促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)理解的策略研究

張秋爽

【摘要】會解題、會計算、會證明，不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全部，數(shù)學(xué)理解要求學(xué)習(xí)者還要進(jìn)一步反思為什么要這樣做、怎樣做，運(yùn)用了什么樣的思想方法等。課題從數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵、價值，促進(jìn)兒童數(shù)學(xué)理解的策略以及如何評價兒童數(shù)學(xué)理解的程度和層次等方面進(jìn)行了嘗試。數(shù)學(xué)理解的實(shí)踐研究有助于教師更新教育理念，落實(shí)課改精神，改變教與學(xué)的方式，尊重學(xué)生，提高教師和學(xué)生的反思能力，幫助師生更好地理解數(shù)學(xué)知識，在學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程中，促進(jìn)學(xué)生對知識的整體構(gòu)建，提升兒童的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解內(nèi)涵 策略評價 走向

目前的課堂教學(xué)中，很多教師為了應(yīng)付考試，過于強(qiáng)調(diào)對定義、定理等的灌輸與記憶，不注重讓兒童體驗(yàn)知識發(fā)生、發(fā)展、運(yùn)用的過程。思想上按部就班地重復(fù)練習(xí)，最終只是知道數(shù)學(xué)，而不能真正地理解數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)。這種教學(xué)上常采用的“題海戰(zhàn)術(shù)”，不僅讓學(xué)生感到筋疲力盡，根本無法深入思考、理解，造成兒童理解水平不高，甚至對數(shù)學(xué)感到厭惡，而且他們的數(shù)學(xué)思維得不到有效發(fā)掘，數(shù)學(xué)思想方法也得不到有效利用，最終導(dǎo)致兒童對問題只會一題一解地個別解決，忽視解題的思維過程。

會解題、會計算、會證明，不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全部，數(shù)學(xué)理解要求學(xué)習(xí)者還要進(jìn)一步反思為什么要這樣做、怎樣做，運(yùn)用了什么樣的思想方法；還要把學(xué)習(xí)的視野拓展到數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的過程中經(jīng)歷的思想變化、數(shù)學(xué)發(fā)展的文化、數(shù)學(xué)本質(zhì)等。尊重學(xué)生，提高教師和學(xué)生的反思能力，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識，促進(jìn)學(xué)生對知識的整體構(gòu)建，幫助學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，讓兒童獲得數(shù)學(xué)理解的策略有哪些呢？

一、借助經(jīng)驗(yàn)，重新建構(gòu)新知識的學(xué)習(xí)，讓數(shù)學(xué)理解更容易

有意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是引導(dǎo)兒童對生活中的“數(shù)學(xué)現(xiàn)象”進(jìn)行“重新解讀”。課程規(guī)定的數(shù)學(xué)知識，對兒童來說并不是“全新的知識”，在一定程度上是一種“舊知識”。新知識大都可以在兒童的生活經(jīng)驗(yàn)中找到原型，在知識經(jīng)驗(yàn)中找到生長點(diǎn)。

比如：小學(xué)三年級中的 “重疊問題”，也就是我們常說的“集合問題”， 對于低年級學(xué)生來說比較抽象，甚至難于理解。如何使兒童產(chǎn)生親切感，能夠比較深刻地理解數(shù)學(xué)，把似乎遙遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)變得“觸手可及”，把抽象的數(shù)學(xué)變得“直觀可見”，使之愛學(xué)、能學(xué)、會學(xué)呢？教學(xué)中，我們想辦法調(diào)動并激活兒童原有的經(jīng)驗(yàn)，走近數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)。

上課伊始，我們就從兒時熟悉的“排隊問題”開始引入新知識的學(xué)習(xí)。

“李明同學(xué)在一列隊伍中，從前邊數(shù)他是第5個，從后邊數(shù)他也是第5個。這列隊伍一共有多少人？”課堂上出現(xiàn)了三種答案，分別是10人、11人、9人。教師不動聲色，只是追問了一句：“怎樣證明你的結(jié)論是正確的，你們有什么好辦法解釋嗎？”學(xué)生們有的擺小棒，有的畫圈圈，有的寫算式計算……

5+5-1=9 4+4+1=9

直觀的圖畫詮釋著學(xué)生們對數(shù)學(xué)的理解，圖形與算式相結(jié)合，使抽象的數(shù)學(xué)變得直觀、清晰，便于理解。尋找生活原型，通過對各種不同結(jié)果的直觀詮釋，為即將開始后續(xù)“集合問題”的學(xué)習(xí)奠定了重要的基礎(chǔ)。這些學(xué)前積累下來的生活經(jīng)歷，在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得重新認(rèn)識和解讀。我們認(rèn)為，兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是對原有經(jīng)驗(yàn)的重新建構(gòu)和解讀。

二、重視直觀，讓兒童知其然更知其所以然

在小學(xué)教學(xué)中，概念的理解、法則的習(xí)得、問題的解決等都離不開直觀，重視直觀，處理好直觀和抽象之間的關(guān)系，能讓學(xué)生學(xué)得簡單、有趣和深刻，做到通過現(xiàn)象看本質(zhì)。以計算為例，學(xué)生不僅會算，更重要的是理解為什么這么算，需要教師在算理直觀與算法抽象之間架設(shè)一座橋梁，讓學(xué)生在充分體驗(yàn)中逐步完成“動作思維—形象思維—抽象思維”的發(fā)展過程，既要明白怎么算，更要清楚為什么這么算。

