關(guān)于函數(shù)的“類”對(duì)稱問題

郭鵬

我們知道函數(shù)是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其理論涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)分支.特別是中學(xué)階段，函數(shù)始終是一條主線.有許多函數(shù)具有對(duì)稱性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，有許多函數(shù)不具有對(duì)稱性，但具有“類”對(duì)稱性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的奇異美.對(duì)于“類”對(duì)稱性問題，我們可以類似對(duì)稱的方法處理.

一、函數(shù)的對(duì)稱性

函數(shù)的對(duì)稱性分為兩種：一是關(guān)于一條直線對(duì)稱即軸對(duì)稱.若函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（2a-x），則稱函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱.二是關(guān)于一點(diǎn)對(duì)稱即中心對(duì)稱.若函數(shù)y=f（x）滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則稱函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱.

二、函數(shù)的“類”對(duì)稱

1.函數(shù)的“類”對(duì)稱也分兩種：一是關(guān)于一條直線成“類”對(duì)稱.連續(xù)函數(shù)y=f（x）在直線x=a的左側(cè)單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減），在直線x=a的右側(cè)單調(diào)遞減（或單調(diào)遞增），但函數(shù)y=f（x）的圖像不關(guān)于直線x=a對(duì)稱，我們稱函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a成“類”對(duì)稱.

2.二是關(guān)于一點(diǎn)成“類”對(duì)稱.連續(xù)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（a，b）的兩側(cè)單調(diào)性相同，但y=f（x）的圖像不關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱，我們稱函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）成“類”對(duì)稱.

三、函數(shù)“類”對(duì)稱的理解

1.從“形”的角度理解“類”對(duì)稱

若函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a成“類”對(duì)稱，則因?yàn)閥=f（x）的圖像不是真正關(guān)于直線x=a對(duì)稱，所以對(duì)于函數(shù)y=f（x）圖像上的兩點(diǎn)（x，f（x）），（2a-x，f（2a-x））高低一般不同.

若函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）成“類”對(duì)稱，則因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）的圖像不是真正關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱，所以對(duì)于函數(shù)y=f（x）圖像上兩點(diǎn)（x，f（x）），（2a-x，f（2a-x））到直線y=b的距離一般不等.

2.從“量”的角度理解“類”對(duì)稱

若函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a成“類”對(duì)稱，則對(duì)于函數(shù)y=f（x）圖像上兩點(diǎn)（x，f（x）），（2a-x，f（2a-x）），一般有f（x）-f（2a-x）≠0.

若函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）成“類”對(duì)稱，則對(duì)于函數(shù)y=f（x）的圖像上兩點(diǎn)（x，f（x）），（2a-x，f（2a-x）），一般有f（x）+f（2a-x）≠2b.

四、函數(shù)“類”對(duì)稱的應(yīng)用

若函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a成“類”對(duì)稱，則可以比較函數(shù)值f（x）與f（2a-x）的大小；反之，f（x1）=f（x2），則可以比較x1+x2與2a的大小.

若函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）成“類”對(duì)稱，則可以比較f（x）與2b-f（2a-x）的大小；反之，若f（x1）+f（x2）=2b，則可以比較x1+x2與2a的大小.

五、函數(shù)“類”對(duì)稱的處理方法

對(duì)于第一類問題的處理方法：

1.構(gòu)造對(duì)稱函數(shù).

先討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，再比較f（2a-x）與f（x）的大小.通常的方法是構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（2a-x）-f（x），利用求函數(shù)值域的各種方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，從而得到f（x）與f（2a-x）的大小.

2.利用可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)的定義求解.

對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f（x），在區(qū)間（m，n）上只有一個(gè)極大（小）值點(diǎn)a，若f（x1）=f（x2），且m0x1+x22<（>）a；② f′x1+x22<0x1+x22>（<）a.

若函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）成“類”中心對(duì)稱，處理的方法一般采用構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)法.

六、函數(shù)“類”對(duì)稱題目的編制

例（2014年北京卷18題改編）已知函數(shù)f（x）=lnxx.

（1）求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程.

（2）討論函數(shù)g（x）=lnxx-m（m∈R）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（3）若f（x1）=f（x2），且x1≠x2，求證：x1+x2>2e.

探究（1）（2）略.（3）由f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，設(shè)0e，令F（x）=f（2e-x）-f（x）=ln（2e-x）2e-x-lnxx=xln（2e-x）-（2e-x）lnx（2e-x）x，令h（x）=xln（2e-x）-（2e-x）lnx，h′（x）=ln（2e-x）-x2e-x+lnx-2e-xx=ln[-（x-e）2+e2]-x2+（2e-x）2（2e-x）x，∵02x（2e-x）x（2e-x）=2，（∵0

∴h′（x）<0，∴h（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，∴h（x）>h（e）=0，即F（x）>0.

∴f（2e-x）>f（x）.不妨設(shè)0e，∴f（2e-x1）>f（x1）=f（x2），∴2e-x12e.

七、一點(diǎn)感悟

對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，作為數(shù)學(xué)教師，不僅要引導(dǎo)學(xué)生如何解，而且要教會(huì)學(xué)生如何反思總結(jié)：為什么要這樣解？這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)是什么？背景是什么？其解法能否拓展？讓學(xué)生領(lǐng)悟如何分析問題、解決問題.讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考.培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)及主體意識(shí).“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”.學(xué)中思，思中學(xué)是有效的學(xué)習(xí)方法和途徑.