論學校數學教育發展的四個階段

孫翔宇

[摘要]數學素養概念的提出順應了時代發展的需要，也經歷了一個漫長的歷史過程。本文通過介紹學校數學教育發展的四個階段，包括算術普及、中等數學普及、數學建模普及，到如今數學素養的形成與發展，闡明了培養學生的數學素養是學校數學課程改革的基本方向。

[關鍵詞]學校教育；數學教育；教育發展；數學素養

[中圖分類號] G40-01

[文獻標識碼] A

[文章編號]1005-5843（2017）09-0114-04

[DOI]1013980/jcnkixdjykx201709023

數學素養概念的提出順應了時代發展的需要，也有其自身的發展脈絡，是一個漫長的歷史過程，先后經歷了算術普及、中等數學普及、數學建模普及等階段，才有了如今數學素養的形成與發展。

一、圖算學傳統與以算數為主的數學教育

現代學校的數學課程起源于“圖算學家”（Maestri dabbaco）和“圖算書”（trattati或者libri dabbaco）。“圖算書”是13世紀出現的用意大利語編寫的教學手冊，主要介紹商業數學、會計和幾何學的相關知識。歐洲文藝復興時期，國際貿易的急劇增長產生了對數學學習的需要，教授商業數學、會計和寫作的地方學校逐漸增多，這些學校的學生往往是商人的兒子或承擔重要職責的學徒。根據圖算學的傳統，學生要在10歲以后才能開始進入計算學校學習。在接下來的幾年時間里，學生將使用專用的課本，這些課本按標準順序整齊地羅列了題目，學生通過記憶運算法則、例子和練習題來解決一些與阿拉伯數字有關的問題，如四則運算和一些與比例相關的問題等。

對傳統的圖算學提出挑戰的是19世紀瑞士的教育學家裴斯泰洛齊（Johann Heinrich Pestalozzi）。他指出，10歲以下兒童不能學算術的傳統是不合理的。在數量關系變得越發重要的世界里，直到10歲才能學習算術的做法導致很多成年人無法有尊嚴地活著。他認為，只要能夠給孩子提供情感安全的學習環境，所有的孩子都可以學習算術。在該環境中，教學遵循從感官開始的概念化過程，并強調感官學習。裴斯泰洛齊的思想極大地影響了美國的數學教育，在他之后，越來越多的教育學者開始接受他的觀點，認為所有兒童都應以一種更有意義的方式學習數學。

19世紀下半葉，小學普及計劃開始在一些國家（如澳大利亞、美國、英國和某些西歐國家）實施。這些國家引入立法規定，特定年齡的兒童將強制進入小學學習。 這些小學詳細規定了學校課程，強調基礎的“讀寫能力”（literacies），分別為3RS：閱讀（reading）、寫作（riting）和算術（rithmetic）。算術逐漸成為美國小學里占用時間最多的課程。盡管受到了裴斯泰洛齊思想的影響，但算術教學依然依賴教科書和紙筆測驗，許多學生和教師都不堪重負。abbaco算術課程也被直接從英國引入到殖民地，如新南威爾士州、魁北克、馬來亞和印度等地。1861年以后，英國開始建立標準化的數學課程，同年級的學生被要求教同樣的“標準”教材，但教學大綱、進口教材和計算方法往往脫離學生的需求。

與這一現狀相伴，出現了關于數學課程的討論。Burnham等人提出，數學教育要返回“前裴斯泰洛齊時代”，年幼的孩子不適宜完成需要通過比較、分析和抽象才能完成的數學任務；也有學者提出，一些孩子對算術“不感興趣”或者不太可能在未來的生活中應用算數知識。報告指出，做太多的算術題目會對學生的心理健康產生影響。因此，在20世紀初，專門學習算術課程的時間減少了。盡管要求變革，但是殘留的Abbaco課程——四則運算、小數、分數、百分比和算術在商業領域的簡單應用仍然流行。

二、20世紀的課程變革與基礎數學教育

20世紀初，在澳大利亞、法國和德國等少數國家，一小部分學生會在小學高級班和中學學習算數以外的其他數學課程，大部分學生在小學之后就不再學習數學了。世界上只有一小部分人會正式研究代數或幾何，少于1%的人會進行微積分的學習和研究。在許多國家，數學課程是為那些社會背景好、生活條件優越的精英階層服務的，嚴謹而傳統的數學課程也被大多數人所接受。但在之后的一段時間，中學和技術學校的數量迅速增多，應該教授什么樣的數學這一問題再次被討論。

