基于混合博弈的產品多學科柔性設計決策

陳 亮 李廖平

福州大學機械工程及自動化學院，福州，350116

基于混合博弈的產品多學科柔性設計決策

陳 亮 李廖平

福州大學機械工程及自動化學院，福州，350116

針對產品多學科多目標的設計決策問題，給出了一種融合博弈論和柔性機制進行建模和求解的方法。通過混合博弈來表征學科之間及目標之間的耦合關系,提出了混合博弈模型框架及求解方法。考慮到不確定性和變化的影響，為使產品設計決策具有柔性，引入性能水平滿意度函數來柔性表達設計要求，并尋求設計變量的柔性范圍解來替代固定值的點解，從而增加產品的柔性；柔性范圍解處于可行設計空間內，使各學科性能處于滿意水平并靠近期望值，且具有較好的穩定性。利用概率分布對相應的性能變化進行建模，引入設計偏好指數對柔性設計方案進行評價。最后通過減速器算例的設計來驗證該方法的可行性和有效性。

多學科設計；柔性決策；博弈；偏好指數；減速器

0 引言

復雜產品設計往往涉及多個學科領域，需要綜合考慮多學科間的相互作用和協同效應，進行協同設計決策來獲得各方滿意的設計方案。由于多學科間存在著復雜的耦合關系，學科間相互制約，甚至存在矛盾沖突，存在信息的不確定性，使得設計方案的確定十分困難，因此，復雜產品設計決策中的多學科耦合分析是設計的關鍵，如何有效地處理學科間的耦合關系，獲得各學科均滿意且綜合性能好的設計方案是復雜產品設計開發的核心問題之一。

多學科設計優化(multidisciplinary design optimization ,MDO)是常用的方法之一，多學科設計優化算法可以分為單級算法和多級算法[1]。單級算法(如單學科可行法和多學科可行法)[2]將所有的決策優化集中到一個優化器中，其他學科只在需要的時候提供學科分析，它是一種集中式的決策模型，問題復雜時難以求解。多級算法如并行子空間優化(concurrent subspace optimization，CSSO)算法[3]和協同優化(collaborative optimization, CO)算法[4]克服了單級算法的缺點，將系統的優化設計問題分為兩級：一個系統級和并行的多個學科級。由于系統層和學科層之間需要不斷地迭代，當問題維數高時求解困難，計算復雜性和組織復雜性難以消除，收斂性也難以保證。另外，子系統間復雜的耦合關系會帶來設計信息的不確定性，因為各子系統只能控制整個系統的部分設計變量，它所需的由其他子系統控制的設計變量就成為其未知和不確定的耦合變量。MDO方法通過一致性約束(如協同優化等)來考慮子系統間的相互耦合影響，但對耦合變量的處理過于復雜，會消耗大量的分析迭代次數，忽略了學科設計間的策略互動與動態調整過程[5-6]。為此，復雜產品的設計需要對子系統間的交互作用進行建模，并對子系統間的耦合所導致的信息不確定性進行分析和處理，以減少子系統之間的耦合，并尋求提高系統質量和穩定性的魯棒解，提高系統的整體性能。

博弈論在表達工程團隊間的交互時是有效的[7-8]，可有效應用于產品設計中[9-10]。利用均勻設計試驗法能確定機械產品多目標優化設計博弈分析中博弈方的策略集[11]。利用博弈理論進行產品設計可避免人為確定各目標權重或建立特別綜合評價函數帶來的影響[12]，博弈方遵循博弈過程中的理性法則進行競爭與合作，動態協調最終達到均衡點，克服了MDO方法忽略學科間策略互動與動態調整的不足。另外，通過去除系統層團隊，給各學科團隊賦予自治權，能夠減少迭代次數，降低計算和組織復雜性。

