譜圖:讓學生的思維可視化

◎張 靜

譜圖:讓學生的思維可視化

◎張 靜

思維可視化可理解為：將原本不可見的思維路徑、方式、規律運用圖示或圖示組合的方式呈現出來，以實現增強記憶及加深理解的效果。而數學學習的“思維可視化”就是指學生在數學學習過程中，在感知覺、表象、語言所提供的材料基礎上，將抽象的數學概念、數學規律、較復雜的數量關系等運用形象的圖示、表格、動畫、動作等看得見的形式表示出來，從而達到對數學學習對象有一個形象、直觀、整體的認識和理解。譜圖，可以讓學生的思維從隱性走向顯性，從抽象走向直觀。

一、數學圖示鏈接知識表象：讓思維可感

要引導學生經歷具體形象的操作，學會與思維過程對應的圖像或方法。指導學生在構圖、讀圖、用圖中建立表象，體會、感悟圖中的信息與思維的過程，強化學生的感觀表象，在充分的感性體驗中觀察、比較、分析、歸納，發展思維能力，積累數學活動經驗，促進數學思考，形成清晰的表象。

下面是一位教師教學五年級上冊“復式統計表”中的一個片斷。

教師出示小小調查員調查4個班參加足球興趣小組的情況，先出示五（1）班的調查結果。在這張表中，只能看出五（1）班的情況，像這樣的表格就是以前所學的單式統計表。

師：想知道五（1）班和五（2）班，哪個班參加的人數多嗎？怎么辦？想知道哪個班參加足球興趣小組的男生人數最多嗎？（要同時看4張表）想知道4個班一共有多少人參加嗎？（要同時看4張表，還得計算）看來要進行數據分析，或了解更多信息，用這些單式統計表顯然不夠方便，有什么好的建議？

生：合并。

（自主探究，學生嘗試表格合并。小組內討論，然后動手操作，嘗試表格合并，展示部分小組合作成果。）

五（1）～（4）班足球興趣小組報名人數統計表2016年10月

五（1）～（4）班足球興趣小組報名人數統計表2016年10月

師：為什么可以省略第一行的性別及男女生呢？

生：重復了。

師：現在我們可以統計出男生總人數和女生總人數嗎？還需要進行怎樣的修改？進一步完善復式統計表。

幾個小組的學生都想到了要把重復的性別、合計、男女生這一行去掉，但去掉后問題來了：都變成了五（1）班足球興趣小組報名人數統計表。學生發現這一情況后，有的組改成了五（1）～（4），有的組直接寫成了五（1）、五（2）、五（3）、五（4)，還有的組發現這里的人數不知道是哪一班的，于是在前面分別加上五年級（1～4）班，這就是學生真實的想法，是真實的思維過程。由單式統計表合并變成復式統計表，學生很難用語言去描述，但教師創造了這樣的一個動手操作的機會，激發了學生的認知需求，很自然地把幾個單式統計表合并成了一個復式統計表。學生在不知不覺中認識了復式統計表，通過自己去嘗試、發現并解決了問題。在解決問題的過程中，學生的思維過程也借助于圖表動態地呈現了出來。

二、數學圖畫勾勒智力圖像：讓思維可視

所謂數學圖畫，是指以兒童的數學基礎與生活體驗，通過其眼睛觀察、大腦思考、內心情感的激發，并結合手、眼、腦的協同作用，借助圖畫的方法表示出對數學概念或計算方法的獨特理解，以及它們之間的本質聯系。這種以圖式方式勾勒出數學思維的視覺符號，使隱性的知識顯性化、可視化，將理性的抽象過程形象化、視覺化，便于思考、交流和表達。

有一位教師是這樣設計“乘加乘減”的（二年級）。

師：秋天到了，樹上的果實成熟了，老師特地摘來一些水果請大家品嘗。

從下面這幅圖中，你能知道哪些條件？誰能根據這些條件提出一個數學問題？怎樣列式？

生：2+2+2=6，2×3=6，3×2=6。

師：2表示什么？3呢？2×3在這幅圖中表示幾個幾？

（接著出示：增加一個蘋果的圖片，如下圖所示）

師：現在要求一共有多少個蘋果，你會列式嗎？

（學生列出了下面算式：2+2+2+1，2×3+1，2×4－1。）

師：2×3表示什么？為什么還要加1？2表示什么？4呢？2×4在這幅圖中表示幾個幾？怎么會有4個2呢？

（根據學生回答，教師在最后一盤里添加另一種顏色的一個蘋果的圖片，同時指出，假設最后一個盤子里也有2個蘋果。）

師：為什么又要減1？

師：把最后一個盤子里假設成有2個蘋果，其實多加了1個，就應該在后面把這1個減掉。（邊說邊拿掉這個不同顏色的蘋果）像這樣的算式就是我們今天學習的內容：乘加、乘減。（板書課題）

