基于板梁理論的工字形鋼—混組合雙跨連續梁彎扭屈曲分析

張文福, 鄧 云, 趙文艷, 李明亮, 劉迎春, 計 靜,李 洋, 許 慶, 宋旭旭

( 1. 南京工程學院 建筑工程學院,江蘇 南京 211167； 2. 東北石油大學 黑龍江省防災減災工程與防護工程重點實驗室,黑龍江 大慶 163318; 3. 東北石油大學 土木建筑工程學院,黑龍江 大慶 163318； 4. 安徽建筑大學 土木工程學院，安徽 合肥 230601 )

基于板梁理論的工字形鋼—混組合雙跨連續梁彎扭屈曲分析

張文福1,2, 鄧 云2,3, 趙文艷2,3, 李明亮2,3, 劉迎春2,3, 計 靜2,3,李 洋2,3, 許 慶4, 宋旭旭4

( 1. 南京工程學院 建筑工程學院,江蘇 南京 211167； 2. 東北石油大學 黑龍江省防災減災工程與防護工程重點實驗室,黑龍江 大慶 163318; 3. 東北石油大學 土木建筑工程學院,黑龍江 大慶 163318； 4. 安徽建筑大學 土木工程學院，安徽 合肥 230601 )

基于板梁理論，對均布荷載作用下的雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續梁進行彎扭屈曲分析，推導截面連續梁發生彎扭屈曲時的臨界彎矩公式，運用ANSYS有限元軟件對10根雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續梁進行特征值屈曲分析，對比屈曲臨界彎矩的數值解與理論解，討論換算截面法的適用性。結果表明：理論解與有限元解之間具有較高的吻合度，最大誤差不超過3%。換算截面法的計算結果與實際結果差別較大，并不適用于工字形鋼—混組合連續梁彎扭屈曲問題的計算。

組合結構； 彎扭屈曲； 板梁理論； 雙跨鋼—混組合梁； 換算截面法

0 引言

鋼—混組合梁作為組合結構體系中重要橫向承重構件，在建筑及橋梁結構等領域具有廣闊的應用前景。相較于鋼筋混凝土結構，它具有自重輕、抗震性能良好、可減小構件截面尺寸、節約基礎造價等優點；與鋼結構相比，具備提高構件的穩定性、增強抗火性和耐久性等優勢[1-3]。

人們研究鋼—混組合梁的抗彎、抗剪力學性能。聶建國等完成2根鋼—混組合梁加寬混凝土T梁構件的抗彎力學性能試驗，組合梁與混凝土T梁呈現典型的彎曲破壞，構件的抗彎承載力等于單個混凝土T梁與組合梁抗彎承載力之和，加寬后的構件整體性能良好[4]。為研究腹板開口的鋼—混組合連續梁的抗剪性能，Li L等進行5根腹板開口的鋼—混組合連續梁和1根腹板不開口的鋼—混組合連續梁試驗，腹板開口不僅降低組合截面連續梁的剛度和極限承載力，而且引起腹板開口區域的鋼梁橫截面與混凝土板之間的垂直剪力重分布。對于腹板開口的鋼—混組合連續梁，在腹板開口區域不滿足平面假設，連續梁將以開口區域的混凝土板發生剪切破壞而失效，剪切承載力成為控制設計的關鍵因素[5]。

人們研究鋼—混凝土組合梁的畸變屈曲。Henriques D等提出一種計算精確且高效的廣義梁理論(GBT)有限元，研究鋼—混組合梁抵抗負彎曲時的畸變屈曲和局部屈曲問題，證明有限元的正確性[6]。Zhou W等研究負彎矩作用下工字形鋼—混組合梁下翼緣的等效橫向約束剛度和扭轉約束剛度，提出鋼—混組合梁臨界屈曲應力公式，并通過ANSYS有限元軟件驗證方法的正確性[7]。基于彈性地基壓桿方法和一種考慮腹板參與的Svensson壓桿改進模型，葉繼紅等研究鋼—混組合連續梁彈性約束畸變屈曲，推導兩種變軸力穩定計算表達式，借助有限元軟件分析該方法用于鋼—混組合連續梁約束畸變屈曲的求解精度，并引入等效彎矩假設，簡化連續組合梁彈性約束畸變屈曲的計算[8]。基于里茲能量法與彈性板件理論，劉沐宇等推導鋼—混組合梁腹板彈性轉動約束系數計算公式，以及邊界彈性轉動約束的腹板剪切臨界屈曲應力計算公式[9]。基于試驗，劉洋等建立組合梁非線性有限元模型，研究鋼—混組合梁在負彎矩作用下的畸變屈曲問題，對組合梁畸變屈曲及受彎承載力進行參數分析，提出考慮影響參數，以及側向彎曲屈曲、側向彎扭屈曲兩種失穩模式的受彎承載力計算公式[10]。