復雜產品設計是一個漸進過程，存在很多不確定性因素，為了減少設計迭代反復，獲得綜合性能好、抵御不確定因素干擾和適應變化的設計解，需要在設計中融入柔性[13]。柔性是一種適應不斷變化的能力[14]，為了增加產品的柔性，需要在產品設計中考慮影響產品設計的變化因素，如設計要求的變化、產品設計參數的變化等，并采用有效的方法和機制處理這些變化因素，以保證在這些變化情況下仍保持設計解的可行性，以及性能水平的滿意度和穩定性。針對上述問題，本文采用混合博弈對多學科交互設計決策過程進行分析，建立多學科設計決策的博弈框架，通過引入柔性機制和設計偏好指數來考慮不確定性的影響，處理各博弈方的策略選擇和進行各博弈方之間的收益均衡，在此基礎上，給出了一種復雜產品多學科柔性設計決策博弈模型，通過求解該模型獲得綜合性能高且各方滿意的解，并以減速器算例來說明該方法的可行性和有效性。

1 多學科設計問題的博弈分析框架

復雜產品設計涉及多個學科，而各個學科通常又有多個目標。本文采用博弈論的方法處理產品多學科多目標設計問題，將決策者設置為局外人，把各個學科或各個目標作為博弈方。通過計算設計變量對各個學科的影響因子，根據設計變量與學科的相關性進行模糊聚類劃分，將設計變量分配給與之關系較為密切的各個學科和目標。設計變量方案集合是博弈策略集,一種策略對應博弈方的一種收益。通過博弈的理性法則，自然引導各博弈方的競爭與合作，最終達到均衡點，得到對應多學科設計問題的博弈均衡解。這種基于博弈理性的均衡解具有較好的穩定性與合理性，考慮了多個學科多個目標之間的相互影響和沖突，實現了綜合優化和均衡協調。決策者這個局外人則根據自己的偏好，從博弈解中選取其滿意解。根據學科間的關系及彼此信息了解情況，學科間可以是合作博弈、非合作博弈或領導-隨從博弈。學科下的優化目標隸屬于學科，與學科之間的關系是領導-隨從關系，用領導-隨從博弈來分析和建模，而學科下各優化目標之間視為合作關系，采用合作博弈來分析和建模，相應的混合博弈分析框架如圖1所示。

圖1 博弈分析框架Fig.1 Game framework

1.1 合作博弈(Pareto博弈)

在合作博弈中，各博弈方彼此間共享信息，以集體理性為基礎，以追求集體利益為目標，共同遵守某個具有合作性的約束力協議，通過協商和合作來獲取聯盟的整體最優利益。通過合作獲取的聯盟整體收益將按照一定的規則進行分配，基本原則是保證每個博弈方所得不少于它們單獨行動(脫離聯盟，不合作)而獲得的利益，其結果對各博弈方來說不一定是最優結果，但一定是可以接受的相對較優的結果，即合作博弈結果是一個Pareto最優解。

定義合作博弈的決策模型為

(1)

由于各設計目標之間的數量級可能存在差異，為了避免數量級相差太大而對設計結果產生影響，需要對各個設計目標進行歸一化處理，將各個博弈方置于同一水平，以消除數量級的影響。歸一化處理后合作博弈的決策模型為

(2)

1.2 非合作博弈(Nash博弈)

非合作博弈發生于由于組織、信息或過程等障礙而相互隔離的情形，各博弈方之間信息不共享，各自決策，以個體理性為基礎，各博弈方選擇一種對自己有益的策略，而不考慮其他博弈方的得失，也不考慮集體利益，以自身利益最大為目標進行博弈，獲得Nash均衡解，在均衡點位置任何博弈方都不愿意改變自己的策略選擇，否則將會降低自身的得益，所以Nash均衡解是一個穩定的收斂解，但不一定是 Pareto 最優的。

