間斷伽遼金方法在可壓縮流數值模擬中的應用研究綜述

呂宏強, 張 濤, 孫 強, 陳建偉, 秦望龍(南京航空航天大學 航空宇航學院, 江蘇 南京 210016)

間斷伽遼金方法在可壓縮流數值模擬中的應用研究綜述

呂宏強*, 張 濤, 孫 強, 陳建偉, 秦望龍
(南京航空航天大學 航空宇航學院, 江蘇 南京 210016)

本文對近三十年來，國內外對于高精度數值方法研究中的熱點——間斷伽遼金方法在可壓縮流數值模擬方面的應用研究進行了綜述。首先對間斷伽遼金方法的基本概念和特點作了簡單介紹，然后對應用該方法解決雙曲型及橢圓型問題的發展歷程進行了回顧，并重點梳理了其在計算流體力學領域可壓縮流數值模擬方面的應用發展以及研究現狀，之后對該方法在對應的網格技術、激波捕捉方法、湍流流動模擬以及計算量需求方面目前仍然存在的研究難點和可能的發展趨勢做出了總結和分析。最后給出了間斷伽遼金方法在可壓縮流數值模擬中的若干應用實例。

間斷伽遼金方法；高精度方法；計算流體力學；可壓縮流；彎曲網格

0 引 言

近些年來，高精度數值方法的研究成為計算流體力學(Computational Fluid Dynamics, CFD) 領域研究中的前沿熱點問題之一。我們通常所說的高精度方法是指空間精度為三階或三階以上的高精度數值格式，相比于傳統的空間二階精度的有限體積格式，高精度方法具有空間精度高，數值分辨率高，數值耗散小的優點。

目前計算流體力學領域高精度方法主要可以分為三大類：高精度有限差分(Finite Difference, FD)方法[1-3]，高精度有限體積(Finite Volume, FV)方法[4-9]和高精度有限元類 (Finite Element, FE)方法[10-17]。高精度有限差分法，通常為在結構化網格下一種高效而易于實施的高精度格式，由于其計算量小，且易于達到較高數值精度的特點，常用于簡單幾何區域的復雜流動直接數值模擬。這一類型的高精度格式一般只能用于結構化的笛卡爾網格，對于處理復雜幾何區域則會帶來一定的困難，但近年來鄧小剛等[18]做了大量的工作將該方法推廣到復雜幾何網格上；高精度有限體積法是通過選取目標單元及其周圍的相鄰單元作為模板，構造滿足一定條件的重構高階多項式來達到高階精度的目的，比較有代表性的高精度有限體積格式有：有限體積型加權本質無振蕩格式[4-5]、高精度k-exact有限體積格式[6]和近年來的緊致高階精度有限體積法[7-9]。這類方法理論上可以處理任意網格和較為復雜的幾何區域，能夠保證格式的守恒性且具有良好的數值穩定性。然而傳統的高精度有限體積法的不足之處在于其模板的非緊致性，即模板不僅包含目標單元及其有公共邊的鄰居單元，通常還需要包含其鄰居單元的相鄰單元。因此，該方法在處理邊界和三維問題方面則存在一定困難。緊致高階精度有限體積法克服了這一問題，不過需要采用隱式方法求解重構方程。第三種高精度方法以間斷伽遼金方法(Discontinuous Galerkin Method，DGM)為代表，通過提高相應單元上的解函數多項式的次數，增加相應單元上解函數的自由度(Degree of Freedom, DoF)來提高空間精度，這類方法中其他有代表性的方法還包括：譜體積方法(Spectral Volume, SV)[11-12]，譜差分方法(Spectral Difference, SD)[13-15]，通量重構方法(Flux Reconstruction, FR)[16]和修正過程重構方法(Correction Procedure via Reconstruction, CPR)[17]。間斷伽遼金方法具有易于處理任意網格和復雜幾何區域的能力，且易于實現高階精度，格式構造的緊致性導致這類方法更適合做大規模的并行和自適應計算。正因為這些優勢，使得間斷伽遼金方法得到了計算流體力學、計算電磁學領域等諸多學者的廣泛關注，成為高精度格式研究的熱點之一。 本文將對間斷伽遼金方法的基本思想和理論發展歷程做出概述，并重點介紹在可壓縮流CFD領域國內外對該方法的發展以及研究現狀。本文也將給出部分將該方法應用于CFD領域的實例。最后，對間斷伽遼金方法中仍然存在的問題和可能的發展空間做出分析和展望。

