“類比推理”在高中數學教學中的實踐應用淺析

張久鵬

[摘 要] 從某種意義上講，類比推理法對于高中學生數學思維的拓展以及解題能力的提高均具有相當重要的意義，本文從高中數學教學中類比推理法的教學現狀入手，結合其意義與實踐應用闡明了高中類比推理法的有效應用策略.

[關鍵詞] 類比推理法；狀態；含義；有效應用；注意事項

在運用高中數學類比推理進行解題時，結構的相似性大多會在解題時展現其輔助作用，以這種結構相似為基礎的類比教學在數學解題實踐過程中其靈活性的確是顯而易見的. 不過，高中數學體現出的抽象性和系統性大家有目共睹，因此，高中數學教師應該引領學生對教材中的知識點進行理解與再創造，將類比推理作為引領學生對數學學科抽象性和系統性建立深刻認知和理解的有效手段.

[?] “類比推理”在現今高中數學教學中呈現的狀態

類比推理教學雖已為廣大數學教師接納并運用，但其在數學教學中產生的作用仍沒有被深入挖掘，大致有如下表現：第一，大部分高中數學教師對于類比推理教學的意義及必要性認識不夠，因此，在具體教學實踐中教師運用得不多或者運用不夠恰當；第二，因為類比推理教學的不夠系統使得教師在應用時相對隨機、任意；第三，應試教育使得教師在數學教學時更加側重于解題，相對疏忽知識點的類比推理. 事實上，高中數學中的數列、幾何等知識都需要類比推理來促使學生對抽象知識的認知與理解.

[?] “類比推理”在高中數學教學中所產生的積極意義

根據兩個事物之間某些相似的屬性進行分析、推理，繼而得出另一些相似的屬性，我們一般稱之為類比推理.從本質上來說，其實類比推理就是找出小同事物之間的相似點或者相同點，并以此為基礎分析、推理得出相似或者相同的其他觀點，它對于新知識與新規律的發現和歸納具有積極的意義. 當然，類比推理必須在原有知識這一基礎上并結合相關情境進行知識的遷移. 也就是說，類比推理從本質上講包含了新舊知識之間的融會貫通與分類比較的含義，是尋找新舊知識之間相似與相同特性的過程.

高中數學是一門具備嚴格教學目標的嚴謹學科，傳統的教學模式隨著新課改的不斷推進與深入已經不能適應現今教學的需求與學生的需求，諸如類比推理之類的新的教育理念應該在高中數學課堂的教學中大放異彩，這不僅能使學生的智力得到進一步的開發，還能使得學生分析、歸納等數學思考能力得到進一步的提升和發展.

[?] “類比推理”在高中數學教學中的實踐應用案例分析

1. “類比推理”在函數與方程中的實踐應用

對于高中學生來說，函數是需要學生具備較強抽象思維能力且難度較大的一部分內容，學生對于函數知識內涵的掌握往往都會覺得有難度，因此，教師應該恰當運用類比推理將高中函數知識科學地引導給學生以幫助學生深入全面地理解函數知識.

例1：已知兩個圓：x2+y2=1①與x2+（y-3）2=1②，則由①式減去②式可得上述兩個圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到一個更一般的命題，而已知命題應成為所推廣命題的一個特例，推廣的命題為__________.

解：根據對稱性這一性質可以知道兩圓的半徑是相等的，而對稱軸必須在圓心處于不同位置時才會產生，因此，推廣的命題可以填為：設圓方程（x-a）2+（y-b）2=R2與（x-c）2+（y-d）2=R2（a≠c或b≠d），由①-②，得兩圓的對稱軸方程.

2. “類比推理”在等差與等比數列中的實踐應用

等差數列與等比數列是高中階段數列的兩大模型，教師在這兩個概念的教學中首先可以引導學生從等差數列的“差”與等比數列的“比”進行類比，然后再引導學生運用代數的運算將等比數列的相關性質與等差數列的不同之處進行研究類比得出.

通過類比可以發現，等差數列與等比數列之間的命題有其對應性規律可循：等差數列各公式中的加、減、乘、除與等比數列中乘、除、乘方、開方存在著有趣的一一對應的關系.

例2：有{an}這一等差數列，如果其中a10=0，那么a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n<19并且n∈N*）. 對以上性質進行類比推理，在等比數列{bn}中，如果有b9=1，那么會有怎樣的等式存在呢？

解：等差數列{an}中，a10=0，所以a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=2a10=0，所以a1+a2+…+a19=19a10=0，即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1.

又a1=-a19，a2=-a18，…，a19-n=-an+1，

所以a1+a2+…+an=-a1+a2+…+a19-n（n<19且n∈N*）.