本文采用Nash遺傳算法進行非合作博弈求解。每個博弈方被分配一個種群和一個目標函數進行優化。每個博弈方只能修改分配給它的設計變量，通過標準遺傳算子執行操作。在每個時間點(即一代)后，博弈方和其他博弈方交換它們的最優值，算法最終收斂于Nash均衡解。具體過程如圖2所示，假設有兩博弈方P1和P2，博弈方P1控制變量x，博弈方P2控制變量y。分別給每個博弈方分配一個種群，開始時，初始化兩種群，通過標準遺傳算子，兩個種群在各自種群內優化。需要注意的是，種群P1優化時，x是變量，y為種群P2上代優化后的最優解，是一個確定的量；同理，種群P2優化時，y是變量，x為種群P1上代優化后的最優解，是一個確定的量。當優化達到終止條件時，達到Nash均衡，否則繼續優化。與并行遺傳算法PGA中每個子種群使用相同的準則不同，Nash遺傳算法則中各子種群使用不同的準則，因此有均衡的概念。

圖2 Nash遺傳算法Fig.2 Nash genetic algorithm

1.3 領導-隨從博弈

領導-隨從博弈是一種考慮了博弈方設計決策順序的博弈模型，是Nash博弈的一個特例。領導-隨從博弈分領導博弈方和隨從博弈方，兩方的地位不同，領導博弈方在博弈中取得較高的決策權。該博弈是由領導博弈方在假定隨從博弈方理性行為的情況下做出自己的設計決策，隨后隨從博弈方再根據領導博弈方的決策做出自己的決策，并且隨從博弈方的決策要與領導博弈方的決策協調一致，盡量靠近領導博弈方的決策。第i個隨從博弈方的博弈模型為

(3)

1.4 混合博弈

混合博弈是指在一個博弈過程中同時擁有以上三種博弈中的兩種及兩種以上的博弈形式，圖1所示的多學科博弈框架即混合博弈，其中涉及合作博弈、非合作博弈和領導-隨從博弈三種博弈方式，其求解過程如圖3所示。

圖3 混合博弈求解算法Fig.3 Mixed game algorithm

(1)各學科之間先進行非合作博弈(或合作博弈、領導-隨從博弈，根據學科間的關系來確定)，得到Nash均衡解(或Pareto解)。

(2)各學科作為領導方，其下各子目標為隨從方，進行領導-隨從博弈。領導方的解為步驟(1)中的Nash均衡解(或Pareto解)，由領導方的解可求得各隨從方的期望值，然后隨從方進行設計決策獲得其隨從解。

(3)各子目標間進行合作博弈得到Pareto前沿，再從中選取與步驟(1)中的解最接近的一個解。

2 產品柔性設計決策

為了適應不確定性和變化的條件，產品設計決策需要具有柔性。考慮影響產品設計要求的變化，應尋求設計要求的柔性表述，替代傳統的設計要求被指定為剛性約束或目標(表現為一個精確的數值)的情形，允許設計性能要求是變化值，不同的性能水平滿意度不同，通過引入性能水平的滿意度函數S(y)來衡量不同性能水平的滿意度，其定義為滿意度S與性能水平y之間關系的函數。考慮到性能水平離期望值越遠，設計者對目標的滿意度呈加速下降的趨勢，本文使用二次函數來替代傳統的剛性精確值(如圖4為小好型(STB)，根據設計問題類型，也可以是大好型(LTB)或中間好型(CTB))。函數值在0～1之間，1代表完全滿意，表示設計方案被認為是完全可接受或滿意的；函數值為0代表完全不滿意，表示設計方案被認為是不可接受的，這種方法與傳統優化方法相比更加具有柔性。

圖4 柔性設計決策Fig.4 Flexible design and decision

為了對設計進行評價，引入設計偏好指數(design preference index ,DPI)IDP[15]，其定義為設計變化范圍內性能滿意度函數S(y)的數學期望:

(4)

當設計變量在設計解范圍內變化時，引起設計性能和性能滿意度在相應范圍內變化，IDP的含義是衡量和評價在這種變化下對設計要求的總體滿足情況，即對本文給出的柔性設計方案進行衡量和評價的一種指標。IDP值越大，表示性能分布函數和滿意度函數的重合度越大。IDP為1時意味著在這種變化下設計能完全滿足設計要求，即在設計解范圍內的點均是可行的，且相應的性能水平具有高的滿意度，這是理想情況，顯然，使IDP盡量接近1是所期望的。

(5)

