利用幾何畫板提升“幾何直觀”核心素養的探索

李衛星

【摘要】《數學課程標準》指出：“幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用.”[1]幾何直觀實際上就是在“數學—幾何—圖形”關系鏈中讓我們感悟到的最大好處.幾何畫板能夠動態地展現出幾何對象的位置關系、運行變化規律，理應承擔提升學生幾何直觀能力的作用，我們以浙教版九上數學第3章“圓的基本性質”為例進行了若干探索.

【關鍵詞】幾何畫板；幾何直觀；圓的基本性質

《數學課程標準》中將“幾何直觀”列為十大核心概念之一，也是初中生所必備的核心素養之一.它本質上是一種通過圖形所展開的想象力.“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果.”[1]幾何直觀包含兩方面內容：一是幾何，主要指圖形；二是直觀，不僅僅指直接看到的圖形，更重要的是借助看到的圖形進行數學思考，是一種方法、途徑，也是一種數學意識.正如希爾伯特在《直觀幾何》一書中的序言里寫到的：“要幫助我們的學生學會用圖形來描述和刻畫問題，要幫助學生學會用圖形去發現解決問題的思路，要幫助學生學會用圖形來理解我們得到的結果和記憶我們的結果.”[2]因此，培養學生的幾何直觀能力、發揮幾何直觀性的教學價值，是我們研究幾何的重要內容之一.

幾何畫板能動態展示圖形對象的位置關系與變化規律，對于幾何直觀的作用是無可比擬的.“圓的基本性質”是浙教版九上的內容，是幾何領域的典型代表，是學生學習的難點，因此，引入幾何畫板有利于縮小學生對幾何的距離感，對于發展學生的幾何直觀和促進知識理解有著重要的作用.

一、凸顯過程，直觀分析動態變化的本質

傳統的動態化圖形教學，只能通過教師的語言描述或由學生對一些靜態圖形進行抽象分析，而PPT等課件最多只能為學生呈現一個“一閃而過”的動畫過程.而幾何畫板的“追蹤”功能能直觀形象地把圖形運動的每一個時刻展現給學生，為揭示數學知識的本質能起到很好的作用.

【案例1】圓的定義的產生過程.

浙教版教材是用點的軌跡來定義圓的，我們點擊下圖中的“動畫點”這一按鈕，就形成了線段OA（定長）繞它固定的一個端點O（定點）旋轉一周的動態過程.在運動過程中，觀察到以下結論：動點A與定點O之間的距離始終不變.還可以“擦除追蹤蹤跡”后，改變定長OA，重復演示.

以上直觀的演示過程，向學生展示了清晰而完整的圓的產生過程，把最本質的東西（圓的半徑的不變性）保留并呈現給學生，直觀的刺激為學生的進一步思考留下了痕跡，促進了學生對概念的理解.

二、數形結合，直觀展示數學知識間的聯系

數形結合是初中階段學習數學的重要思想方法之一，用圖形解釋抽象的數學現象既形象又直觀.我們借助幾何畫板中的動畫功能進行即時動態操作演示，在演示的過程中進行觀察、討論，讓學生通過觀察比較來加深對知識的理解.

【案例2】圓心角定理的形成.

如圖所示，選中A點，并拖動A點，觀察在圓心度數不變的前提下，弦AB的長度、AB的度數及長度有怎樣的變化？拖動C，改變圓心角∠AOB的大小，重復操作，結論又如何？（由此猜想發現圓心角定理）

通過直觀演示，猜想在同圓或等圓中，兩個相等圓心角所對的兩段弧、兩條弦之間的相等關系，為下一步的演繹推理論證奠定基礎.

三、題組變式，直觀對比問題異同促轉化

幾何畫板因其操作簡便能隨時改變題目進行變式訓練，把一些類似但又不相同的題目進行歸類，通過對比教學，以求促進一類問題的解決，進而達到較好的教學效果.

【案例3】一個圓中的多解問題的探究.

【問題】如圖，直線AB經過⊙O的圓心，且與⊙O交于A，B兩點，點C在⊙O上，已知∠AOC=30°，點P是直線AB上的一個動點（與點O不重合），直線PC與⊙O相交于點Q，則點P在直線AB的什么位置時，QP=QO？這樣的點P有幾個？并相應地求出∠OCP的度數.

【變式】點P是直線AB上的一個動點，因而，點P與線段OA有三種位置關系：在線段OA上，在線段OA的延長線上，在線段OA的反向延長線上.分三種情況進行分類討論.

通過幾何畫板對動點P的位置改變，自然而然地找到了P點與線段OA三種位置關系的分類點，在黑板上是達不到這種效果的.