1 間斷伽遼金方法基本概念

高精度間斷伽遼金方法是有限元方法的一種，該方法的基本思路，是利用分段連續的多項式空間來近似表達偏微分方程組的解。以一個典型的一階雙曲守恒型方程系統為例：

將計算域劃分為互不重疊的單元集合Ωv=∪kΩvk，定義Φh,p是單元Ωvk上直到p階的多項式函數張成的函數空間，p≥0且為整數，設單元內守恒變量的近似Uh∈Φh,p。在每個單元內，對方程兩邊同時乘以測試函數φh，在計算域內積分，進行分部積分整理后，得到原方程(1)的弱解形式為：

式(2)中，對于邊界通量H=F(Uh)·n，與有限體積方法中的處理方法類似，可以采用一個相容的數值通量來代替，而在邊界上對守恒變量不做連續性要求。如此便得到了p階間斷伽遼金方法的離散格式。

因此間斷伽遼金方法結合了有限元方法和有限體積方法的優點：在單元內部同傳統的連續有限元方法一樣，使用多項式逼近來獲得高階精度；在單元邊界上借鑒有限體積法，通過解決Riemann問題來實現逆風格式。實際上，當p=0時，間斷伽遼金方法即退化為傳統的有限體積方法。

除高精度外，間斷伽遼金方法還有很多其他吸引人的特點：

1) 能夠保持單元平均值意義下守恒性，最重要的是具有良好的穩定性和收斂性[19]；

2) 通過改變插值多項式的階數，很容易延拓到高階(p>2)，并且允許不同的單元采用不同的階數，即p-adaptivity[20]；

3) 能夠處理復雜的幾何外形和物理邊界條件，甚至可以直接處理含有懸掛點的網格[21-22]，因此極易實現網格自適應，即h-adaptivity[20-23]。另外方法本身適用于各種類型的網格；

4) 利用該方法進行計算時，具有緊致性，單元只與相鄰單元有數據交換，很容易實現大規模并行計算且并行效率很高；

因此，高精度間斷伽遼金方法在計算流體力學領域得到廣泛的嘗試。

2 間斷伽遼金方法的歷史和現狀

2.1 國際發展與現狀

在應用間斷伽遼金方法處理雙曲型方程的研究理論方面，1973年，Reed和Hill[10]在關于求解中子輸運方程(時間無關的線性雙曲型方程)問題的論文中首次在間斷伽遼金方法中引入了逆風格式。1982年，Chavent和Salzano[24]首先在間斷伽遼金方法中引入Godunov數值通量求解了非線性雙曲型問題，將間斷伽遼金方法從求解線性問題延伸到求解非線性雙曲型問題。在20世紀末，Cockburn和Shu等[25-30]對用間斷伽遼金方法和顯式時間積分方法求解非線性雙曲型問題的研究取得了重大突破，成功地建立了著名的龍格-庫塔間斷伽遼金(RKDG)方法。最初始的RKDG有限元方法采用Shu和Osher[31]提出的顯式TVD二階龍格-庫塔格式，隨后他們將該方法在時間和空間上都發展到高階精度。同一時期，Allmaras[32]和Giles[33]采用二階精度間斷伽遼金方法求解了二維歐拉方程，他們將van Leer的moments限制器從一維線性波動方程拓展到二維歐拉方程，在每個單元內部計算單元平均和單元梯度平均值從而對單元變量進行線性重構。