然而，IDP值為1在某些情況下是不能達到的，如設計方案②、③所示。

基于上述分析，將設計決策模型中的目標函數定義為設計能力指數IDP值與1之差，給設計變量xi以變化范圍Δxi，并增加約束Δxi≥Δximin，這是為了確保設計解的最小柔性，若沒有這個約束，設計變量Δxi范圍將會趨近于0，設計解退化為常規的單點解，性能水平則成為確定值。增加約束Δyi≤yimax，可限定性能的最大變化，使性能保持必要的穩定性。由此得到柔性設計決策模型：

設計變量：x，Δxi

設計目標：min 1-IDPi;i=1,2,…,m

設計約束：Δxi≥Δximin，i=1,2,…,n

Δyi≤Δyimax，i=1,2,…,m

邊界范圍：

lbj≤xj≤ubj

通過求解該模型，可獲得設計變量柔性范圍解，它處于可行設計空間內，且在此范圍解集內，各學科性能處于滿意水平并盡可能靠近期望值，而且具有較好的穩定性。

3 實例分析

齒輪減速器問題[16](speed reducer problem，SRP)被NASA認為是檢驗MDO方法性能的十大標準算例之一。該問題包含齒輪設計和軸設計兩部分，目標是在滿足齒輪的彎曲應力、接觸應力以及軸的位移和應力等約束條件下使減速器的質量最小。其數學表達如下：

g7=x2x3/40-1.0≤0

g8=5x2/x1-1.0≤0

g9=x1/(12x2)-1.0≤0

g10=(1.5x6+1.9)/x4-1.0≤0

g11=(1.1x7+1.9)/x5-1.0≤0

2.6≤x1≤3.6 0.7≤x2≤0.8

17≤x3≤28 7.3≤x4≤8.3

7.3≤x5≤8.3 2.9≤x6≤3.9 5.0≤x7≤5.5

式中，x1為齒寬；x2為齒輪模數；x3為小齒輪齒數；x4為軸1上軸承間距；x5為軸2上軸承間距；x6為軸1直徑；x7為軸2直徑；g1為齒輪輪齒最大彎曲應力約束；g2為齒輪輪齒最大接觸應力約束；g3為軸1橫向最大撓度約束；g4為軸2橫向最大撓度約束；g5為軸1最大應力約束；g6為軸2最大應力約束；g7、g8、g9為尺寸和空間約束；g10為軸1尺寸經驗設計約束；g11為軸2尺寸經驗設計約束。

在MDO中，將學科定義為系統中本身相對獨立、相互之間又有數據交換關系的基本模塊，又稱作子系統或子空間[17]。將減速器設計問題分解為兩個子系統和三個目標的設計優化問題，子系統1負責齒輪設計，子系統2負責軸設計，見表1。

3.1 單目標最優解

對各目標進行優化得到相應的單目標最優解：

表1 學科子系統劃分

3.2 策略集劃分

表2 各目標偏導數情況

可得出各變量對三個目標的影響因子：Δ1={1，0，0}；Δ2={1，0，0}；Δ3={1，0，0}；Δ4={0，1，0}；Δ5={0，0，1}；Δ6={0，1，0}；Δ7={0，0，1}。然后通過計算相似度，得到模糊相似矩陣；再利用傳遞閉包法求得具有傳遞性的模糊關系矩陣；最后根據實際情況，選取合適閾值，得到相應分類，確定各博弈方的策略集，限于篇幅，不再贅述，可參見相應模糊聚類分析的文獻，最終獲得的策略集劃分結果為：{x1，x2，x3}隸屬于y1；{x4，x6}隸屬于y2；{x5，x7}隸屬于y3。

3.3 多學科混合博弈模型框架的建立

建立圖5所示的減速器混合博弈模型框架，齒輪設計子系統和軸設計子系統間進行Nash博弈， 軸設計子系統下的軸1設計和軸2設計子目標間進行合作博弈。為了便于比較，分為不使用設計偏好指數和使用設計偏好指數兩種情況進行分析。

