六面體單元在壓印成形模擬中的應用

易國鋒 李巧敏 鐘 文 柳玉起

1.湖北工業大學機械工程學院，武漢， 4300742.華中科技大學材料成形與模具技術國家重點實驗室，武漢, 430074

六面體單元在壓印成形模擬中的應用

易國鋒1李巧敏2鐘 文2柳玉起2

1.湖北工業大學機械工程學院，武漢， 4300742.華中科技大學材料成形與模具技術國家重點實驗室，武漢, 430074

針對動力顯式壓印成形模擬系統COINFORM中單點積分單元的沙漏問題，建立了一種采用多點積分方案的八節點六面體單元。推導了體積閉鎖和剪切閉鎖的產生機理，采用假設應變法，成功消除了單元在近似不可壓縮變形中的體積閉鎖和彎曲變形中的剪切閉鎖。將建立的六面體單元與COINFORM相結合，對銀999紀念幣壓印成形模擬算例進行了分析。研究結果表明，提出的多點積分六面體單元在壓印模擬中不存在閉鎖現象，且比COINFORM原有單元具有更高的計算精度。

多點積分；閉鎖現象；紀念幣；壓印成形

0 引言

壓印成形是紀念幣[1]的主要制造工藝。雖然壓印工藝擁有悠久的歷史，但是由于紀念幣材料和行業的特殊性，其制造技術和工藝規程均需嚴格保密。這導致目前已公開文獻中，與紀念幣壓印技術相關的資料比較少，國內外紀念幣的設計與制造主要依賴各造幣企業長期積累的經驗。由于工程經驗難以有效地預測壓印成形工藝中的材料流動和成形缺陷，故目前紀念幣行業中仍然存在制造周期長、廢品率高的問題[2]。據統計，目前國內造幣行業紀念幣壓印的廢品率在10%以上，大直徑、精細花紋和大鏡面紀念幣的廢品率甚至達到50%。

為了有效彌補傳統壓印工藝存在的不足，BREKELMANS等[3]、BUFFA等[4]、GUO等[5-6]采用DEFORM-3D、ABAQUS和MARC等通用軟件，對壓印成形的有限元數值模擬展開了研究。但是，由于上述軟件采用的是隱式算法，故不僅對計算規模有限制，而且難以保證收斂性。為了突破計算規模的限制，XU等[7]對壓印成形工藝及其數值模擬技術進行了深入研究，建立了紀念幣壓印成形模擬系統COINFORM，實現了可達1000萬個單元的大規模壓印成形模擬。但是，在單元選擇方面，COINFORM采用的是單點積分的八節點六面體單元，在壓印成形過程中可能產生非物理變形模式。為了改善COINFORM的仿真性能，有必要在COINFORM中嵌入一種精度更高、穩定性更好的實體單元。一般認為，八節點六面體單元比四節點四面體單元具有更高的穩定性[8]。在六面體單元的早期研究中，FLANAGAN等[9]針對單點積分單元的沙漏模式，提出了一種根據經驗設置沙漏系數的擾動沙漏控制方法。HALLQUIST[10]在DYNA3D中給出了另一種用于單點積分的沙漏控制算法，盡管該方法擁有較高的計算效率，但由于沙漏力與剛體轉動不正交，故并不適用于剛體轉動較大的變形分析。此后，BELYTSCHKO等[11]基于假設應變法建立了一個消除了閉鎖問題的減縮積分八節點六面體單元，根據單元幾何形狀和材料屬性自動計算沙漏力，避免了人工參數的輸入。ZHU等[12]開發了一系列假設應變混合單元，并對單元的閉鎖問題和沙漏現象展開了研究。LIU等[13]開發了多點積分單元HEXDS，并將其應用于大變形彈塑性分析。WANG等[14]開發了一個全積分單元，忽略誘發閉鎖的應變項以消除閉鎖問題，并將其應用于板料成形分析。OOI等[15]采用組合的形函數開發了一個八節點六面體單元，該單元通過了分片測試，能夠適應扭曲的單元形狀。FREDRIKSSON等[16]通過對高階應變場的適當選取，消除了剪切閉鎖和沙漏模式，開發了一種高精度的實體單元。從單元的研究歷程可以看出，沙漏模式、體積閉鎖和剪切閉鎖是六面體單元的主要缺陷。若要建立一種精確穩定的六面體單元，首先需要避免以上幾種缺陷。