目前，關于鋼—混組合梁在彎扭屈曲方面的研究較少。筆者對雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續梁的彎扭屈曲問題進行理論和有限元分析。首先基于板梁理論，在均布荷載作用下，推導雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續梁發生彎扭屈曲時的臨界彎矩總勢能表達式；然后利用勢能駐值原理，求得雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續梁臨界彎矩的解析解，利用1stOpt軟件得到臨界彎矩計算公式，討論換算截面法的適用性問題；最后采用ANSYS有限元軟件建立10根組合截面雙跨連續梁模型，進行特征值屈曲分析，并對比屈曲臨界彎矩的數值解與理論解。

1 總勢能推導

1.1 板梁理論及問題描述

板梁理論是對薄壁構件的組合扭轉和彎扭屈曲問題提出的[11-18]。理論采用三條假設：剛周邊假設、板變形假設和梁變形假設，即分別采用Kirchhhoff薄板理論和Euler梁理論，定量描述板件平面外變形和平面內變形，其中板件平面外變形遵守Vlasov的剛周邊假設。采用板梁理論，求解均布荷載作用下雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續梁的彈性彎扭屈曲問題(見圖1)，其截面尺寸及變形見圖2。其中，L為連續梁總跨度，q為均布荷載，bf為混凝土翼緣寬度，tf為翼緣厚度，h為上、下翼緣形心間距離，hw為腹板凈高，tw為腹板厚度，s為截面剪切中心，u為截面的側向位移，θ為截面的扭轉角。

圖1 均布荷載作用下連續梁受力分析Fig.1 Force analysis of continuous beams subjected to uniform load

圖2 模型截面尺寸及截面彎扭變形Fig.2 Section dimension and its flexural-torsional deformation of the model

1.2 勢能表達式

(1)腹板應變能。腹板應變能由平面外應變能和平面內應變能組成，由于腹板內彎曲的應變能值為零，則腹板的應變能為

(1)

(2)上、下翼緣應變能。上翼緣平面內彎曲的應變能為

(2)

上翼緣平面外彎曲的應變能為

(3)

(3)上、下翼緣的總應變能為

(4)

若令

(5)

為截面繞弱軸的抗彎剛度，

(6)

為約束扭轉剛度(或翹曲剛度)，

(7)

為自由扭轉剛度，則總應變能可表達為

(8)

(4)總初應力勢能為

(9)

(5)荷載勢能為

(10)

式中：a為荷載作用位置參數，由截面剪心s的y坐標值減去橫向荷載作用點的y坐標值得到。

(6)總勢能為應變能、初應力勢能及荷載勢能之和，即

(11)

利用分部積分得：

(12)

將式(12)代入式(11)得

(13)

式(13)是以雙變量(u,θ)表達的雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續梁彈性彎扭屈曲的總勢能。在簡支梁的情況下，可證式(13)與經典的Bleich能量方程一致。此時

(14)

若引入關系

(15)

則式(12)轉化為單變量形式總勢能

(16)

2 臨界彎矩解析解

根據單變量總勢能方程(16)，以傅里葉級數形式表達模態試函數[19-20]，對均布荷載作用下的雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續梁的彈性彎扭屈曲問題進行求解。首先選取模態試函數

(17)

式中：θ(z)為連續梁發生屈曲時截面的扭轉角；Bm為無量綱待定系數(廣義坐標)。

(18)

屈曲方程式可表達為

(19)

式(19)是一個關于量綱一的屈曲彎矩的二次特征值問題。若引入狀態變量，可將它轉換為線性特征值問題(推導略)，則式(19)的臨界屈曲彎矩可解。

(20)

3 換算截面法適用性

3.1 換算截面法

在鋼—混組合梁的抗彎計算中，換算截面法被廣泛使用，它將多種材料的問題轉換成一種材料的問題，計算過程由繁變簡，然而等效截面法并不適用于梁的屈曲分析[21-22]。

換算截面法的基本思想是以材料的拉壓剛度作為換算依據，則

E1A1=E2A2,

(21)

若保持截面混凝土翼緣的厚度不變，只換算寬度，則換算后的等效翼緣寬度為

(22)

式中：bse為等效鋼翼緣寬度；bc為混凝土翼緣寬度；Ec、Es分別為混凝土和鋼的彈性模量。

3.2 適用性

根據工字形組合梁的約束扭轉剛度計算公式，若僅考慮翼緣的約束扭轉剛度，則有

(23)

兩者比值為

(24)

式中：(EIω)se為等效的截面繞弱軸的抗彎剛度。

由于混凝土的彈性模量取為30～38 GPa，鋼材彈性模量取為206 GPa，則由式(24)求解可知，組合梁實際的約束扭轉剛度是換算截面法算得的約束扭轉剛度的28.5～45.8倍。若采用換算截面法，將嚴重低估鋼—混組合梁的約束扭轉剛度，進而低估臨界彎矩。