20世紀早期，美國數學界對于數學教育問題有以下四種不同的觀點：一是人文主義者維護傳統、嚴謹的數學課程，但承認并不是每個人都能有效地學習數學；二是發展主義者認為，課程實施的重點應該放在學習者身上，其他因素都是次要的；三是社會效率教育者認為，學習中學數學的人應該是那些在未來就業中顯然需要用到數學的人；四是社會美德主義者希望所有學習者都有平等的學習數學的機會，但不認為每個人都需要學習至同一水平。整個20世紀，所有兒童都可以適時地接受相同的數學課程的觀點時常被提出。Zoltan Paul Dienes提出，過去許多學生學習數學有困難是因為課程設置不合理或教學不善，如果教師能夠接受良好的訓練，進行嚴格的數學教學，那么數學將被全部學習者所理解。

在1910～1955年的“進步時代”，美國許多小學數學教科書的特色是與數學課程相似的定量素養（quantitative literacy），許多帶有精美插圖的故事展現了日常生活的情境，伴之與故事相關的定量問題。

20世紀40年代以來，原子能、電子計算機等科學技術迅猛發展，人們看到了科學技術同國力強弱的密切關系，社會再次對科技教育、數學教育進行審視，對科學的基礎——數學教育提出了現代化要求。同時，在布爾巴基學派和瑞士著名兒童心理學家皮亞杰對數學認知結構進行研究、美國教育心理學家布魯納對數學認知能力發展進行研究的基礎上，產生了“新數運動”。在新數運動時期，許多數學家相當樂觀，他們認為學校的數學課程可以與高等數學的現代發展相一致。 如，美國學校的數學研究小組（SMSG）編寫了適用于從幼兒園到9年級所有學生的課本。他們通過放慢學習速度的方式來使接受能力慢的兒童也學習相同的知識，結果是SMSG嘗試讓所有學生學習相同的數學并不完全成功，數學課程可能不符合所有學生的需要和興趣，許多教師也沒有做好充足的準備。

20世紀70年代的“返回基礎”運動中，教師又開始將注意力集中于非情境問題，以得到正確的答案為目的。20世紀末開始的“國際數學和科學趨勢研究”（The Trend of International Mathematics and Science Study， 簡稱TIMSS）是由“國際教育成就評估協會”（IEA）主持、美國波士頓學院TIMSS國際研究中心設計和實施的一項教育研究，在實施之初就被譽為國際上規模最大、最為嚴密、最具綜合性的國際比較教育研究項目。TIMSS所采用的紙筆測驗工具包含了一系列核心的數學問題，大多數問題與標準算術和數學的其他基本形式相關。TIMSS的測試理念及其在世界各國中引起的重視表明，基礎數學教育的重要性已經成為國際數學教育界的共識。

三、信息技術的發展與數學建模

大多數當代數學教育家認為，數學教育的內涵應該超越基本的算術知識和基本技能，將重要的數學建模包括進去。早在19世紀，法國和德國就有一部分人嘗試使學校的數學課程更“實用”，另一些人則試圖使數學更“純粹”。而在整個20世紀，世界各地都進行了許多嘗試來給予學校數學更強的實踐導向。作為隨著信息通訊技術發展的結果，近幾十年來數學已經被看作是“規劃、優化、指導和交流社會事務”最有力的手段之一。ICT與數學相結合具有實踐和理論的力量，這意味著可以最大限度地提高數學的教育力量和實用性。

20世紀初，以John Perry為代表的數學家就提出，所有的兒童都可以接受專業的應用數學課程。Perry組建了以問題解決為基礎進行教學的“數學實驗室”，強調數學、物理科學、工程、建筑和手工作業之間的聯系。盡管他的理念遭到了David Eugene Smith等保守派數學家的反對，但在一定時期，學校的數學課程開始傾向于應用數學方向，更多的學生開始熟悉真實世界中的問題解決之道。1969～1978年間，英國推行了“數學應用計劃”（Mathematics Applicable Project），這一計劃的思想基礎是數學應該充分發揮其模擬現實世界的實用性，考試要求學生使用建模來探索現實世界的情境，在遇到困難時可以得到一些提示。

