān)上看具有十足的美感，此外，還有抽象的觀(guān)念和方法的對(duì)稱(chēng)，這需要數(shù)學(xué)教師的滲透、啟迪.一旦在解題時(shí)恰當(dāng)?shù)乩昧四撤N對(duì)稱(chēng)性，就會(huì)驚嘆數(shù)學(xué)的奇特.

例如，高等數(shù)學(xué)中研究多元函數(shù)的極限或積分，通常的代數(shù)的方法不是很容易求出結(jié)果，而用極坐標(biāo)做代換會(huì)使得問(wèn)題簡(jiǎn)化，其過(guò)程是相當(dāng)奇異與新穎的.再如，在求解積分時(shí)如果能恰當(dāng)、準(zhǔn)確地使用下述結(jié)論，將會(huì)使得問(wèn)題事半功倍.

（1）∫a-af（x）dx=0，f（x）是奇函數(shù)時(shí)；2∫a0f（x）dx，f（x）是偶函數(shù)時(shí).

（2）D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則

Df（x，y）dσ=

0，f（x，y）關(guān)于變量y是奇函數(shù)時(shí)；

2D 1f（x，y）dσ，f（x，y）關(guān)于變量y是偶函數(shù)時(shí).

其中D1為D的位于x軸上方的部分.

（3）D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則

Df（x，y）dσ=

0，f（x，y）關(guān)于變量x是奇函數(shù)時(shí)；

2D 2f（x，y）dσ，f（x，y）關(guān)于變量x是偶函數(shù)時(shí).

其中D2為D的位于y軸右側(cè)的部分.

（4）D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則

Df（x，y）dσ=

0，f（x，y）是奇函數(shù)時(shí)；2D 1f（x，y）dσ=2D 2f（x，y）dσ，f（x，y）是偶函數(shù)時(shí).

其中D1與D2是D的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)全等的部分.

（5）D關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，則

Df（x，y）dσ=Df（y，x）dσ=12D[f（x，y）+f（y，x）]dσ.

（三）培養(yǎng)應(yīng)用能力，讓學(xué)生享受到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題后的征服美與創(chuàng)造美

在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不能把數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的思維模式以及對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的要求貫穿于其中，沒(méi)有必要過(guò)分強(qiáng)調(diào)理論知識(shí)的掌握和對(duì)數(shù)學(xué)理論的深入研究，而是要讓學(xué)生在掌握了基本概念和基本方法的基礎(chǔ)上，注重應(yīng)用能力的培養(yǎng)，即培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)去解決不熟悉問(wèn)題的本領(lǐng)，包括應(yīng)用的范圍、方法以及技巧.實(shí)質(zhì)上，對(duì)應(yīng)用能力培養(yǎng)的同時(shí)，可以使學(xué)生加深對(duì)基本概念和基本方法的理解，同時(shí)會(huì)深切地體會(huì)到問(wèn)題解決后的征服美與創(chuàng)造美.

關(guān)于應(yīng)用能力的培養(yǎng)，首先，應(yīng)重視應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng).它是人們主動(dòng)用數(shù)學(xué)觀(guān)念和方法解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵，沒(méi)有應(yīng)用意識(shí)就不可能有應(yīng)用行為.在教學(xué)中可讓學(xué)生更多地了解數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景、發(fā)展過(guò)程，熟悉知識(shí)點(diǎn)的實(shí)際背景與其他學(xué)科的聯(lián)系，掌握思想方法的來(lái)龍去脈和各種數(shù)學(xué)應(yīng)用方法、規(guī)律等，這樣通過(guò)大面積、長(zhǎng)時(shí)間的熏陶，一定會(huì)大大增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)；其次，充分展示數(shù)學(xué)的方法.在教學(xué)中深入挖掘知識(shí)的深刻內(nèi)涵，通過(guò)展示過(guò)程中的思想方法來(lái)培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法思考問(wèn)題的思維模式；第三，要強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用技能的訓(xùn)練，多舉一些與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題結(jié)合的例題.

比如，在講授級(jí)數(shù)知識(shí)的時(shí)候，可以用芝諾悖論之一“阿基里斯追不上烏龜”作為引例讓學(xué)生討論此悖論的癥結(jié)所在，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在介紹了級(jí)數(shù)的基本知識(shí)點(diǎn)后，分析板演此引例中阿基里斯和烏龜分別走過(guò)的路程的級(jí)數(shù)表示，這樣學(xué)生會(huì)更好地理解級(jí)數(shù)的定義，同時(shí)也有利于培養(yǎng)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)的能力，激發(fā)征服困難的動(dòng)力.在學(xué)生掌握了一定的級(jí)數(shù)求和方法后，讓他們考慮可否用統(tǒng)一方法求級(jí)數(shù)1+13+19+127+…與級(jí)數(shù)1+3+9+27+…的和，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造美，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣.

（四）做到精講多練，使學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、相似美

數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美體現(xiàn)在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的高度概括性、數(shù)學(xué)內(nèi)容的高度抽象性，而且還包含解題思維的敏捷性.“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，這句出自《莊子·天下篇》，其用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言概括了有限與無(wú)限的辯證關(guān)系，同時(shí)蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的極限思想，讀著古人智慧的語(yǔ)句，理解著數(shù)學(xué)的精髓思想，何等美哉！

解題時(shí)，運(yùn)用數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美可以盡快地將題目中反映出的新信息有效地進(jìn)行整合、重組，獲得最佳解決方案.當(dāng)問(wèn)題越解越煩瑣，那么意味著方法、思路存在不當(dāng)?shù)膯?wèn)題，需另尋他法.例如，利用洛必達(dá)法則求極限 limx→0tanx-xxsin2x，當(dāng)運(yùn)用到第三次時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)極限表達(dá)式已經(jīng)十分煩瑣了，使我們不愿再做下去，此時(shí)自然會(huì)想到是方法使用不當(dāng)導(dǎo)致的，進(jìn)而探求新途徑——簡(jiǎn)化分母，可以用等價(jià)無(wú)窮小替換（x→0時(shí)，sinx～x），再使用洛必達(dá)法則就容易求解了.

當(dāng)某一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題具有相似的條件、結(jié)論或圖形時(shí)，其解法也必具有相似之處.解題時(shí)可用相似美為指導(dǎo)，歸類(lèi)處理，從中尋求解題方法.

例如，在利用換元法求積分時(shí)，選擇什么樣的三角函數(shù)做代換就要依托sin2t+cos2t=1與tan2θ+1=sec2θ這兩個(gè)三角恒等式，考查所求積分中的根式與哪個(gè)三角恒等式形式相似，再做恰當(dāng)換元.比如，被積函數(shù)中有根式a2-x2，那么要想開(kāi)根式，需令x=asint-π2≤t≤π2；如，被積函數(shù)中有根式a2+x2，那么要想開(kāi)根式，需令x=atant，-π2

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中重視數(shù)學(xué)美的融入，將會(huì)深刻地影響學(xué)生的思想情感，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)的美，更要給他們留有一定的時(shí)間和空間去體味、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，也許若干年后他們會(huì)忘記公式和定理，但是相信他們會(huì)銘記數(shù)學(xué)美帶給他們的美好回憶.