而應用間斷伽遼金方法求解橢圓型方程或求解NS方程的粘性項則存在相當的困難，諸多學者對此展開了研究。Arnold[34]和Wheeler[35]于20世紀80年代在間斷伽遼金方法中引入了內罰函數(interior penalty)，這種方法隨后被廣泛應用于求解擴散問題。1999年，Oden和Babuska[36]等提出了一種求解擴散問題新格式，其優點是沒有引入額外的過渡變量，但理論上該格式必須在2階以上才穩定。21世紀初，Bassi和Rebay[37-40]提出了經典的混合方法(mixed formulation)，將二階方程寫成多個一階方程的形式，然后采用間斷伽遼金方法對一階系統進行數值離散。Bassi和Rebay提出的第一種混合方法(BR1格式)計算模板較大，不緊致，且采用隱式方法計算時穩定性會受到影響。為了克服這些缺點，他們又在BR1格式基礎上進行了修改，得到了穩定緊致的BR2格式。Cockburn和Shu[41-42]則在同一時期對混合方法思想進行了一般化分析，得出了當地間斷伽遼金方法(Local Discontinuous Galerkin methods, LDG)。但是在多維度數值計算時，當地間斷伽遼金方法同樣存在模板大、不緊致的問題，于是之后Persson和Peraire[43]對該方法進行了修改，提出了緊致間斷伽遼金方法(Compact Discontinuous Galerkin methods, CDG)，在保留當地間斷伽遼金方法優點的同時使得該格式緊致。Arnold等[44]也引入了內罰函數和混合方法的統一分析框架，對各種格式進行誤差分析。近年來，由Liu 和Yue[45-46]提出的一類直接間斷伽遼金方法 (Direct DG, DDG) 逐漸受到了學者的關注，DDG 方法的導出過程不需要引入臨時變量將原有的二階偏微分方程分解為一階偏微分方程組，而是直接基于DG方法的弱形式構造單元界面處的粘性數值通量。

在上述數值格式研究成果的基礎上，間斷伽遼金方法迅速在氣動可壓縮流數值模擬方面引發了廣泛關注和嘗試。如前文所述，在計算流體力學的應用中，間斷伽遼金方法結合了傳統有限元方法和有限體積方法的優點，因此相比于傳統的有限元方法，間斷伽遼金方法由于容易實現逆風格式，很容易對對流項主導的流動問題進行離散求解；相比于有限體積方法，高階間斷伽遼金方法達到高精度所需要的計算量大大減少。得益于這些優勢，間斷伽遼金方法成為了目前計算流體力學領域極具潛力的高精度方法之一。

在相應的網格技術方面，Diosady等于2007年左右對間斷多重網格技術及線性預處理方法進行了研究[47-48]。同時Lubon等則對適用于間斷伽遼金方法的網格進行了研究，發展了物面彎曲技術并采用間斷伽遼金方法進行了RANS及DES數值模擬[49-51]。 2007年，Fidkowski在其博士論文中發展了網格切割技術，并采用間斷伽遼金方法求解了二維Navier-Stokes方程[52]。隨后其又在間斷伽遼金方法上發展了網格自適應技術及網格變形方法[53-55]。Oliver研究了二維自適應高階間斷伽遼金方法，結合Spalart-Allmaras一方程湍流模型對湍流流動進行了數值仿真[56-58]。Li Wang在博士論文中對二維間斷伽遼金方法的氣動優化問題、網格自適應問題及高階時間積分方法進行了研究[59-62]，近年來其采用間斷伽遼金方法求解了三維RANS方程及麥克斯韋方程并得到了較好的數值結果，同時其對SUPG方法也在進行研究[63-65]。Burgess采用自適應間斷伽遼金方法對二維湍流流動進行了數值模擬，并對湍流方程加速求解技術進行了研究[66-69]。2011到2014年，Bassi等牽頭一項歐盟高精度方法工業化應用項目(IDIHOM)[70]，吸引了來自歐洲各地的學者，繼續推進高階網格處理技術以及間斷伽遼金方法數值求解技術。