本文針對COINFORM中已有單元的沙漏問題，提出了一種多點積分的八節點六面體單元。為了消除多點積分方案導致的閉鎖現象，通過假設應變法對體積閉鎖和剪切閉鎖進行了處理。將提出的六面體單元與COINFORM相結合，對紀念幣壓印算例進行了分析。

1 單元幾何

本文開發的八節點六面體單元如圖1所示。每個節點有3個平移自由度，無轉動自由度。建立圖1所示的自然坐標系，ξ、η、ζ為自然坐標系的三個坐標軸。自然坐標系(x,y,z)和笛卡兒坐標系通過Jacobian矩陣J關聯：

(1)

圖1 四點積分的八節點六面體單元Fig.1 8-node hexahedral element with four integration points

單元采用多點積分方案，4個高斯積分點在自然坐標系下的坐標分別為

(2)

2 單元形函數

任意積分點在共旋坐標系下的坐標(x,y,z)T和位移(u,v,w)T可以插值表示為

(Nx,Ny,Nz)T

(3)

(Nu,Nv,Nw)T

(4)

Ni=(1+ξiξ+ηiη+ζiζ+ξiηiξη+ηiζiηζ+

ξiζiξζ+ξiηiζiξηζ)/8

(5)

構成形函數向量

N=(s+ξξ+ηη+ζζ+h1ξη+h2ηζ+h3ξζ+

h4ξηζ)/8

(6)

由式(3)和式(6)可以得到笛卡兒坐標(x,y,z)T與自然坐標(ξ,η,ζ)T的轉換關系式：

[ξηζ]T=C[x-txy-tyz-tz]T

(7)

(8)

(9)

將式(7)代入式(6)可得

N=Δ+bxx+byy+bzz+γ1ξη+γ2ηζ+

γ3ξζ+γ4ξηζ

(10)

上式包含8個行向量：

(11)

α=1,2,3,4

從式(10)可以看出，單元發生沙漏模式變形時，單元中心點(ξ=0,η=0,ζ=0)處的應變能為零，因此，COINFORM中原有的單點積分單元容易在壓印成形模擬中誘發沙漏模式。對于多點積分單元，式(10)中的γα能保證單元剛度矩陣滿秩[12]，提高單元的穩定性。

3 非線性閉鎖控制

3.1 標準B矩陣

(12)

標準應變-位移矩陣B與形函數向量N相關[17]，其多項式展開形式為

B(ξ,η,ζ)=B0+ξBξ+ηBη+ζBζ+ξηBξη+

ηζBηζ+ξζBξζ

(13)

其中，B0用bx、by和bz表示，Bλ(λ=ξ,η,ζ,ξη,ηζ,ξζ)用下式中相應的bxλ、byλ和bzλ表示：

(14)

3.2 閉鎖現象

3.2.1 體積閉鎖

(15)

結合式(12)和式(15)，有

(16)

3.2.2 剪切閉鎖

(17)

3.3 假設應變法

(18)

(19)

(20)

為了使剪切閉鎖的處理更加簡潔，在單元內建立共旋坐標系(r1,r2,r3)，滿足

(21)

(22)

4 數值算例

圖2所示為某銀999紀念幣，紀念幣的正反面圖案相同，鏡面區域的厚度為2.0 mm。采用圖3所示1盎司(28.3495 g)標準坯餅成形該紀念幣，由于保密原因，具體尺寸未在圖中標注。壓印實驗采用造幣專用設備，壓印機為3500 kN壓印機。實驗過程中,壓機運動速度為100 mm/s，模具的有效行程為0.43 mm。隨著上模向下運動，壓印力不斷增大，最終達到最大值1600 kN，獲得填充比較飽滿的紀念幣，如圖4所示。

圖2 紀念幣幾何尺寸Fig.2 Geometry of the commemorative coin

圖3 帶有邊形的1盎司(28.3495 g)銀999坯餅Fig.3 The 1-ounce (28.3495 g)Ag999 workpiece with flange