這位教師重視新舊知識的聯系，合理利用教材資源，創造性地用好教材、超越教材，是課程資源的促進者和發展者。本課設計從復習乘法引入新知，符合學生的認知規律與知識的發展邏輯，為學習乘加、乘減提供了堅實的“錨樁”。學生天生在智力上存在差異，這種差異是由生活經驗、知識水平、思維方式、能力差異等引起的，這種差異必然會導致學生學習效率和學習效果的高低優劣。課堂中2×4－1，僅是幾個優秀學生能想到的，一般學生不能理解這個抽象的過程。而作為課堂的組織者、引導者的教師在課堂教學中就應該充分考慮學生的差異，照顧差異，關注每一位學生的發展，使不同的學生都能在原有的基礎上得到不同的發展。當少數學生借助想象正確列式后，這位教師沒有一帶而過，而是在最后一盤里添加了一個蘋果，并且用其他顏色區分開來，可以使更多的學生借助實物圖，直觀完成抽象的想象過程。乘加學生比較好理解，一眼就能看出來了2×3+1，乘減教材安排在“想想做做”第一題，只有一道乘減算式，而本課教師將其前置，并以直觀的實物圖動態地呈現出來，巧妙地解決了學生認識的具體性與知識的抽象性之間的的關系。本課教師善于在關鍵處點撥，2表示什么？4呢？2×4在這幅圖中表示幾個幾？怎么會有4個2呢？這一問“吹皺一池春水”“激起千層浪”，激起學生的深層次思考，學生的思維逐漸爬坡，思路慢慢拓展，最終觸及知識的本質。

一個蘋果的價值是什么？在于教師的相機引導、巧妙點撥，在于教師找準了學生認知的生長點，合理地選取了直觀形象的圖式，引發了學生的數學思考。一節原本枯燥的計算課，通過一個不同顏色的蘋果，極大的豐富了學生想象的空間，學生充分理解并建構了乘減算術的算理，在充分吸取知識的“芬芳”的同時也激活了孩子內心深處的創造力。

三、數學圖譜繪出概念意象：讓思維可聯

數學圖譜可以整合學習內容，幫助學生探索數學知識的內在聯系，并以圖譜的形式展現知識、方法之間的聯系，從而實現知識結構的重組與生成，形成概念意象。作為一種元認知策略，可以有效地提高學生的觀察比較能力、思辨對比能力、自學反思與抽象概括能力。

數學知識是一個嚴格的演繹系統，但是在現有的教學中，往往為了學習的需要把這個系統分割成一個單元一個課時一個內容來展開。所以，我們需要引導學生構造數學的圖譜來促進自我認知的完善，把所學概念、公式、法則、規律融會貫通，系統整理其內在聯系，讓數學知識結成網，讓學生在不斷地聯系中發展思維，形成結構化、系統化的思維。這就需要整體架構，系統整理，凸顯體系。現以“平面圖形的面積”為例。

復習中先讓學生對平面圖形面積計算進行梳理，小組交流后形成了初步的結構，課堂上請學生對以下問題進行交流與反思完善。

（1） 這些平面圖形的面積怎樣計算？公式是什么？

（2）面積又是怎樣推導的？在推導過程中運用了哪些策略？（平移、旋轉、化曲為直等轉化策略）

（3）你為什么將這些平面圖形這樣來安排層次，它們之間有哪些聯系？你認為哪個圖形最關鍵？

（4）用你喜歡的方式把知識之間的聯系整理出來。

在這組問題中抓了兩個主要問題讓學生體驗：其一是結構關聯，即為什么是這樣來梳理，結構基礎是什么。其二是結構關聯中運用了什么策略，即可以怎樣來梳理聯系。在變與不變中幫助學生利用結構關聯的思維方式組織認識，在比較分析中實現對平面圖形計算的整體架構。（附：學生整理的圖式）

數學學習的過程是一個知識學習的過程，同時也是數學思維的形成過程。在數學課堂上，教師要密切關注學生的思維過程，大膽嘗試“譜圖”——讓學生的“思維可視化”的教學實踐模式，積極鼓勵并指導學生運用多種呈現方式將思維的過程展現出來，進而促進其抽象思維到形象思維的再現、分析思維和直覺思維的理性融合。

（作者單位：江蘇省鹽城市實驗小學）

（責任編輯：楊強）