4 驗證

4.1 有限元模型

采用shell63單元模擬雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續梁。該單元為彈性殼，具有彎矩和薄膜特性，每個節點6個自由度，即沿x、y、z方向的平動和繞x、y、z方向的轉動。翼緣采用強度等級為C40的混凝土，彈性模量為32.5 GPa，泊松比為0.2；鋼腹板的彈性模量為206 GPa，泊松比為0.3；腹板和翼緣采用共用節點聯結。劃分網格時，沿腹板高度劃分8個單元，沿長度方向劃分240個單元，沿翼緣寬度劃分8個單元。在有限元模型中，使用“CERIG”命令建立約束方程實現剛周邊假設，以保證截面各部分協同轉動(見圖3)。邊界條件需要模擬夾支，即限制A、B、C三個支座沿x、y軸方向的平動，限制支座A沿z軸方向的平動(見圖4)。

圖3 有限元模型剛周邊模擬Fig.3 Simulation of peripheral rigidity hypothese in the finite element model

4.2 有限元模型驗證

基于文獻[23]的橫向均布荷載作用下簡支梁的臨界彎矩公式進行驗證，表達式為

(25)

式中：a為荷載作用位置；βy為不對稱截面系數；Jk為自由扭轉常數。

根據文獻[20]且考慮雙軸對稱截面，式(25)可化簡為量綱一的表達式

(26)

圖4 有限元模型邊界條件模擬Fig.4 Simulation of boundary conditions in the finite element model

將式(5-7)代入式(26)求解橫向均布荷載作用下簡支梁的臨界彎矩，與有限元模型求解的臨界彎矩進行對比(見表1)。由表1可見，有限元模型求解的臨界彎矩與式(26)求解的臨界彎矩接近，最大相對誤差為0.77%，說明有限元模型是可靠的。

表1 式(26)與有限元模型求解的臨界彎矩

4.3 理論公式驗證

基于有限元模型，選取10根雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續梁構件進行有限元特征值屈曲分析，參數見表2。

表2 組合連續梁截面參數

彈性特征值屈曲分析步驟：首先對模型進行靜力分析，獲得模型的幾何剛度矩陣；然后進行特征值屈曲求解，得到模型的一階屈曲模態，進而得到雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續梁的屈曲荷載。模型的一階屈曲模態和相應的截面變形見圖5。

求解10根雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續梁的量綱一的屈曲臨界彎矩的有限元解和理論解(見表3)。根據表3結果，式(20)求解的量綱一的屈曲臨界彎矩(即理論解)與有限元模型求解的之間最大相對誤差為2.83%，說明理論公式的正確性。

4.4 換算截面法適用性驗證

對換算截面后的雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續梁進行特征值屈曲分析，結果見表4。由表4可見，有限元求解的組合截面屈曲臨界彎矩是相應換算截面的5～12倍，且隨著量綱一的扭轉剛度參數的增大，兩者差距整體上逐漸增大。相較于板梁理論，換算截面法大幅低估工字形鋼—混組合雙跨連續梁的臨界彎矩，導致設計方案不經濟。因此，換算截面法并不適用于屈曲問題分析。

圖5 一階屈曲模態和截面變形Fig.5 First-order buckling modes and section deformations

K量綱一的屈曲臨界彎矩臨理論解(式(20))有限元解相對誤差/%荷載q/(kN·m-1)1．5078．748．562．13141．391．2069．139．050．9461．221．0059．609．580．2231．270．86310．149．862．83525．290．86110．1510．18-0．3317．940．75310．7610．85-0．7711．200．69011．2611．101．38242．290．57512．5612．520．34131．770．49314．0314．07-0．2779．951．50715．6515．76-0．6952．48

表4 組合截面與換算截面的有限元解

5 結論

(1)基于板梁理論，推導雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續梁的能量表達式，并給出相應的量綱一屈曲臨界彎矩公式。

(2)運用ANSYS有限元軟件，分析10根雙軸對稱工字形鋼—混組合雙跨連續梁，得到發生彎扭屈曲時的臨界彎矩有限元解，將有限元解與理論解進行對比，最大相對誤差為2.83%，說明理論公式的正確性，也證明板梁理論是一種簡便且實用的新工程理論。

(3)采用換算截面法計算屈曲問題過于保守，導致設計方案不經濟，不適用于工字形鋼—混組合連續梁的屈曲分析。

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2017-05-25；編輯：任志平

國家自然科學基金項目(51178087,51578120)；中國石油科技創新基金研究項目(2016D-5007-0608)；東北石油大學校青年科學基金項目(NEPUQN2014-25)；南京工程學院科研基金項目(YKJ201617)；國家自然科學基金東北石油大學校培育基金項目(NEPUPY-1-16)；東北石油大學校級研究生創新科研項目(YJSCX2016-031NEPU)；黑龍江省教育廳科研專項經費東北石油大學優勢科研方向凝練基金項目(2016YSFX-02)；黑龍江省大學生創新創業訓練重點項目(201610220015)

張文福(1965-)，男，博士，博士生導師，教授，主要從事結構工程、工程抗風、抗震及抗火方面的研究。

鄧 云, E-mail: dynepu@163.com

TU398+.9

A

2095-4107(2017)04-0107-09

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2017.04.012