圖4 壓印實驗獲得的紀念幣Fig.4 A commemorative coin obtained by the experiment

(a)坯餅 (b)印模

(c)中圈 (d)裝配模型圖5 壓印成形有限元模型Fig.5 Finite element model of the coining

采用本文提出的多點積分六面體單元模擬紀念幣的壓印成形過程。成形結束后紀念幣的應力和應變分布如圖6所示。可以看出，由于紀念幣圖紋區域模具圓角較小，齒狀圖紋和字符“TOT”處出現了應力集中，且應力梯度和應變梯度較大。

(a)等效應力

(b)等效應變圖6 紀念幣的應力和應變分布Fig.6 Stress and strain distributions of the commemorative coin

此外，由于邊形區域的材料較早地流向中圈，產生的塑性變形較大，故壓印結束后邊形區域也出現了應力集中。

為了驗證單元的穩定性，圖7給出了成形過程中壓印力隨模具行程的變化曲線(數據已處理為對應整個模型)，并與COINFORM原有單點積分單元[7]的計算結果進行對比。其中，單點積分單元采用黏性沙漏控制，沙漏系數取0.1。從圖7可以看出，印模與坯餅在O點接觸，最先發生接觸處位于坯餅的邊形表面。在OA階段，坯餅邊形在印模的作用下發生塑性流動，材料沿徑向流向中圈。在A點處，邊形區域基本被壓平，整個坯餅表面與模具接觸，因此，AB階段壓印力直線增大。在模具外力的作用下，金屬從B點開始填充模具型腔，此時外力不斷增大，但增速小于AB階段。從C點開始，坯餅的外邊緣與中圈完全接觸，金屬在外力作用下實現圖紋的完全填充，這一過程需要較大的壓印力才能實現。在CE階段,多點積分單元模擬獲得的壓印力不斷增大，與實驗中壓印力的變化趨勢相同。模具在E點到達下死點，壓印力達到最大值1495 kN，與實驗結果接近。但是，隨著塑性變形的增大，單點積分單元在D點處產生沙漏模式，壓印力突然呈減小趨勢，這與實驗結果差別較大。單點積分單元的沙漏模式逐漸傳播，最終導致計算失敗。由此可見，OD階段兩種單元的計算結果非常接近，說明假設應變法成功消除了單元的體積閉鎖和剪切閉鎖；D點之后，多點積分單元相比黏性沙漏控制的單點積分單元體現出了更高的穩定性。

圖7 壓印力隨行程變化的曲線Fig.7 Coining force varying with the stroke

5 結論

(1)相比單點積分六面體單元，本文提出的多點積分六面體單元具有更高的穩定性。

(2)通過假設應變法，有效消除了多點積分六面體單元的體積閉鎖和剪切閉鎖。

(3)本文提出的六面體單元用于COINFORM壓印成形模擬能達到較高的精度。

[1] 俞曉萍. 北京奧運會紀念幣—從中國走向世界[J].中國金幣,2008(9):13-14. YU Xiaoping. Commemorative Coins for Beijing Olympic Games-from China to the world[J]. China Gold Coin,2008(9):13-14.

[2] 鐘文，柳玉起，許江平，等. 金銀紀念幣壓印成形中的缺陷預測[J]. 中國機械工程,2012,23(1):109-112. ZHONG Wen, LIU Yuqi, XU Jiangping, et al. Defect Prediction in Coining Process for Au-Ag Commemorative Coins[J]. China Mechanical Engineering,2012,23(1):109-112.

[3] BREKELMANS W A M, MULDERS L H G, RAMAEKERS J A H, et al. The Coining Process: analytical Simulations Evaluated[J]. CIRP Annals—Manufacturing Technology,1988,37(1):235-238.

[4] BUFFA G, FRATINI L, MICARI F. The Relevance of the Preform Design in Coining Processes of Cupronickel Alloy[C]//Proceedings of the 9th International Conference on Numerical Methods in Industrial Forming Processes. Oporto,2007:1005-1010.