同理，等比數列{bn}中，因為b9=1，

所以b1·b17=b2·b16=…=bn·b18-n=bn+1·b17-n=b=1，所以b1·b2·…·b17=b=1. 與等差數列進行類比可得b1·b2·…·bn=··…·=b1·b2·…·b17-n（n<17且n∈N*）.

3. “類比推理”在立體幾何中的實踐應用

高中的立體幾何對學生的空間想象能力與思維能力均提出了極高的要求，因此，教師在立體幾何內容的教學中可以引導學生對立體幾何與學生已經掌握的平面幾何的知識進行類比分析，使得學生能夠盡快掌握并靈活應用新的立體幾何的知識. 比如，將平面幾何中的“點”“線”與立體幾何中的“線”“面”進行類比，將“平面角”與“二面角”進行類比，使學生在諸如此類的類比教學中由二維順利向三維過渡，使得學生學習立體幾何的畏難情緒逐步消失，使得學生的空間想象能力與數學思維力得到培養和發展.

例3：勾股定理是平面幾何這一知識體系中一個重要且常用的定理：如果△ABC的兩條邊AB，AC之間互相垂直，那么AB2+AC2=BC2. 由平面向空間進行拓展，通過勾股定理的類比推理，對三棱錐的側面積與底面積之間的關系進行探究可得：若三棱錐A-BCD的ABC，ACD，ABD這三個側面中每兩個側面都互相垂直，那么___________.

解：教師引導學生由“用直線截正方形”得直角三角形這一行為進行引申，繼而將其與“用平面截正方體”建立類比關系這一行為完全是情理之中的，那么，勾股定理中邊的平方在類比關系中與三棱錐的各個面的面積又存在哪些關系呢？

（a）2=a2，所以x2+y2+z2=α2成立，因此，是我們所求答案.

4. “類比推理”在平面向量和解析幾何中的實踐應用

具備數形結合特征的向量與解析幾何在位置與數量關系上均有較多相似的地方，解析幾何中的很多問題都可以從向量中得到啟發并與之進行類比，從而使得幾何問題由推理轉化成了數量化的運算問題.

例4：有+=1這樣一個橢圓，其焦點記作F1，F2，該橢圓上有一動點，記作P，試討論∠F1PF2為鈍角時點P橫坐標的取值情況.

分析：教師首先可以引導學生從“∠F1PF2為鈍角”來進行思考，∠F1PF2是零角、銳角、直角、鈍角、平角的情況都有可能存在，此特征與向量夾角很相似，所以，教師繼續引導學生將∠F1PF2類比為，兩向量的夾角，而題中所給的已知條件“∠F1PF2為鈍角”可以類比為，兩向量夾角為鈍角這一情況，最終使得點P橫坐標取值范圍轉化成向量，的數量積為負值這一問題（向量反向平行除外）.

[?] 高中數學運用“類比推理”教學的注意事項

類比推理在高中數學的教學中雖然十分重要，但教師在運用類比推理進行教學充分發揮其積極作用的同時還是需要注意一些問題的：第一，教師始終應該注重以學生為起點并結合事物的相似性抓住類比推理的精髓組織教學；第二，為了更加準確地把握事物之間的共同之處，教師應該隨時提升自身的知識儲備以達到有效利用類比推理提升教學效率的目的；第三，始終落實以學生為主體的教學理念并巧妙運用類比推理引導學生進行難題的解決，使得學生產生積極的學習興趣和導向并真正掌握類比推理運用的方法和技巧，不斷地提升學習的熱情和數學學習的能力.

從數學教學這個角度出發，類比推理在解題技巧的豐富以及學生數學思維的發展上均具備無比重要的意義，但是不管它在數學學習中的作用如何，教師都應該理性地面對類比推理在數學學習中的實踐應用，理性面對其自身存在的局限性，理性面對類比推理適用的知識和層面，在不斷實踐中檢驗類比推理的實效性，引導學生解題中不生搬硬套，使學生學會靈活運用這一方法有針對性地解決問題，堅持具體問題具體分析的針對性原則，從而長期培養學生對數學學習的興趣以及解題的技巧與方法.

[?] 結束語

類比推理在很大程度上是借助原有的知識體系與規律為未知難題的解決尋求突破口的，而且，從某種意義上來講，類比推理在解題中取得的效果是一般方法無法比擬的，對于學生發散性思維的鍛煉以及數學學習興趣的培養作用巨大. 因此，教師始終應該貫徹學生為學習主體的教育理念并勇于開拓，將類比推理在數學教學中的作用充分發揮出來，使得學生形成規范、科學的類比推理的解題方法與技巧.