利用導數研究函數性質

魏池

【摘要】“導數及其應用”是高等數學的重要組成部分，同時又是微積分的核心內容之一.導數的廣泛應用，為我們解決函數問題、研究函數性質提供了有力的工具.本文通過分析導數學習前后解題方法的比較，使學生可逐漸體會到，導數在研究函數性質中所包含的很多重要的數學思想與方法，認識到導數至關重要的工具作用.

【關鍵詞】導數；極限；單調性；最值

導數是近代數學的重要基礎，是聯系初、高等數學的紐帶，它的引入為解決中學數學問題提供了新的視野，新的方法.導數也是研究函數性質（如，求解函數極限、判斷單調性）、求函數最值等數學問題的有力工具.

一、利用導數求函數極限

利用洛必達法則，可以很輕松地應用導數工具來求解一些00型極限，或者∞∞型極限.

例如，求 limx→01-cosxx2.

方法一：limx→01-cosxx2=limx→02sin2x2x2=limx→0sin2x22x22

=12limx→0sinx2x22=12.

方法二：limx→01-cosxx2=limx→0sinx2x=limx→0cosx2=12.

對比這兩種方法，方法一先是利用三角變換，將1-cosx轉化為2sin2x2，再通過變形利用重要極限 limx→0sinxx=1，最終求出極限值.此方法要求學生熟練掌握三角恒等變化，以及重要極限的變化形式，對知識量要求較大，運算也有一定的技巧性，步驟較多.

而方法二利用洛必達法則求解，首先，需要判斷是否滿足洛必達法則的條件，該極限是屬于00型極限，其次，利用洛必達法則，分子分母同時求導數，最終求出極限.此方法運算量較小，只需掌握函數求導法則即可.通過上述分析，顯而易見方法二更簡便，容易掌握.當然這樣的例子還很多，比如，limx→0x3x-sinx用以前的知識就很難求解，而運用洛必達法則之后求解就變得很容易了.但需要注意的是洛必達法則有使用條件，不能凡是見到求極限的題目就盲目地用洛必達法則求解.

通過用洛必達法則求函數極限的講解，讓學生初步認識到了學習導數的重要性.

二、利用導數判斷函數的單調性

在未學習導數知識之前，判斷單調性時，只能用定義或根據常用函數的單調性來推導，這種方法不僅運算量較大，而且有時也會出現無從下手的情況，如y=x+1-x類函數.

例如，y=2x3-6x2+18x+1，定義域為R.

方法一：利用定義判斷，設x1，x2∈R，且x1>x2，f（x1）-f（x2）=[2x31-6x21+18x1+1]-[2x32-6x22+18x2+1].

經過化簡，得到f（x1）-f（x2）>0，故f（x1）>f（x2），因此，函數為定義域R上的增函數.

方法二：利用導數判斷，先求導數y′=6x2-12x+18=6（x2-2x+3）=6[（x-1）2+2].

經過配方得出上式值恒大于零，由定理得函數為定義域R上的增函數.

比較上述兩種解法，方法一中，只有判斷出f（x1）與f（x2）的大小關系，才能得出f（x）的單調性，在化簡過程中多次配方，并用到平方差、立方差公式，運算非常煩瑣，還有很大的技巧性.而方法二中，利用導數判斷單調性，只需求導一次、配方一次，即得到結論，步驟少，運算簡便.因此，在判斷單調性的解題中，導數作為強有力的工具提供了簡單、程序化的方法，具有普遍的可操作性.

三、利用導數求函數最值

之前，求最值有很多方法，如，配方法、數形結合法、換元法等等，根據不同的題目要選擇合適的方法，如，求函數y=x+2x-1的最值要用換元法，求y=（ex-a）2+（e-x-a）2要用配方法等.利用導數求最值主要是求閉區間上連續函數的最值.

例如，求函數y=x3-3x2+1在閉區間[-2，0]上的最值.

方法一：先通過單調性的定義判斷出該函數在[-2，0]上是單調遞增的，再求端點的函數即可求出最值.

方法二：先對函數求導數得y=3x2-6x，分解因式，在閉區間[-2，0]解導數為零的點x=0，求導數為零的點處以及端點處的函數值，比較之后得出最大值為f（0）=1，最小值為f（-2）=-19.

比較上述兩種方法，方法一在判斷單調性中，技巧性較強，運算量也很大.而且這種方法很有局限性，若函數在題目中所給區間上不是單調的，那判斷就會更加復雜.而方法二中，利用導數求最值比較簡便.

以上通過舉例、比較，分析了導數在求極限、判斷單調性、計算最值等方面的運用，充分說明了導數在研究函數性質及數學計算上的優勢，因此，導數不僅為數學學科內自身的計算提供了新的方法、新的理念.同時，導數也廣泛地應用于物理學、經濟學等許多個數學之外的學科，起著極其重要的作用.

【參考文獻】

[1]盛祥耀，主編.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2005.

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