[5] GUO K, WANG X, BELL R, et al. The Experimental Evaluation of Friction Conditions during a Silver Coining Process[J]. Steel Reesearch International,2008,79(2):80-87.

[6] GUO K. Development of Design Tools for Coining Process Using FEM[D]. Ottawa: Carleton University,2009.

[7] XU J P, LIU Y Q, LI S Q, et al. Fast Analysis System for Embossing Process Simulation of Commemorative Coin-COINFORM[J]. Comput. Model. Eng. Sci.,2008,38(3):201-216.

[8] BENZLEY S E, PERRY E, MERKLEY K, et al. A Comparison of All Hexagonal and All Tetrahedral Finite Element Meshes for Elastic and Elasto-plastic Analysis[C]//Proceedings, 4th International Meshing Roundtable. Albuquerque,1995:179-191.

[9] FLANAGAN D P, BELYTSCHKO T. A Uniform Strain Hexahedron and Quadrilateral with Orthogonal Hourglass Control[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering,1981,17(5): 679-706.

[10] HALLQUIST J O. LS-DYNA Theory Manual Theory Manual[M]. Livermore: Livermore Software Technology Corporation,2014.

[11] BELYTSCHKO T, BINDEMAN L P. Assumed Strain Stabilization of the Eight Node Hexahedral Element[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1993,105(2):225-260.

[12] ZHU Y Y, CESCOTTO S. Unified and Mixed Formulation of the 8-node Hexahedral Elements by Assumed Strain Method[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1996,129(1):177-209.

[13] LIU W K, GUO Y, TANG S, et al. A Multiple-quadrature Eight-node Hexahedral Finite Element for Large Deformation Elastoplastic Analysis[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1998,154(1):69-132.

[14] WANG J, WAGONER R H. A Practical Large-strain Solid Finite Element for Sheet Forming[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering,2005,63(4):473-501.

[15] OOI E T, RAJENDRAN S, YEO J H, et al. A Mesh Distortion Tolerant 8-node Solid Element Based on the Partition of Unity Method with Inter-element Compatibility and Completeness Properties[J]. Finite Elements in Analysis and Design,2007,43(10):771-787.

[16] FREDRIKSSON M, OTTOSEN N S. Accurate Eight-node Hexahedral Element[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering,2007,72(6):631-657.

[17] ZIENKIEWICZ O C, TAYLOR R L, ZHU J Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals[M]. Burlington: Elsevier Butterworth-Heinemann,2005:733-734.

(編輯 陳 勇)

A Hexahedral Element Applied to Coining Simulations

YI Guofeng1LI Qiaomin2ZHONG Wen2LIU Yuqi2

1.School of Mechanical Engineering, Hubei University of Technology, Wuhan, 430074 2.State Key Laboratory of Materials Processing and Die & Mould Technology,Huazhong University of Science and Technology, Wuhan, 430074

In order to overcome the hourglass problems of the one-point integrated element used in the dynamic explicit coining simulation system COINFORM, a new multi-point integrated 8-node hexahedral element was proposed herein. The generation mechanism of volume locking and shear locking was deduced. With the assumed strain method, the volumetric locking in near-incompressible deformations and the shear locking in bending situations were avoided. Combined with COINFORM, the proposed hexahedral element was applied to the coining simulation of a Ag999 commemorative coin. The results show that the locking phenomena of the multi-point integrated element are successfully avoided in the coining simulation, and the proposed element achieves higher computational accuracy than that of the existing element of COINFORM.

multi-point integration; locking phenomena; commemorative coin; coining

2016-10-08

國家自然科學基金資助項目(51275184)

O344.3；TP391.9

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.15.017

易國鋒，男，1976年生。湖北工業大學機械工程學院講師。主要研究方向為金屬塑性成形模擬及模具設計。E-mail：churchwell@163.com。李巧敏，女，1989年生。華中科技大學材料成形與模具技術國家重點實驗室博士后研究人員。鐘 文，男，1988年生。華中科技大學材料成形與模具技術國家重點實驗室博士后研究人員。柳玉起(通信作者)，男，1966年生。華中科技大學材料成形與模具技術國家重點實驗室教授、博士研究生導師。