三年級學(xué)習(xí)“乘法的豎式計算”時，如12×3，學(xué)生都知道先算二三得六，再算一三得三，這里的三寫在十位，是30，結(jié)果是36。為什么這么算？就沒有別的算法了嗎？我們可以讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，讓學(xué)生掌握方法性知識。教學(xué)簡單流程如下：

（1）出示情境：學(xué)校舉行運(yùn)動會開幕式，三（1）班有12排，每排3人，一共有多少人？

（2）用圖畫表示計算的過程。

方法一：

12×3=3×6×2=36（人）

【解讀：能夠把未知轉(zhuǎn)化為已知去解決，這是學(xué)生具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)。把12分成2個6，是一種分與合思想；學(xué)生已經(jīng)學(xué)過表內(nèi)乘除法，三六十八，2個18就是3個12，在學(xué)生重新分組的過程中還蘊(yùn)含著函數(shù)的思想；把兩個數(shù)相乘轉(zhuǎn)化為三個數(shù)相乘，是乘法結(jié)合律的具體應(yīng)用，學(xué)生雖然沒有正式學(xué)過，但已經(jīng)自覺地應(yīng)用了，這為今后學(xué)習(xí)乘法結(jié)合律提供了感性支撐。】

方法二：

3×9=27（人）

3×3=9（人）

27+9=36（人）

【解讀：學(xué)生能夠運(yùn)用直觀圖把兩位數(shù)乘一位數(shù)轉(zhuǎn)化為表內(nèi)乘法，12可以分成3和9，12還可以分成4和8，12還可以分成5和7；都可以應(yīng)用表內(nèi)乘法口訣求出結(jié)果，最后合起來。其實(shí)，這是乘法分配律的具體應(yīng)用，乘法分配律對于學(xué)生來說，掌握起來比較難，對于難點(diǎn)要早做準(zhǔn)備、多舉實(shí)例、適當(dāng)分散。更重要的是體現(xiàn)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，做到了前有孕伏，后有照應(yīng)。】

方法三：

10×3=30（人）

2×3=6（人）

30+6=36（人）

【解讀：學(xué)生把12分成一個十和2個一，似乎看起來與方法二沒有區(qū)別，也在自覺地應(yīng)用乘法分配律，實(shí)際上是質(zhì)的飛躍。數(shù)的運(yùn)算過程仍舊是數(shù)認(rèn)識的繼續(xù)和延伸，數(shù)的認(rèn)識核心思想是十進(jìn)位值制，所以把12分成10和2就是十進(jìn)位值制在數(shù)運(yùn)算中的應(yīng)用。】

（3）比較三種方法的異同點(diǎn)

三種方法都是利用數(shù)的分解與組合，把沒學(xué)過的知識轉(zhuǎn)化成已學(xué)過的知識解決問題。三種方法都能解決問題，其中把12分成10和2計算比較簡便。

通過幾何直觀，讓學(xué)生體會了算法的多樣化，理解了豎式計算的算理：先算2個3，再算10個3，合起來就是12個3，掌握計算的方法。這里既有對乘法意義的鞏固，也有對數(shù)認(rèn)識中十進(jìn)位值的應(yīng)用，尤其是分與合的思想滲透其中，讓學(xué)生知道計算12×3有很多方法。在這眾多方法中哪一種方法是最簡便的，讓學(xué)生經(jīng)歷了知識的形成過程，做到了知其然更知其所以然，掌握了通性通法，為后面學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)、多位數(shù)的乘法做好了鋪墊。

三、凸顯關(guān)系，讓數(shù)學(xué)理解落到實(shí)處

在建立新舊知識聯(lián)系的動態(tài)過程中，打破原有的認(rèn)知平衡，將數(shù)學(xué)對象的心理表象進(jìn)行改造、整理甚至重組；通過新舊聯(lián)系的建立，舊的聯(lián)系被調(diào)整甚至拋棄，進(jìn)而達(dá)到新的平衡，形成新的、更豐富的知識網(wǎng)絡(luò)，從而也就實(shí)現(xiàn)對新的數(shù)學(xué)對象的理解。“數(shù)學(xué)概念的理解，是指它成為學(xué)習(xí)者內(nèi)部心理網(wǎng)絡(luò)的一部分……理解的程度是由結(jié)構(gòu)內(nèi)容聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來確定的。”

斯根普1976年明確提出了事物的理解有兩種模式：工具性理解和關(guān)系性理解。小學(xué)數(shù)學(xué)的許多概念、法則、定律的學(xué)習(xí)都是有聯(lián)系的，教師要創(chuàng)設(shè)情境在新授課中獲得關(guān)系性理解，在復(fù)習(xí)課上通過梳理提升獲得對知識的結(jié)構(gòu)性理解。

