中職數學三角函數最值的幾種求法

王娟芳

【摘要】三角函數是中職數學中比較重要的一部分，而三角函數教學最重要的就是求最值.本文重點探討中職數學教學中三角函數最值的幾種求法.

【關鍵詞】中職數學；三角函數；求最值

三角函數是近幾年中職數學考試中的重點之一.而求最值問題是整個三角函數知識體系中最重要的一個知識點.中職數學的三角函數的知識點比較基礎和初級，但是對于中職學生來說，還是比較難的一個知識點.通過三角函數求最值問題分析，能夠更好地加強學生數學思維能力的培養.

一、中職數學中三角函數教學存在的問題

目前，學生普遍反映三角函數是中職數學中難度較大的知識點，不少學生學起來感覺非常吃力.導致其教學效果不夠理想的原因主要有：一是中職院校的學生自身的學習基礎比較差，部分學生沒有養成積極正確的學習習慣，缺乏自主性，這使得學生碰到稍有難度的知識點時就會出現為難情緒，尤其是三角函數涉及的內容比較多，學生如果不能充分理解，就會出現對正切、余切、正弦、余弦等概念混淆的情況；二是大部分中職院校教師的教學方式仍然采用過去那種單一的“灌輸式”的課堂講授模式，常常會出現學生無法理解相應知識點的狀況.

二、中職數學中三角函數求最值的幾種解法

（一）三角函數的有界性求解

所謂三角函數的有界性求解是從三角函數最值求解的本質上來說的，即在對三角函數的定義域不做一定限制的情況下，利用三角函數自身存在的有界性來求其最大值或最小值的解法.

求解這類問題，首先利用有關三角函數公式化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式.在化簡過程中常常用到公式

asinx+bcosx=a2+b2sin（x+φ），其中φ由tanφ=ba及點（a，b）的位置確定.

例1求函數y=1-cosx3+cosx的值域.

解y=1-cosx3+cosx（1+y）cosx=-2cosx=-21+y，由|cosx|≤1得-21+y≤1，即|1+y|≥2，解得y≤-3或y≥1，所以函數y=1-cosx3+cosx的值域是（-∞，-3]∪[1，+∞）.

（二）三角函數數形結合法

三角函數是從三角形的邊長中發展而來的，它的正弦、余弦、正切、余切都與三角形的邊長求解相關.因此，通過數形結合的方式能夠解出三角函數的最值.

例2求函數f（θ）=sinθ-1cosθ-2的最大值與最小值.

分析法一：設y=f（θ）=sinθ-1cosθ-2，去分母整理化為sinθ-ycosθ=1-2yy2+1sin（θ-φ）=1-2y（tanφ=y）

|sin（θ-φ）|=1-2yy2+1≤10≤y≤43.

法二：f（θ）=sinθ-1cosθ-2可看作經過兩點A（2，1），B（cosθ，sinθ）的直線的斜率，點B（cosθ，sinθ）在單位圓x2+y2=1上運動，

由圖可知當直線AB處于L1的位置時，斜率取最小值0，當直線處于L2的位置時，斜率取最大值43.所以0≤f（θ）≤43.

（三）利用均值不等式

利用均值不等式求三角函數時，一定要注意均值不等式的使用條件：一正、二定、三相等.

例3當0

解設t=tanx2>0（0

4.利用判別式

例4求函數y=3sinx2+cosx，x∈R的值域.

解① 當x=2kπ+π（k∈Z）時，y=0；

② 當x≠2kπ+π（k∈Z）時，y≠0，設t=tanx2∈R，則y=3·2t1+t22+1-t21+t2=23·tt2+3，即yt2-23·t+3y=0，由y≠0，Δ=（23）2-4·y·3y≥0， 得-1≤y≤1，且y≠0.

總而言之，加強對中職數學中三角函數的最值求解方法的研究，不應該僅僅將其局限在三角函數教學這一塊，而是應該加強數學系統內各類別知識的結合，以此來提高學生的綜合運用能力，同時培養學生的數學思維能力.

【參考文獻】

[1]羅新軍.萬“變”不離其宗——三角函數角的變換技巧[J].亞太教育，2015（03）：43.

[2]胡金梅.中職數學三角函數最值的幾種求法解析[J].中國校外教育，2015（04）：124.

[3]趙麗.基礎數學中最值問題的求法及應用[J].忻州師范學院學報，2015（05）：14-18.