四、探究結論，直觀演示動態變中求不變

幾何畫板能在動態背景問題的探究中，顯示變中的不變關系，為學生搭建了一個觀察、分析、找出問題結論的平臺.在“圓的基本性質”一章中的許多定理、性質，在得出結論之前，可用幾何畫板進行演示，讓學生觀察、分析、歸納出所需結論，有時也可在定理證明后進行演示，使學生理解更深刻.

【案例4】圓周角定理的探究與深化.

（1）復習提問圓心角定理（略）.

（2）提出探究問題：在圓周上取一點C，度量∠ACB；拖動點C，∠ACB的大小會變化嗎？∠ACB與∠AOB的大小有什么關系？

（3）拖動點A，B，你的發現還正確嗎？

通過觀察、計算、分析、比較、歸納，得到圓周角定理的猜想.

（4）深化：拖動點C至⊙O外或圓內，猜想∠ACB與所夾的弧AB與EF有怎樣的關系？

引導學生觀察、計算、分析、比較、猜想、發現與證明得出圓外角、圓內角性質.

五、幾何畫板助力學生構建幾何直觀的三種教學形式

（一）課堂演示型：直觀助力學生思考

用幾何畫板進行課堂演示，使抽象的數學知識簡明直觀地呈現，能有效地幫助學生數學地思考知識間的內在聯系.幾何畫板的動態變化能將形與數有機結合，把運動變化過程呈現給學生，形成對數學知識的理解.

【案例5】圖形旋轉性質的探究.

問題1：如圖所示，O是△ABC外一點，以點O為旋轉中心，將△ABC按逆時針方向旋轉80°，作出旋轉后的圖形.

問題2：△ABC在繞O點旋轉的過程中，哪些量不變？哪些量改變了？

以上整個過程直觀地展現了變中找不變的過程，而這個不變就是圖形旋轉的性質.

（二）自主操作型：直觀反饋學生思維

幾何畫板為發現學習提供了可能，通過動態化為學生“做”數學提供了必要工具，能自主地在“問題空間”內探索，凸顯了數學知識形成的過程，既有個別化學習，又能較好地小組學習.教師可根據教學內容設計一些試探性問題，將更多的探索、思考的任務交給學生，使學生根據動態圖形得出概括性的結論.

【案例6】垂徑定理的自主探究.

問題1：垂徑定理的理解.

“垂徑”是指，它.

問題2：垂徑定理的變式.

問題3：垂徑定理的反例.

通過提綱，結合幾何畫板構建變式與反例，從而促進真正理解定理，掌握垂徑定理的使用條件.

（三）互動合作型：協作提升幾何直觀

教師首先向學生提出本教學環節的學習目標、任務及相關學習內容，學生根據自身情況選擇相關內容進行自主學習，各取所需，教師及時進行輔導答疑.可分三個環節展開教學：學生先獨立學習、發現、質疑，內化目標；再實踐探索、合作交流，師生共同探疑；最后歸納梳理，師生共同揭疑.

【案例7】定理“不在同一直線上三點確定一個圓”的探究.

問題1：經過一個已知點能作多少圓？

問題2：經過兩個已知點A，B能作多少個圓？你認為圓心在怎樣的一條直線上？

問題3：一個破損的輪子如圖所示.現要重新澆鑄一個，需先畫出輪子的輪廓線（圓）.怎樣畫這個圓？試一試，并作出這個圓.

（1）設計問題的解決方案：由問題2知道經過兩點的圓的圓心在以這兩點為端點的線段的中垂線上，故只需在大圓弧上找出四個點，畫兩條弦，它們中垂線的交點即是圓心的位置.

（2）問題的發展：教師在肯定的基礎上提出新問題，有沒有比（1）中更簡單的方法？將四個點改為三個點如何？

（3）新的解決方案：讓學生通過直尺、圓規進行方法上的驗證.

（4）問題梳理：引導學生用數學語言進行表述.

這樣，在教師提出問題，學生的自主探索中，不斷發現新的結論，最終促成定理的發現.

六、結束語

盡管“圓的基本性質”一章綜合度較大，幾何畫板的介入，使得學生有足夠的時空參與探究與交流，經歷“做”數學的過程，明顯提高了學生的學習興趣.同時，在應用幾何畫板教學時，教師應注意信息呈現的適切性，注意幾何畫板只是幫助學生思考，而不能代替學生的思考.幾何直觀作為2011年版《數學課程標準》新增加的核心概念，其研究仍處于起步階段，許多問題仍未能得到有效解決，本文總結了一些不成熟的做法，旨為同行們拋磚引玉.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]希爾伯特.直觀幾何[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3]范良火.義務教育教科書·數學·九年級上冊[M].杭州：浙江教育出版社，2014.