以數(shù)概念為例，在小學(xué)階段，學(xué)生要結(jié)合生活情境，認(rèn)識自然數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)等數(shù)概念。認(rèn)數(shù)的維度有兩個層面，一個是數(shù)的組成的維度，另一個是結(jié)合生活情境認(rèn)識數(shù)，感受數(shù)概念。數(shù)是由計數(shù)單位和個數(shù)累加而形成的。1234是由1個千、2個百、3個十和4個一組成的。認(rèn)數(shù)時單位非常重要，個數(shù)也不容忽視。我們先來說計數(shù)單位，自然數(shù)是以1為單位，不斷復(fù)制、累加得到的；分?jǐn)?shù)就是把“1”均分成若干份，就得到了分?jǐn)?shù)。其中把“1”均分成10份、100份、1000份……后就產(chǎn)生了特殊的分?jǐn)?shù)，也就是一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)等。實(shí)際上，小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)，小數(shù)和自然數(shù)一樣，有著相同的認(rèn)數(shù)結(jié)構(gòu)，都體現(xiàn)了十進(jìn)位值。學(xué)生用自己喜歡的方式表示對數(shù)概念的理解，尤其是計數(shù)單位個數(shù)的累加或繼續(xù)均分的過程，溝通了自然數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，有助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

四、舉例解釋，注重多元表征間互譯

對概念的理解體現(xiàn)在學(xué)生能用自己的例子解釋說明，能從多個角度描述，而且多個角度之間能夠相互轉(zhuǎn)化，這樣對概念的理解就能做到融會貫通了。

一億到底有多大？學(xué)生都會背：十個一千萬是一億。然而會背就真的知道一億有多大嗎？還需要從生活中尋找例子，讓學(xué)生獲得對數(shù)概念的真正理解。一億張紙摞起來有多高？1萬張紙摞起來大約有1米高，以此類推，1億張紙摞起來大約有1萬米，比珠穆朗瑪峰還高；一秒點(diǎn)一個小圓點(diǎn)，點(diǎn)60個小圓點(diǎn)需要1分鐘，不吃飯不睡覺不玩游戲，點(diǎn)1億個小圓點(diǎn)需要三年零兩個多月，也就是說從你上小學(xué)第一天起，到現(xiàn)在四年級開學(xué)了，還有一些沒點(diǎn)完呢；一枚1元硬幣重6克，一億枚一元硬幣重6000噸，相當(dāng)于1000頭大象的體重之和。

請你結(jié)合4×8+6×8=（4+6）×8這個算式，解釋乘法分配律。（可以畫圖、舉例或從乘法意義等方面進(jìn)行說明）

（1）從生活事件中尋找數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解釋：

（2）借助幾何直觀解釋：

（3）利用乘法意義解釋：

4個8+6個8=10個8。

五、拓展應(yīng)用，能解決新情境下的問題

數(shù)學(xué)中許多概念、問題學(xué)完之后，能在新情境下靈活應(yīng)用和遷移，才是創(chuàng)造性理解。也就是我們期待學(xué)生會舉一反三。在不同情境中能應(yīng)用知識解決問題的最大價值在于對所學(xué)知識的進(jìn)一步理解和鞏固。

課本中“雞兔同籠”的例題是這樣的：

學(xué)習(xí)了“雞兔同籠”問題，就能解決自行車和三輪車放在一起的問題，就會做蜘蛛和蟬放在一起的問題，也能處理龜鶴問題，還能解決乒乓球比賽中單打和雙打的問題。如：

（1）把21塊月餅放入5個盤中，每個大盤放5塊，每個小盤放3塊，用（ ）個大盤、（ ）個小盤正好。

（2）20元和50元紙幣共10張，一共是320元，有幾張20元的？幾張50元的？

（3）蜘蛛有8條腿，蝴蝶有6條腿。蜘蛛和蝴蝶共有9只，共有腿60條。你知道蜘蛛和蝴蝶各有多少只嗎？

（4）乒乓球賽場上有8張乒乓球臺。要同時安排26人進(jìn)行單、雙打比賽，應(yīng)該安排幾組進(jìn)行單打比賽？幾組進(jìn)行雙打比賽？

……

數(shù)學(xué)理解就是從以往關(guān)注概念的機(jī)械背誦到注重關(guān)系性理解。理解數(shù)學(xué)要求學(xué)習(xí)者進(jìn)一步反思與理解為什么要這樣做、怎樣做，運(yùn)用了什么樣的思想方法等，同時建立良性的數(shù)學(xué)觀，通過數(shù)學(xué)去理解生活、觀察世界，具備較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。通過這種方法獲得的數(shù)學(xué)概念、法則更有用、更具理解力。數(shù)學(xué)理解是實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)質(zhì)量“增值”的重要途徑。作為一名教育工作者，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解層次和能力，讓學(xué)生能用數(shù)學(xué)的思維方式解決現(xiàn)實(shí)問題，提升生活質(zhì)量才是數(shù)學(xué)課堂的正確方向。

注：本文系北京教育學(xué)會十三五課題“促進(jìn)小學(xué)生數(shù)學(xué)理解的實(shí)踐研究”（課題編號sy2016-175）的研究成果。