多元函數(shù)的極值問題及實際案例分析

孫娜

【摘要】在實際問題中，往往會遇到多元函數(shù)的最大值、最小值問題.與一元函數(shù)類似，多元函數(shù)的最大值、最小值與極大值、極小值有密切的關(guān)系.本文首先以二元函數(shù)為例，來討論二元函數(shù)極值問題的求解方法，進而通過實際案例，將所得方法進行驗證，來討論其實際意義.

【關(guān)鍵詞】多元函數(shù)；極大值；極小值；偏導數(shù)；駐點

在實際應用中，常常會遇到求最大值和最小值的問題.如，用料最省、容量最大、花錢最少、效率最高、利潤最大等問題.此類問題在數(shù)學上往往可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常為目標函數(shù)）的最大值或最小值問題.但以上這些問題一般所給出的目標函數(shù)都只含有一個變量，直接利用一元函數(shù)導數(shù)求解極值的方法就可以解決這些問題.而有些實際問題只定義一元函數(shù)不能對其進行建模，所建模型至少含有兩個或者兩個以上的變量，對于該類實際問題要求解極值問題必須要用多元函數(shù)理論求解極值問題.

一、多元函數(shù)極值的定義

定義設(shè)函數(shù)z=f（x，y）的定義域為D，P0（x0，y0）為D的內(nèi)點.如果存在P0（x0，y0）的某個領(lǐng)域，使得對于該鄰域內(nèi)異于P0（x0，y0）的任一點（x，y）都有f（x，y）f（x0，y0））成立，則稱函數(shù)f（x，y）在點（x0，y0）必有極大值（或極小值）f（x0，y0），點（x0，y0）稱為函數(shù)f（x，y）的極大值點（或極小值點）.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點.

對于可導一元函數(shù)的極值，可以用一階、二階導數(shù)來確定.對于偏導數(shù)存在二元函數(shù)的極值，也可以用偏導數(shù)來確定.下面兩個定理是關(guān)于二元函數(shù)極值問題的結(jié)論.

定理1（極值存在的必要條件）設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點（x0，y0）的兩個偏導函數(shù)都存在，且在該點處取得極值，則必有fx′（x0，y0）=0，fy′（x0，y0）=0.

注1使fx′（x0，y0）=0，fy′（x0，y0）=0同時成立的點（x，y）稱為函數(shù)f（x，y）的駐點.

注2由以上定理知，對于偏導數(shù)存在的函數(shù)，它的極值點一定是駐點.但是駐點卻未必是極值點.

二、判斷多元函數(shù)取得極值的充分條件

定理2（極值存在的充分條件）設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點（x0，y0）的某個鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階及二階偏導數(shù)，且（x0，y0）是函數(shù)的駐點，即fx′（x0，y0）=0，fy′（x0，y0）=0.記A=fxx″（x0，y0），B=fxy″（x0，y0），C=fyy″（x0，y0）.

則z=f（x，y）在點（x0，y0）處是否取得極值的條件如下：

（1）當B2-AC<0時，函數(shù)在（x0，y0）處取得極值f（x0，y0），且當A<0，f（x0，y0）是極大值，當A>0，f（x0，y0）是極小值；

（2）當B2-AC<0時，函數(shù)在（x0，y0）處沒有極值；

（3）當B2-AC=0時，函數(shù)在（x0，y0）處可能有極值，也可能沒有極值，需要進一步做討論.

在討論一元函數(shù)的極值問題時，函數(shù)的極值既可能在駐點處取得，也可能在導數(shù)不存在的點處取得.同樣，多元函數(shù)的極值也可能在個別偏導數(shù)不存在的點處取得，因此，在考慮函數(shù)的極值問題時，除了考慮函數(shù)的駐點外，還要考慮那些使偏導數(shù)不存在的點.

三、求多元函數(shù)最值的方法

進一步，與一元函數(shù)類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值與最小值.如果函數(shù)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f（x，y）在D上必定能取得最大值和最小值，且函數(shù)最大值點或最小值點必在函數(shù)的極值點或在D的邊界點上.因此，只需要求出f（x，y）在各駐點和不可導點的函數(shù)值及在邊界上的最大值和最小值，然后加以比較即可.

綜上所述：假定函數(shù)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)、偏導數(shù)存在且駐點只有有限個，則求函數(shù)f（x，y）的最大值和最小值的一般步驟為：

（1）求函數(shù)f（x，y）在D內(nèi)所有的駐點處的函數(shù)值；

（2）求f（x，y）在D的邊界上的最大值和最小值；

（3）將前兩步得到的所有函數(shù)值進行比較，其中最大者即為最大值，最小值即為最小值.

四、解決實際案例

例設(shè)某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A，B.D1，D2分別為產(chǎn)品A，B的需求量，而它們的需求函數(shù)為D1=8-P1+2P2，D2=10+2P1-5P2，總成本函數(shù)C=3D1+2D2，其中P1，P2分別是產(chǎn)品A，B的價格（單位：萬元）.問價格P1，P2分別取何值時可使利潤最大？最大利潤為多少？

解總收益為R=P1D1+P2D2=P1（8-P1+2P2）+P2（10+2P1-5P2），

總利潤為L=R-C=（P1-3）（8-P1+2P2）+（P2-2）（10+2P1-5P2），

利潤L是價格P1，P2的二元函數(shù).解方程組

LP1=7-2P1+4P2=0，

SP2=14+4P1-10P2=0， 得P1=632，P2=14，

即得唯一駐點632，14.

由題意知最大利潤存在，且駐點唯一，所以利潤L在唯一駐點632，14處取得最大值，即當產(chǎn)品A，B價格分別為632（萬元）與14（萬元）時可獲得最大利潤為

L=R-C=632-38-632+2×14+（14-2） 10+2×632-5×14=164.25（萬元）.

五、總結(jié)

多元函數(shù)的極值是“微積分”課程的重要內(nèi)容，其理論和實際應用非常重要，函數(shù)的極值問題一直以來都吸引著眾學者的關(guān)注和研究.本文主要研究普通極值問題即無條件極值問題.條件極值問題也有非常重要的研究意義.解決好無條件極值問題有助于解決條件極值問題.