有關(guān)直線與圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一結(jié)論

謝孝順

圓錐曲線中的橢圓、雙曲線、拋物線，不僅各具特色和內(nèi)涵，而且也有統(tǒng)一的定義和性質(zhì).而對(duì)于作為一個(gè)有機(jī)整體的圓錐曲線，探求其所具有的共同特征應(yīng)該非常有用.本文探究直線與圓錐曲線相交所得線段相等的問(wèn)題，具體內(nèi)容如下：

一、問(wèn)題提出

直線y=kx+m與雙曲線x2a2-y2b2=1及其漸近線交于A，B，C，D四點(diǎn)，求證：|AC|=|BD|.

解如圖1所示，可設(shè)雙曲線及漸近線方程為x2a2-y2b2=λ（λ=0或1），

由y=kx+m，x2a2-y2b2=λ，

得

（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2-λa2b2=0，

該方程顯然有實(shí)數(shù)解.

∴x1+x22=kma2b2-a2k2，

即直線y=kx+m與曲線x2a2-y2b2=λ（λ=0或1）的兩交點(diǎn)的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同（與λ無(wú)關(guān)）.故線段AB與CD的中點(diǎn)重合，即|AC|=|BD|.

二、分析

四點(diǎn)共線，然后求該直線上的線段長(zhǎng)相等，如果直接算，計(jì)算量應(yīng)當(dāng)很大.本題巧妙地利用中點(diǎn)相同化解了這一問(wèn)題，又因?yàn)闈u近線方程與雙曲線方程的結(jié)構(gòu)相似（只差一個(gè)常數(shù)λ），所以只用一次韋達(dá)定理即解決問(wèn)題，何等的干凈利索！

（一）引申1

可以將原題中的漸近線改為雙曲線x2a2-y2b2=k（k≠0）（如圖2或圖3所示），然后一直線被兩組雙曲線截得的四個(gè)點(diǎn)仍有相同的性質(zhì)，而證明過(guò)程同剛才一樣.

（二）引申2

設(shè)兩橢圓的離心率相同，對(duì)稱中心重合，長(zhǎng)短軸位置一致，則與兩橢圓相交的直線夾在橢圓間的兩線段長(zhǎng)相等.

解由已知設(shè)兩橢圓方程為x2a2+y2b2=λi（i=1，

圓錐曲線中的橢圓、雙曲線、拋物線，不僅各具特色和內(nèi)涵，而且也有統(tǒng)一的定義和性質(zhì).而對(duì)于作為一個(gè)有機(jī)整體的圓錐曲線，探求其所具有的共同特征應(yīng)該非常有用.本文探究直線與圓錐曲線相交所得線段相等的問(wèn)題，具體內(nèi)容如下：

一、問(wèn)題提出

直線y=kx+m與雙曲線x2a2-y2b2=1及其漸近線交于A，B，C，D四點(diǎn)，求證：|AC|=|BD|.

解如圖1所示，可設(shè)雙曲線及漸近線方程為x2a2-y2b2=λ（λ=0或1），

由y=kx+m，x2a2-y2b2=λ，

得

（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2m2-λa2b2=0，

該方程顯然有實(shí)數(shù)解.

∴x1+x22=kma2b2-a2k2，

即直線y=kx+m與曲線x2a2-y2b2=λ（λ=0或1）的兩交點(diǎn)的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同（與λ無(wú)關(guān)）.故線段AB與CD的中點(diǎn)重合，即|AC|=|BD|.

二、分析

四點(diǎn)共線，然后求該直線上的線段長(zhǎng)相等，如果直接算，計(jì)算量應(yīng)當(dāng)很大.本題巧妙地利用中點(diǎn)相同化解了這一問(wèn)題，又因?yàn)闈u近線方程與雙曲線方程的結(jié)構(gòu)相似（只差一個(gè)常數(shù)λ），所以只用一次韋達(dá)定理即解決問(wèn)題，何等的干凈利索！

（一）引申1

可以將原題中的漸近線改為雙曲線x2a2-y2b2=k（k≠0）（如圖2或圖3所示），然后一直線被兩組雙曲線截得的四個(gè)點(diǎn)仍有相同的性質(zhì)，而證明過(guò)程同剛才一樣.

（二）引申2

設(shè)兩橢圓的離心率相同，對(duì)稱中心重合，長(zhǎng)短軸位置一致，則與兩橢圓相交的直線夾在橢圓間的兩線段長(zhǎng)相等.

解由已知設(shè)兩橢圓方程為x2a2+y2b2=λi（i=1，2），設(shè)直線方程為y=kx+b（斜率不存在情況顯然成立）.

則由x2a2+y2b2=λi，y=kx+b，

得（b2+a2k2）x2+2a2kbx+a2b2-a2b2λi=0，

∴x1+x22=-a2kbb2+a2k2，

∴直線y=kx+b與橢圓的交點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)與λi無(wú)關(guān)，所以兩中點(diǎn)重合，也即與兩橢圓相交的直線夾在橢圓間的兩線段長(zhǎng)相等.

2），設(shè)直線方程為y=kx+b（斜率不存在情況顯然成立）.

則由x2a2+y2b2=λi，y=kx+b，

得（b2+a2k2）x2+2a2kbx+a2b2-a2b2λi=0，

∴x1+x22=-a2kbb2+a2k2，

∴直線y=kx+b與橢圓的交點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)與λi無(wú)關(guān)，所以兩中點(diǎn)重合，也即與兩橢圓相交的直線夾在橢圓間的兩線段長(zhǎng)相等.