“超幾何分布”與“二項(xiàng)分布”解題錯因分析及對策

王德鎖

【摘要】在高中數(shù)學(xué)“概率”部分的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生往往對超幾何分布和二項(xiàng)分布這兩類題型含混不清，出現(xiàn)弄錯事件類型、用錯概率公式、勞而無功的情況.而學(xué)生在這一部分的計(jì)算和書寫基本沒有多大問題，下面重點(diǎn)就兩類概率問題解題錯誤的原因予以分析，并提出自己的具體對策.

【關(guān)鍵詞】超幾何分布；二項(xiàng)分布；錯因分析及對策

一、錯因分析

（一）心理方面

由于概率統(tǒng)計(jì)問題普遍題目較長，文字閱讀量大，再加之許多題目會結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表等多種信息渠道給出條件，干擾因素較多.許多學(xué)生缺乏對此類項(xiàng)目的審題經(jīng)驗(yàn)，對信息處理的心理準(zhǔn)備不足，遇題則慌，往往一些很細(xì)小的知識（如，統(tǒng)計(jì)圖表的識圖和轉(zhuǎn)化）障礙都將成為解題的困難，長期會造成心理陰影，難以從中提取核心信息.再加之考試環(huán)境下，難以靜心思考，對關(guān)鍵字眼、重點(diǎn)字句的推敲不夠，是此類問題失誤的重要心理原因.

（二）知識方面

1.學(xué)生對概率問題中相關(guān)概念的理解不到位

概率問題概念之間的基本關(guān)系為：隨機(jī)試驗(yàn)→隨機(jī)事件→隨機(jī)變量→隨機(jī)變量的概率→分布列.學(xué)生在有關(guān)概念的理解上主要存在以下問題，直接影響概率問題審題失誤.

一是審題時未弄清該問題是由怎樣的隨機(jī)試驗(yàn)產(chǎn)生的（特別是從抽樣的角度去辨析是何種抽取方式：放回或不放回）.

二是未明確隨機(jī)試驗(yàn)及其結(jié)果產(chǎn)生了哪些隨機(jī)事件，其中的基本事件是什么.

三是未完全理解隨機(jī)變量的取值及其代表（表示）的隨機(jī)事件或事件組.

四是未弄清隨機(jī)變量的概率是哪個事件的概率或哪些事件的概率之和，而盲目求值.

2.對超幾何分布和二項(xiàng)分布的本質(zhì)認(rèn)識不清

如果將各類隨機(jī)試驗(yàn)中對象產(chǎn)生的過程都從抽取的方式來看的話，產(chǎn)生超幾何分布這種古典隨機(jī)試驗(yàn)的本質(zhì)是不放回抽取，而二項(xiàng)分布的隨機(jī)試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，可理解為是可放回的.簡言之，超幾何分布對應(yīng)試驗(yàn)是不放回抽取，每次試驗(yàn)不獨(dú)立；二項(xiàng)分布是放回抽取，每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.

3.學(xué)生對何時用樣本頻率代替總體概率不清楚.易忽視如“以這個小組的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)全校的總體數(shù)據(jù)”，其含義就是“用頻率估計(jì)概率”等這樣的提示性語句.

（三）能力方面

未養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，不能按思維的秩序去有序分析題目的條件.缺乏必要的信息處理能力，特別是在概率問題中條件比較繁雜時，對重要信息的處理能力不足，特別是圖表信息處理，純文字信息處理能力嚴(yán)重不足.

二、對策

（一）正本清源，辨析概念

強(qiáng)化對二項(xiàng)分布和超幾何分布基本概念的理解和差異性的辨析，提高對這兩個知識點(diǎn)的認(rèn)知度.

（二）調(diào)適心理，提高素養(yǎng)

根據(jù)筆者經(jīng)驗(yàn)，概率問題的解答應(yīng)是“七分思考三分作答”，即應(yīng)花大量的時間去閱讀題目、處理信息、選擇事件類型，這樣保證審題的正確性，確保解題不出現(xiàn)方向性錯誤而全盤皆輸.對解題者來說，簡單問題可直接通過自己對概念和原理的理解和直接應(yīng)用解決，而復(fù)雜問題則需要“頓悟”或“漸悟”得來.而解決概率問題的思路和模型選擇更需要有一個較長時間的“去粗取精”，從漸悟到頓悟.

（三）培養(yǎng)習(xí)慣，規(guī)范審題

解題應(yīng)先審題，養(yǎng)成認(rèn)真審題、縝密思考的習(xí)慣是解好題的關(guān)鍵.對于概率問題，特別是二項(xiàng)分布和超幾何分布這兩類問題尤為重要.審題時要慢要細(xì)，從以下方面謹(jǐn)慎審題：一審條件探隱含，二審結(jié)論會轉(zhuǎn)換，三審圖表、數(shù)據(jù)找規(guī)律，四審細(xì)節(jié)更完善.

（四）類比訓(xùn)練，突破易錯點(diǎn)

超幾何分布和二項(xiàng)分布在解題時，特別是審題時最易忽視的就是從抽取方式的角度來認(rèn)真審視隨機(jī)試驗(yàn)是放回抽取還是不放回抽取.這也成為審題失誤乃至解題錯誤的根本問題.因而，為加強(qiáng)學(xué)生對二者的區(qū)別，應(yīng)注重在教學(xué)中設(shè)置兩類問題的類比訓(xùn)練，從而更好地對它們進(jìn)行比較、區(qū)分，幫助學(xué)生提高審題的準(zhǔn)確性.對一部分學(xué)困生，特別是概率問題常錯的學(xué)生，應(yīng)通過題組訓(xùn)練，強(qiáng)化其審題能力和解題能力.