圖5 減速器博弈模型框架Fig.5 Game model of speed reducer

3.3.1 不使用設計偏好指數

(3)合作博弈。建立合作博弈方1(軸1)模型和合作博弈方2(軸2)模型，軸1、軸2設計處于同一數量級水平，進行歸一化處理，確定合作博弈決策模型。

(4)求解結果。基于前述的混合博弈求解算法，設定ε=0.01，N=100進行求解，迭代56次得到混合博弈結果：

x*=

{3.5047，0.7，17.0174，7.3016，7.7558，3.3526，5.2872}

y1=1380.8y2=346.213y3=1275.4

3.3.2 使用設計偏好指數

(1)滿意度函數的設定。各個學科子系統滿意度函數是根據設計者的經驗和偏好來確定的，設定減速器各學科子系統的滿意度函數如圖6所示。

圖6 滿意度函數Fig.6 Satisfaction function

i=1,2,3

S(y1)=

(3)非合作博弈模型。

Nash博弈方1模型：

Δxi≥0.1xiΔyi≤0.2yi

Nash博弈方2模型：

(4)領導隨從博弈模型。

領導博弈方模型：

隨從博弈方1模型：

隨從博弈方2模型：

(5)合作博弈模型。

合作博弈方1模型：

合作博弈方2模型：

合作博弈決策模型：

s.t.gi(x)≤0i=1,2,…，11

(6)求解。設定ε=0.01，N=100進行求解，迭代78次后得到混合博弈柔性結果：

x={3.5208±0.3291,0.7024±0.0722,17.014±2.7187,

7.4671±0.7774,7.7491±0.8267,3.3495±0.3332,

5.2890±0.5409}

y1=1396.2±594.58y2= 346.77±97.184

y3=1276.5±374.66

表3 結果對比

4 結語

本文基于博弈論對多學科多目標交互設計決策過程進行分析，通過混合博弈來建立學科及目標之間的耦合關系模型, 提出了混合博弈模型框架及求解方法。為了使設計具有柔性以適應不確定性和變化，采用二次型滿意度函數來柔性表達設計要求，另外以設計變量的范圍解來替代點解，從而使得設計解具有適應變化的柔性。用概率分布密度函數反映性能變化，并用設計偏好指數對設計方案進行評價。實例運行結果表明，本文方法是可行和有效的，柔性范圍解處于可行設計空間內，各學科目標性能處于滿意水平并靠近期望值，而且具有較好的穩定性。對于復雜產品多學科多目標設計決策問題，得到綜合性能好且能適應不確定性和變化因素影響的范圍解比追求單純的最優解更有實際意義，所以本文方法具有較好的指導意義，并且獲得的柔性范圍解可作為進一步詳細設計的基礎。

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(編輯 陳 勇)

Multidisciplinary Flexible Design and Decision Based on Mixed Game

CHEN Liang LI Liaoping

College of Mechanical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou ，350116

For the problems of multidisciplinary and multiobjective design and decision, a novel method was given using game theory and flexibility mechanism to model and solve the problems. The coupling relations among disciplines or targets were presented by mixed game, and the mixed game model framework and the corresponding solving methods were proposed. Considering the influences of uncertainty and changes, in order to make the design and decision be flexible, the satisfaction function of performance was introduced to express the flexible design requirements, and the flexible range solutions of design variables were sought rather than a point solution to increase product flexibility. The flexible range solutions were in the feasible design spaces, where every discipline’s performances were satisfactory and close to the expected values and had good stability. Probabilistic representation was used to model the corresponding design performance changes, and design preference index (DPI) was introduced to evaluate the flexible design. Finally, a gear reducer design example was given to verify the feasibility and effectiveness of the proposed method.

multidisciplinary design; flexibility decision; game; preference index; reducer

2016-09-01

國家自然科學基金資助項目(50875049)；福建省自然科學基金資助項目(2014J01184)

TH122

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.15.014

陳 亮，男，1963年生。福州大學機械工程及自動化學院教授、博士。主要研究方向為多學科協同設計、優化和決策，現代設計理論和方法等。E-mail: chenliang@fzu.edu.cn。李廖平，男，1989年生。福州大學機械工程及自動化學院碩士研究生。