具有密度制約的HIV動(dòng)力系統(tǒng)最優(yōu)控制

薛威娜

【摘要】針對(duì)具有密度制約的HIV動(dòng)力系統(tǒng)，討論其最優(yōu)控制問(wèn)題.通過(guò)引入藥物的有效性，建立目標(biāo)泛函且分析最優(yōu)控制的存在性.結(jié)合龐大利亞金最大值原理和漢密爾頓函數(shù)，建立最優(yōu)控制策略，從而，對(duì)具有年齡結(jié)構(gòu)的HIV動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行有效控制.

【關(guān)鍵詞】HIV；動(dòng)力系統(tǒng)；最優(yōu)控制；懲罰因子；最大值原理

針對(duì)HIV病毒，目前還沒(méi)有研發(fā)出根治藥物.結(jié)合動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型和性能指標(biāo)，學(xué)者們提出了艾滋病毒感染的最優(yōu)控制問(wèn)題.針對(duì)HIV病毒感染問(wèn)題，基于狀態(tài)依賴的Riccati方程，H.T.Banks等人考慮了最優(yōu)反饋控制問(wèn)題和狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題.

許多數(shù)學(xué)模型主要針對(duì)CD4+T細(xì)胞和HIV病毒交互作用進(jìn)行闡述.在這些模型中，HIV感染模型可以采用最優(yōu)控制原理分析這類系統(tǒng).基于帶有密度制約的年齡結(jié)構(gòu)HIV動(dòng)力系統(tǒng)模型的最優(yōu)控制理論還沒(méi)有被深入研究.

一、HIV動(dòng)力系統(tǒng)模型

考慮如下具有密度制約的HIV動(dòng)力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

如果a≥d1，其中β代表到達(dá)飽和量的速率，否則，為概率密度函數(shù).T（t）為在t時(shí)刻未感染CD4+T細(xì)胞數(shù).T*（a，t）為在年齡為a時(shí)感染CD4+病毒數(shù)量.V（t）為在t時(shí)刻病毒數(shù)量.Tmax為人體內(nèi)CD4+病毒的最大容納量.s為未感染CD4+病毒的細(xì)胞增長(zhǎng)常數(shù)速率.d為未感染細(xì)胞的感染過(guò)程.KV（t）T（t）為未感染細(xì)胞的感染過(guò)程.δ（a）為感染CD4+病毒細(xì)胞的死亡速率.c為病毒數(shù)量是常數(shù)速率.

二、最優(yōu)控制問(wèn)題

目標(biāo)泛函為J（ε）=∫t f0[RV（t）+Qε（t）2]dt，其中Q和R分別為病毒量和控制權(quán)重，ε（t）為藥物的有效性，滿足0≤εmin≤ε（t）≤εmax<1.ε（t）在[0，tf]上是可測(cè)函數(shù).因此，（1）轉(zhuǎn)化為如下最優(yōu)控制問(wèn)題：

因此，

dT*dt（aj，t）=-T*（aj，t）-T*（aj-1，t）Δaj-δ（aJ）T*（aj，t），

dvdt=∑nj=1p（aj）T*（aj，t）·Δaj-cv（t）.（5）

令x=（T，T*1，T*2，…T*N，v）T，其中T*j=T*（aj，t），則（5）轉(zhuǎn)化為

x=TT*1T*2T*nv=s-dT+rT1-T+ITmax-（1-ε）kvT-T*1-k（1-ε）vTΔa1-δ（a1）T*1∑nj=1p（aj）T*jΔaj-cv .（6）

其中，初始條件為X（0）=[T（0），T*0（a1），T*0（a2），…，T*0（an），v（0）]T.

結(jié)合目標(biāo)泛函和約束條件以及懲罰因子，構(gòu)造如下形式的拉格朗日函數(shù)：

L=[Rv（t）+αε2（t）]

+ρs-dT+rT1-T+ITmax-（1-ε）kvT

+λ1-T*-k（1-ε）vTΔa1-δ（a1）T*1

+∑nj=Lλj·-T*j-T*j-1Δaj-δ（aj）·T*j

+η·∑nj=1P（aj）·T*jΔaj-cv-w1（ε-εmin）

-w2（εmax-ε）.

其中，wi（t）≥0，i=1，2是罰算子.在ε=ε*時(shí)，有w1（t）（ε-εmin）=w2（t）·（εmax-ε）=0.

定理2假設(shè)存在一個(gè)最優(yōu)控制ε*和（6）式滿足目標(biāo)泛函，則必存在向量[ρ…η]滿足

Y=ξλ1λ2λnη=

--dρ+kξ-rTTmax-（1-ε）kv+k（1-ε）vΔa1·λ1-λ1Δa1-δ（a1）·λ1+λ2Δa2+P（a1）·Δa1η-λnΔan-δ（an）·λn+P（an）·ΔanηR-ρ·（1-ε）kT-cη+λ1·k（1-ε）TΔa1 .

且終端條件Y（tf）=[0，0，…，0]T.最優(yōu)控制函數(shù)ε*滿足

ε*=maxεmin，minεmax，12Q·kΔa1vTλ1-kTρ.

證明利用龐大利亞金最大值原理和拉格朗日函數(shù)得到如下等式：

Y=-LX

=-dρ+kξ-rTTmax-（1-ε）kv+k（1-ε）vΔa1·λ1-λ1Δa1-δ（a1）·λ1+λ2Δa2+P（a1）·Δa1η-λnΔan-δ（an）·λn+P（an）·Δan·ηR-ρ·（1-ε）kT-cη+λ1·k（1-ε）TΔa1 .

為了求解最優(yōu)控制ε*，根據(jù)必要條件可以得到

Lε=2Qε（t）+kvTξ-λ1·kvTΔa1-w1+w2=0，

2Qε（t）=λkvTΔa1+w1-w2-kvTρ，

因此，ε*（t）=12QλkvTΔa1+w1-w2-kvTρ.