在間斷伽遼金方法的可壓縮流求解技術方面，Bassi和Rebay等于1997年采用間斷伽遼金方法求解了Euler方程和Navier-Stokes方程[37-39]之后，又對湍流模型的求解進行了研究，于2005年采用k-ω兩方程模型求解了雷諾平均Navier-Stokes (Reynolds-Averaged Navier-Stokes，RANS)方程[40]。隨后該團隊又將間斷伽遼金方法拓展到DES及不可壓縮流動領域[71-72]。Landmann在其博士論文中發展了并行高階間斷伽遼金方法并求解了二維Navier-Stokes方程及RANS方程[73-74]。2010年左右，Persson等研究了動網格技術，將間斷伽遼金方法應用于兩相流及撲翼飛行的數值仿真[75-77]。Wang等研究了CPR-DG有限元方法并求解了二維和三維Navier-Stokes方程，最近又將其拓展到RANS-LES混合方法的求解[78-81]。Hartmann等[82-86]研究了SST兩方程湍流模型和激波捕捉技術在間斷伽遼金方法上的應用，采用間斷伽遼金方法對二維和三維復雜外形的流動進行了數值求解。 值得注意的是，很多學者提出并發展了一類重構型和混合型的間斷伽遼金方法。這一類方法的基本思想是在DG方法的框架下，借鑒DG方法的優勢，通過重構方式在原有DG解函數自由度的基礎上，重構高階自由度從而達到高階精度的目的。van Leer 等提出并發展了一類重構DG方法(Recovery DG, RDG)[87]。Dumbser等將DG方法和高精度有限體積方法統一到同一PnPm框架下，提出了一類PnPm方法[88]。之后，Luo[89-95]等在成熟的有限體積求解器基礎上發展了另一類重構間斷伽遼金方法(Reconstructed Discontinuous Galerkin Method)，并對隱式LES方法進行了初步探究。

2.2 國內發展與現狀

國內間斷伽遼金方法研究起步相對較晚，但在近十幾年得到了越來越多的科研工作者在應用研究方面的關注。目前廈門大學、南京航空航天大學、上海理工大學、北京航空航天大學、西北工業大學、中國空氣動力研究與發展中心、北京應用物理與計算數學研究所等學校和研究機構都對間斷伽遼金方法開展了相關研究。2005年，蔚喜軍和張鐵[19]采用RKDG有限元方法求解了二維可壓縮Euler方程，并與差分方法的計算結果進行了比較，證明了間斷伽遼金法的高精度特性和在處理復雜邊界問題上的優勢。隨后趙國忠等將該方法拓展到拉格朗日坐標系下并求解了二維氣動方程組[96-98]。近年來，邱建賢、朱君等將著名的加權本質無振蕩(Weighted Essentially Non-Oscillatory, WENO)格式作為限制器應用于間斷伽遼金方法，并求解了兩相流等流動問題[99-104]。2006年左右，呂宏強等采用間斷伽遼金方法求解了面接觸彈性流體動力潤滑問題，最高階數達到13階，并成功應用了hp-adaptivity技術，用極少的計算代價得到了高精度的數值結果[105-106]。近年來，其團隊研究了針對高階間斷伽遼金方法的高階彎曲網格生成方法、網格自適應方法，以及基于間斷伽遼金方法和Moro[107]的修正S-A模型的RANS和DES求解方法，并將CFD領域的間斷伽遼金方法應用于時域電磁場數值模擬領域[108-113]。2010年左右，陳二云等將間斷伽遼金方法應用于彈尾超聲速噴流計算問題及氣動聲學問題中[114-116]。同時，閻超、于劍、姜振華等對間斷伽遼金方法中的間斷捕捉和Navier-Stokes方程進行了研究，并采用Baldwin-Lomax零方程湍流模型求解了二維流動問題[117-122]。郝海兵、李喜樂等也對高階間斷伽遼金方法的限制器及Baldwin-Lomax零方程湍流模型進行了研究，求解了二維流動問題及三維Euler方程[123-124]。賀立新、張來平[125-130]等發展了DG/FV混合方法，以較少的內存需求得到了與間斷伽遼金方法相同的求解精度。程劍和楊小權等[131-132]人成功地實施了一類新型直接間斷伽遼金方法用于求解粘性可壓縮NS和RANS方程，取得了很好的計算效果。

總的來說，目前國際上對于間斷伽遼金方法的理論分析、高效求解方法，以及相應的網格技術(如物面高階擬合、自適應方法、動網格、變形網格方法等)的研究都很廣泛。并且，很多當前的研究工作都已發展到了三維湍流流動模擬階段，許多正在向RANS-LES混合方法以及一些跨學科方向(如計算電磁學、多學科優化、計算聲學)邁進。