20世紀70年代，在弗雷登塔爾等數學教育家的影響下，現實數學教育思想（Realistic Mathematics Education，簡稱REM）開始形成。弗雷登塔爾認為，僅僅掌握數學知識的含義是不夠的，應該將數學視為一種活動。REM的基本思想在于，數學是一種人類活動，這種活動始終是具有建構性的。它強調教學要從學生的現實經驗出發，教學方法要考慮到互動性，強調要給學生提供可以自己想象的現實問題情境等。此后，在Henry Pollak和John Mason等數學教育家的推動下，數學建模成為了國際課程理論的基礎之一。

四、新時代的挑戰與數學素養

從國際形式來看，核心素養的提出是順應時代發展和社會變革的必然結果。在全球化進程中，經濟日益增長，人力資本的作用不斷增大，國際競爭加劇。在此背景下，人們對教育提出了更高的要求，如培養學生的能力，以應對快速更新的知識和技能；培養學生的批判性思維和跨學科的視角；培養學生的信息技術和通信技術（ICT）等。

在許多國家，課程開始不僅僅停留于掌握不同學科的知識，更注重學生的態度、行為和能力。經濟合作與發展組織（OECD）積極關注素養界定與調查研究，于1997～2005年實施了大規模的跨國研究項目“素養的界定與遴選：理論框架與概念基礎”（DeSeCo），在全面地分析和總結OECD已開展的有關素養項目的基礎上，確定個人成功的生活和健全的社會所需要的素養，DeSeCo也成為有關核心素養最具代表性的項目之一。此外，美國、英國、法國和澳大利亞等國也都進行了核心素養的相關研究，如美國的“21世紀技能地圖”、英國的“key skills”、法國的“socle （foundation or core） of competence”等。由此可見，為了迎接21世紀的挑戰，對于核心素養開展研究已經成為了國際共識。

與核心素養相對，數學學科也有其獨特的素養。“數學素養”一詞在英文文獻中的對應詞有“numeracy”“mathematical literacy”“quantitative literacy”，這些詞語的含義和使用范圍有所不同，如一些人將“numeracy”視為處理生活、工作和學習所需的基本數學技能；另一些人認為“numeracy”不僅是能力，也包括運用數學來滿足生活工作和學習需要的自信和傾向。對于“mathematical literacy”的早期定義具有兩個特征：有效地運用知識和發展個人能力。在數學領域，“mathematical literacy”意味著對現實世界問題進行數學思考，更好地應對生活中的挑戰。從這些詞義中可以看出，數學素養的概念已經逐漸超出純粹的算術技能，不僅擁有其他基本數學技能，還包括情感特征，如態度、信心等。

鑒于TIMSS紙筆測試工具被廣泛視為測試基本技能，由OECD進行的國際學生評估計劃（PISA）開發的工具被認為更注重學生的數學“素養”。PISA旨在衡量學生在日常情況下可以選擇和應用數學，而不是單純的數學知識測試。如，PISA對數學素養的定義——“數學核心素養是一種在不同情境下進行表示、使用并解釋數學的個人能力，它包括運用數學推理和數學概念、過程、事實和工具對現象進行描述、解釋和預測，幫助個體認識到數學在現實世界中的作用，幫助一個有建設性的、積極參與的、懂得反思的公民做出良好的判斷和決定。”這一定義說明了數學素養是一個綜合性概念，不僅強調數學知識和數學能力，也強調真實情境、問題解決和數學態度等。

由此可見，數學素養的提出一方面是數學教育歷史積淀的結果，從最初以算術為主的數學教育到基礎數學教育的普及，到數學建模的發展，才有了如今數學素養概念的提出與發展；另一方面，數學素養的提出順應了時代發展的需要，在全球化進程不斷加快、人力資本的作用不斷增大的今天，數學素養已成為有建設性的公民的必備素養。

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Four Development Stages of School Mathematics Education

SUN Xiangyu

（School of Teacher Education， East China Normal University， Shanghai 200062， China

）

Abstract： The formation of the concept of mathematical literacy conforms to the needs of the development of the times and has gone through a long historical process. This paper introduces the four stages of the development of mathematics education in schools， including arithmetic for all， basic mathematics for all， applicable mathematics and modelling for all and the development of mathematical literacy. It shows that the mathematics literacy is the inevitable result of historical development and the basic direction of curriculum reform.

Key words： school education； mathematics education； education development； mathematics literacy

（責任編輯：申寅子）