簡(jiǎn)論均值-條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）

李艷春

（吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130000）

數(shù)理研究

簡(jiǎn)論均值-條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）

李艷春

（吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130000）

近年來(lái)，在金融全球化和自由化以及資本市場(chǎng)不斷發(fā)展的背景下,越來(lái)越多的投資者加入到金融市場(chǎng)中,對(duì)于投資組合理論和方法的研究獲得了廣泛關(guān)注.金融風(fēng)險(xiǎn)研究成為了國(guó)內(nèi)外金融實(shí)務(wù)界、理論界共同關(guān)注的對(duì)象.條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(CVaR)是近幾年發(fā)展起來(lái)的金融風(fēng)險(xiǎn)量化工具，CVaR彌補(bǔ)了VaR的一些缺陷且滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)度量的標(biāo)準(zhǔn)，相比于VaR, CVaR能夠?qū)ξ膊匡L(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行很好的控制.本文主要介紹了均值-CVaR模型及其隱式解.

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值；條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值；置信水平；CVaR模型的隱式解

1 CVaR的概念與基本理論

CVaR(Conditional Value-at-Risk)，一般被譯為條件在險(xiǎn)價(jià)值或條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值.是指超過(guò)風(fēng)向價(jià)值（VaR）的損失的期望值，即最高的百分之(100(1-β))所損失的平均值.

CVaR基本定義[4]:

設(shè)x為決策向量，x∈X,為不確定因素的隨機(jī)向量,y∈Y,對(duì)每一個(gè)x，相應(yīng)y的損失函數(shù)是f(x,y)，那么f(x,y)不超過(guò)闕值ξ的概率為：

若置信水平為a,a∈(0,1),VaRa可表示為：

VaR表示的是最大損失大于或等于概率為(1-a)的最小損失值，而CVaR定義的是平均損失值,CVaRa可表示為：

根據(jù)定義不難得到：φa(x)≥ξa(x)可見(jiàn)，CVaR與VaR相比較，CVaR考慮了損失尾部的分布，是一個(gè)更謹(jǐn)慎的度量風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的方法.

2 模型介紹

2.1 均值-CVaR模型

由于正態(tài)分布下,通過(guò)兩個(gè)參數(shù)即方差和期望值就可以完全確定隨機(jī)變量的變化規(guī)律,所以，在收益率服從正態(tài)分布的條件下,預(yù)期收益率和投資的風(fēng)險(xiǎn)就可以通過(guò)這兩個(gè)參數(shù)加以描述[1][2].

假設(shè)資產(chǎn)回報(bào)率服從正態(tài)分布,則f(x,r)服從N(-xTR,σp2),從而VaRβ可表示為:

記H(β)=φ-1(β),β

即

CVaRβ意味著CVaR與β有關(guān),再記則

其中?(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,φ·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù).

在均值-方差模型中將σp2換為CVaR,則可得到如下均值-CVaR模型:

其中R0:投資者期望的投資收益率;

Rn=xTR=R0:投資組合的期望收益率;

R=(R1,R2,…,Rn)T:各資產(chǎn)的期望收益率.

2.2 均值-CVaR模型的隱式解

利用Lagrangian乘子法來(lái)解此模型.Lagrangian條件極值函數(shù)為[3]:

其中λ1,λ2為相應(yīng)的Lagrangian乘子.則的最優(yōu)解的一階條件為:

其中Ω為組合中各資產(chǎn)所構(gòu)成的協(xié)方差矩陣.由式知,

記∑-1=G(β)-1σpΩ-1.

記a=RT∑-1R,b=RT∑-1I,c=IT∑-1I,并整理得:

以下將在置信度β為95%的情況下,驗(yàn)證任一前沿證券組合的最優(yōu)解與n種資產(chǎn)的均值-CVaR模型的隱式解的關(guān)系,從而說(shuō)明該隱式解的有效性.

對(duì)于MV模型:

利用Lagrangian乘子法可得:

且

對(duì)于任意投資組合條件下,收益率的期望和標(biāo)準(zhǔn)差滿足

由于E(rn)和G(β)為常數(shù),所以上述兩式同解,即

從而可得:

結(jié)論

對(duì)于均值-CVaR模型的有效前沿存在,當(dāng)且僅當(dāng)G(β)＞且最小的CVaR為

由于

顯然由

則可得到以上結(jié)論.

均值—CVaR,研究的是超出損失時(shí)的對(duì)應(yīng)條件期望值,體現(xiàn)的是由小概率事件引起巨大損失的事件.在計(jì)算投資組合風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值時(shí),它比其他的傳統(tǒng)方法更加平穩(wěn)嚴(yán)謹(jǐn).所以,此方法更符合目前社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)狀.

實(shí)際計(jì)算過(guò)程中,要建立一個(gè)資產(chǎn)組合是非常復(fù)雜的過(guò)程,投資者要全面考慮各個(gè)方面的影響因素.但是,相較于之前的一些計(jì)算方法,基于CVaR方法的優(yōu)化模型,從精確度和計(jì)算范圍上來(lái)講，具有更好的實(shí)用性、穩(wěn)定性和易操作性[3][7].

〔1〕陳學(xué)華.風(fēng)險(xiǎn)管理的方法及其簡(jiǎn)化模型[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究,2006（4）.

〔2〕王建華,李楚霖.投資組合優(yōu)化統(tǒng)一模型[J].系統(tǒng)工程理論方法應(yīng)用,2002（1）：136-137.

〔3〕徐雅娉.基于均值一的投資組合優(yōu)化模[D].青島大學(xué)，2011.

〔4〕杜紅軍.VaR和CVaR風(fēng)險(xiǎn)值的估計(jì)和計(jì)[D].華中科技大學(xué)，2006.

〔5〕劉曉星.基于CVaR的投資組合優(yōu)化模型研究商業(yè)研究[J].商業(yè)研究,2006（09）:15-18.

〔6〕劉曉煥,袁廣信.基于CVaR的開(kāi)放式基金市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的研究[J].中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2009(2).

〔7〕劉俊山.基于風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度理論的VaR與CVaR的比較研究[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究,2007(3).

O211；F830.9

A

1673-260X（2017）08-0001-02

2017-06-18