3 間斷伽遼金方法的研究難點及挑戰

盡管間斷伽遼金方法已經取得了相當的成果，但目前該方法的研究中仍存在著許多難點：

1) 高精度間斷伽遼金方法一般應用于較為稀疏的網格，但是稀疏網格對于復雜幾何外形的表達精度會對模擬結果的精度產生很大的影響，而在湍流流動模擬中，該方法對網格質量更為敏感，高效通用的高階物面擬合以及高階網格處理技術是間斷伽遼金方法的研究難點之一；

2) 高階間斷伽遼金方法在處理間斷問題時(例如激波)一般需使用限制器抑制數值振蕩，然而在實際應用中，特別是定常流動的求解計算過程中，使用限制器會影響殘差的收斂性，造成殘差收斂困難；

3) 采用高階間斷伽遼金方法數值求解帶湍流模型的RANS仍然是一個值得繼續深入探索的問題，目前的相關研究顯示，湍流模型會導致迭代的穩定性和魯棒性不強；

4) 高精度間斷伽遼金方法中的數值積分策略以及隱式時間格式的采用較同樣網格量下的傳統方法會產生較大的計算量及內存存儲需求且通常需要求解大型的稀疏線性系統。

很多研究者對這些問題做出了努力并且提出了一些較為有效的解決方案，但仍然存在很大的優化和進步空間。

3.1 適用于間斷伽遼金方法的網格技術

由于間斷伽遼金方法的高階精度特點，在使用該方法進行計算時，如果采用過密的網格，將會帶來巨大的計算量和冗余的精度。然而采用稀疏網格進行計算時，傳統的分段線性網格無法對彎曲的邊界進行精準的表達。Bassi[37]、Krivodonova[133]等在采用間斷伽遼金方法進行流場的數值模擬時都發現，物面的表述精度會對模擬結果的精度產生非常大的影響，甚至會引起計算無法收斂的問題。于是利用高階多項式來精準表達物面幾何信息的方法被引入，并且被證明對計算結果的改善十分有效[133]。Lubon等[51]則發展了適用于三維四面體網格單元的壁面彎曲修正方法。 但是彎曲網格的方法并不總是有效，例如存在厚度很小的邊界層網格時，彎曲的物面有可能與外層網格交叉，產生負體積。為了解決該問題，Landman[74]博士發展了多層四邊形網格彎曲的方法避免網格單元出現負體積。Persson[134]等采用拉格朗日固體平衡方程使邊界彎曲信息向外單元傳播，通過全局變形達到平衡。Li Wang等則通過CAPRI方法得到三維物體的真實物面信息，然后根據線彈性理論求解各向同性線彈性方程得到全局變形后的網格點坐標[64]。呂宏強等發展了基于求解線性彈性方程的網格高階彎曲方法[135]。秦望龍等[136]則采用了網格結塊的方法，將多個網格單元聚合成高階有限元單元，利用高階網格單元來對物面進行擬合，并且不會出現交叉和重疊。

盡管上述方法都被證明十分有效，但這些方法的復雜程度都較高，通用性也有待檢驗，更通用、更魯棒、更簡單高效的高階網格處理方法，仍然處在發展之中。 另一方面，諸如傳統CFD方法中的動網格、重疊網格、滑移網格及變形網格等網格技術由于前述的物面擬合的難點，這些方法在間斷伽遼金方法中的應用存在額外的困難，相關研究也并不多。

3.2 間斷問題的處理與激波捕捉

由于間斷伽遼金方法在單元交界面上對變量不做連續性強制要求，并且采用數值通量來包容間斷，所以實際上該方法可以不加處理地解決一些含有弱間斷解的問題[20]。但是當變量的強間斷落入單元之中時，插值多項式函數無法對其進行準確的高階表達，進而引發數值振蕩甚至發散。為此，在間斷伽遼金方法中引入適當的限制器是有必要的。

Shu等采用當地投影的方法抑制數值振蕩[26-28]。Luo和Xia[90-92]等采用WENO和HWENO格式結合重構間斷伽遼金方法對間斷問題進行了數值求解。邱建賢、朱君[99-104]等也將WENO格式作為限制器應用于間斷伽遼金方法。

