設而不求

陳習儉

【摘要】解析幾何高考的七大主干知識，在各個省市的高考中都占有很重要的地位，它是用代數的方法去研究幾何問題，不可避免地會涉及聯立方程并且求解方程，如何簡化運算快速求解就顯得極為關鍵，而“設而不求”，就是根據提議巧妙設立未知數，來溝通“未知”和“已知”之間的關系，從而幫助我們解題，而未知數本身并不需要求出它的值.“設而不求”的方法把關注點通過運算求解上升為分析求解，即通過少量的計算大量的分析實現解題.

【關鍵詞】解析幾何；設而不求；高考

一、案例分析

（一）中點和斜率的問題

例1（2013年全國大綱理11）已知拋物線C：y2=8x與點M（-2，2），過C的焦點，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若MA·MB=0，則k=.

解法一常規方法計算（略）.

解法二易知點M在準線上，由MA·MB=0，知MA⊥MB，設AB中點N（x0，y0），則MN=12AB，由拋物線定義知N到準線的距離也等于12AB，于是y0=2，設A（x1，y1），B（x2，y2），則y21=8x1，y22=8x2.

兩式相減得（y1-y2）（y1+y2）=8（x1-x2），

故kAB=y2-y1x2-x1=8y1+y2=2.

點評：設出兩個交點的坐標，通過兩方程作差快速求出斜率，大大簡化了運算，提高了解題的速度，這種方法叫點差法，它的特點是設出關鍵點坐標，然后代入曲線方程，再作差，最后將表達式化成含有斜率與中點的式子.

（二）求直線方程

例2（2013廣東理20）已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0，c）（c>0）到直線l：x-y-2=0的距離為322.設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點.

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）當點P（x0，y0）為直線l上的定點時，求直線AB的方程.

解（Ⅰ）拋物線C的方程為x2=4y.過程略.

（Ⅱ）拋物線C的方程為x2=4y，即y=14x2，求導得y′=12x.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則切線PA，PB的斜率分別為12x1，12x2，

所以切線PA的方程為y-y1=x12（x-x1），

即y=x12x-x212+y1，即x1x-2y-2y1=0.

同理可得切線PB的方程為x2x-2y-2y2=0.

因為切線PA，PB均過點P（x0，y0），

所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0，

所以（x1，y1），（x2，y2）為方程x0x-2y0-2y=0的兩組解.

所以直線AB的方程為x0x-2y-2y0=0.

（三）直線與圓錐曲線關系

例3（2013年陜西理20）已知動圓過定點A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8.

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方程；

（Ⅱ）已知點B（-1，0），設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點.

解（Ⅰ）由已知條件很容易求解出軌跡C的方程為y2=8x，過程略.

（Ⅱ）點B（-1，0），設P（x1，y1），Q（x2，y2），

由題知y1+y2≠0，y1y2<0，y21=8x1，y22=8x2.

y1x1+1=-y2x2+1y1y21+8=-y2y22+8

8（y1+y2）+y1y2（y2+y1）=08+y1y2=0，

直線PQ方程為：y-y1=y2-y1x2-x1（x-x1）

y-y1=1y2+y1（8x-y21）

y（y2+y1）-y1（y2+y1）=8x-y21

y（y2+y1）+8=8xy=0，x=1.

所以，直線PQ過定點（1，0）

（四）對于圓錐曲線中弦長的綜合應用

在人教A版高中數學選修2-1的第二章“圓錐曲線與方程”的例6中，對于已知直線與圓錐曲線相交，求弦長的解題方法中，是直接計算出了兩交點，用兩點間的距離公式計算出了弦長，這種方法對于已知直線和已知曲線是可行的，但在我們的高考題中，經常會用到未知直線與已知曲線相交的弦長，如果我們再采用教材中的方法，會使計算變得特別復雜，而如果我們采用“設而不求”就能讓問題簡單化.

二、小結

設而不求，合理的“設”是橋梁和紐帶，“不求”，使解題變得更加簡潔，而要達到設而不求的境界，就需要對問題更深入地分析和思考，這正好符合高考“多思少算”的命題要求，它優化了學生的解題思路，讓其對解析難題的解決更有信心.