另一類人工黏性的思想也被引入。Persson[138]等采用級數展開思想捕捉間斷區域，通過在流動變量間斷的單元內添加人工黏性求解了激波問題。在其基礎上，Barter[139]等引入了基于偏微分方程(PDE-based)的人工黏性激波捕捉方法，Nguyen[140]等采用速度的散度來表征流場的壓縮特性，從而確定單元內部所需添加的人工黏性的數值大小。此外，Bassi和Rebay[141]等在2009年提出了一種新的激波捕捉人工黏性添加方法。該方法通過檢測壓力梯度添加人工黏性，人工黏性函數則通過考慮單元間無黏數值通量跳躍和單元內無黏數值通量法向分量得出。

然而上述諸多對數值振蕩進行抑制的方法，都會或多或少地帶來更多的數值耗散和色散，引起數值精度的損失，抑制振蕩的效果也不一而足，在實際應用中，特別是定常流動的求解計算過程中，使用限制器還會破壞殘差的收斂性，造成殘差收斂困難。該方面的研究空間依然很大。

3.3 湍流流動數值模擬

盡管湍流流動的機理和理論仍處在研究當中，但是經過研究者的長期摸索，已發展出了一系列被廣泛應用的湍流模型，例如一方程Spalart-Allmaras湍流模型、兩方程k-ω湍流模型及兩方程SST模型。而在實際計算中，湍流方程的計算變量在網格分辨率不夠的單元內會出現或短暫出現非連續項。如前文所述，對于間斷伽遼金方法，過多的網格將帶來巨大的計算量，此時間斷伽遼金方法對于網格質量也更加敏感。而由于在單元內通過多項式插值實現高精度格式，間斷伽遼金方法又很難對非連續項進行表述。這會導致數值求解的振蕩，從而影響計算收斂甚至引發發散。

大多數將間斷伽遼金方法應用于湍流流動模擬的學者，都對湍流模型方程進行了修正，以使得計算過程能夠穩定和魯棒。但是這些修正的合理性和有效性都需要更深層次的理論與實際檢驗，新的修正方法或者模型也有待提出。近年來，一大批學者也正在嘗試將間斷伽遼金方法拓展到分離渦模擬(DetachedEddySimulation,DES)、大渦模擬(LargeEddySimulation,LES)及直接數值模擬(DirectNumericalSimulation,DNS)計算當中。

3.4 如何降低存儲需求以及計算量

盡管高性能計算設備的發展日新月異，但是常規的高性能設備仍然無法滿足大規模的間斷伽遼金方法的計算量要求。

高精度間斷伽遼金方法中通常采用數值積分策略來求解積分項，需要在每個單元內逐個求取積分點上的數值并求和。但是隨著近似多項式階數的提高，積分點的數目迅速增加，高階間斷伽遼金方法的計算量也迅速提高，一些學者為此提出了積分無關方法[145]，大大減少了由于積分點數量帶來的計算量。

在采用顯式方法進行計算時，僅需存儲右端殘值

項，存儲量為(Ndegr×Netol)×Nelem，其中Ndegr是單元變量的自由度個數，Netol是方程個數，Nelem是網格單元數。但是在采用高精度方法求解大尺度流動問題時，顯式時間積分方法的時間步長比傳統顯式方法的時間步長還要小，極大影響了收斂速率。因此，我們只能選擇穩定性不受時間步長限制的隱式時間格式，很多學者對隱式間斷伽遼金方法進行了研究[48,90,146-147]。而采用隱式方法計算時，不僅需要保存右端殘值項，往往還需對雅可比矩陣進行保存，該矩陣規模為(Ndegr×Netol×Nelem)2。可見雅可比矩陣的存儲規模遠大于右端殘值項。

4 間斷伽遼金方法的應用舉例

4.1 三維帶凸起管道流動

采用三維帶凸起管道流動對三維歐拉方程程序進行精度驗證。該問題為內流問題，來流條件為Ma∞=0.5。管道的長、寬和高分別為3、0.5 和0.8，管道下表面x=-1.5到x=1.5之間存在凸起，該凸起的函數描述為y=0.0625e-25x2。采用歐拉方程進行計算，管道底面設置為滑移邊界條件，兩側設置為對稱邊界條件，其余面設置為特征邊界條件。文中采用四套連續加密的網格進行數值計算，網格點數由疏到密分別為6×3×2、11×5×3、21×9×5和41×17×9(圖1)。網格均采用結塊二階網格進行數值計算。

(a) Grid 1 (b) Grid 2 (c) Grid 3 (d) Grid 4

圖1 三維帶凸起管道流動計算網格
Fig.1 Mesh for three-dimensional tube with protuberance computation

圖2、圖3和圖4分別給出了四套網格上不同階數情況下計算得到的密度云圖，壓力云圖及馬赫數云圖結果。橫向對比為網格加密，縱向對比為階數提高。可以發現，計算結果隨著網格加密或者計算階數的提高變得越來越光滑。在相對稀疏的網格上采用高階方法即可得到較好的數值結果。

表1給出了本算例的數值精度計算結果。由于本算例為等熵流動，與二維圓柱繞流算例一樣，文中采用熵增的L2誤差作為誤差計算的標準。從計算結果可以看出，該算例誤差為O(hp+1)，基本達到了預期的精度。圖5三維帶凸起管道流動問題精度測試給出了本算例的數值誤差-網格尺寸曲線及數值誤差-自由度曲線，可以看出，本文發展的三維DG有限元方法計算程序基本達到了格式的預期計算精度。采用高階方法進行計算，數值誤差下降的速率比低精度更快。在同等自由度情況下對光滑流場進行計算時，采用高階方法產生的數值誤差比低階方法更小，驗證了高階方法在光滑流場計算中的優勢。圖6三維帶凸起管道流動流場計算結果為最密的網格上計算得到的馬赫數云圖及Z=0截面的壓力系數Cp的分布。可以看出，流場的計算結果較為光滑，截面得到的壓力系數分布較為對稱，驗證了文中三維DG歐拉方程計算程序的可靠性。

圖2 四套網格上的計算密度云圖Fig.2 Density contours on four mesh types

圖3 四套網格上的計算壓力云圖Fig.3 Pressure contours on four mesh types

圖4 四套網格上的計算馬赫數云圖Fig.4 Mach number contours on four mesh types

表1 三維帶凸起管道流動問題的精度驗證Table 1 Accuracy analysis for three-dimensional tube with a protuberance

(a) 數值誤差—網格尺寸

(b) 數值誤差—自由度

(a) 馬赫數云圖

(b) 截面壓力系數分布

4.2 二維圓柱繞流模擬

4.2.1 高雷諾數圓柱繞流非定常DES模擬

計算來流參數為Ma∞=0.2，Re=3×106，第一層網格高度為8×10-6，y+≈1，物理時間步長無量綱后取值為Δt*=Δt×a/D=0.2。計算區域X方向[-8D,15D]，Y方向[-8D,8D]，物面布點僅有36個，網格數總量為1105，其中結構網格834個單元。在此雷諾數下可以認為圓柱尾部分離流動已經變為湍流分離。圖7為圓柱繞流計算網格。

(a)

(b)

圖8為升力系數、阻力系數隨時間的變化，都表現出了良好的周期性。因為二維圓柱沒有三維圓柱展向流動，所以非定常流場穩定以后變化幅值為固定值。

如圖9所示，將五階精度(DG_p4)結果取七個周期計算結果平均后的平均壓力系數、摩擦系數分布與Achenbach[151]的實驗結果進行了對比，兩者雷諾數略有差別，但總體趨勢吻合程度較好；與Travin[152]基于有限體積法的三維DES結果和Nyugen[153]基于DG的二維DES和二維URANS的結果進行了對比，兩者計算的的網格量分別為41萬、1.8萬。Nyugen雖然也采用了DG方法，但是只達到了P2階數，也就是三階空間精度，本文則達到了五階空間精度。因為雷諾數較高時，圓柱會存在展向間的流動，二維和三維計算結果會有所差異。但是相比Nyugen的結果，本文結果在尾部流動區域結果更趨向合理。摩擦系數和三維DES計算結果也十分接近，尾部流動分離區域模擬結果也更加接近實驗值。即使在稀疏網格下，隨著階數提高精度增加，高階間斷有限元法依然可以對分離流動做到極佳的模擬。對比Nyugen的三階精度計算結果，本文通過提高階數的方法，相比其提高網格數帶來的精度提高效果要更加顯著。

(a) CL～t

(b) CD～t

(a)

(b)

從圖10中也可以看出，在p1時候，尾跡區沒有分離，在進入p2以后,流場發生了巨大的改變，開始出現明顯的周期性的脫落渦。體現了精度提高對流場模擬結果的改善是巨大的。并且隨著階數的繼續提高，脫落渦的耗散也被降低，在遠場區域也越發明顯。

圖11為二維URANS計算結果，采用的是SA模型。在采用RANS模型進行計算時，因為湍流模型原因，抑制了尾部的分離流動，未形成周期性的渦街，整體流動轉變為定常流動。而在采用二維DES時，可以對圓柱繞流的分離進行準確的捕捉，說明在二維情況下，對長度尺度的修改依然是有效的，有效提高了對分離流動的模擬。

(a) 1階DG

(b) 2階DG

(c) 3階DG

(d) 4階DG

圖11 二維URANS計算結果Fig.11 Numerical result obtained using two- dimensional URANS

4.2.2 低雷諾數網格自適應圓柱繞流模擬

我們采用非結構自適應網格方法對卡門渦街問題進行了模擬，遠場來流Ma=0.1,α=0,Re=150。初始網格如圖12所示，計算域僅包含1114個單元，并且物面僅有12個網格點。

(a) The global view

(b) The local view

圖13為p4在初始網格上得到的卡門渦街渦量圖，從圖中可以看出由于初始網格比較稀疏，得到的渦量云圖不是很光滑并且渦的量級都比較小，我們可以認為在稀疏網格條件下，即使采用高階格式依然得不到高精度的流場數值解，主要原因在于大尺度的網格導致的數值耗散。

(a) The global view

(b) The local view

圖14給出了網格自動加密后的卡門渦街渦量云圖。由于在邊界層和渦街區域的網格自動加密，數值耗散降低，數值結果變得非常光滑。并且應當注意到，網格自適應過程中生成了包含大量懸掛點、尺度差別懸殊的非結構網格，但是結果并沒有對間斷伽遼金方法的穩定性和精度產生嚴重的影響，證明了間斷伽遼金方法能夠有效地處理具有復雜形狀、質量參差不齊的網格。

(a) The global view

(b) The local view

圖15為隨時間變化卡門渦街脫落，網格自動在渦局部進行加密，在渦量很小的地方放粗的動態結果。對比圖16可以看出，由于卡門渦街是一個準定常問題，流場周期性變化，網格自適應后總量變化不大，驗證了自適應方法的可行性。

(a)

(b)

(c)

(d)

圖16 迭代過程中網格數量變化Fig.16 Number of elements during the iteration

圖17為物面加密后升力系數和阻力系數隨時間的變化，在表2中與參考文獻[154]進行了對比，可以看出加入自適應方法后，即使在很稀疏的初始網格條件下，依然可以得到高精度的數值解結果。

圖17 升力與阻力系數波動Fig.17 Variation of the lift and drag coefficient

CLamplitudeCDamplitudeCDmeanInitialmesh0．480．0201．21Adaptivity0．530．0271．33Ref．[154]0．520．0261．32

5 結 論

本文總結了自20世紀末期以來間斷伽遼金方法在可壓縮流數值模擬中的應用研究進展。首先，從間斷伽遼金方法的基本概念出發，集中介紹了間斷伽遼金方法在可壓縮流計算中的國內外研究歷史和現狀；其次，較為詳細地列舉分析了間斷伽遼金方法在實際應用中面臨的挑戰和困難；最后，給出了數個典型的算例，展示了間斷伽遼金方法在高精度、網格自適應等方面的優勢。

經過近二十年的發展，間斷伽遼金方法數值求解Euler方程、N-S方程方面有了顯著的進步，出現了大量成功的嘗試和令人鼓舞的結果，高階情況下其數值結果表現出來的高精度特性尤其令人印象深刻。然而高階離散帶來的高度非線性也顯著增加了迭代求解方面的難度和對彎曲網格精度方面的要求。目前高效、魯棒的求解復雜流場情況下高階離散非線性系統是研究的熱點問題。相信隨著相關技術的進一步發展，高階間斷伽遼金方法會成為復雜流場高精度數值模擬領域的有力工具。

[1]Deng X, Zhang H. Developing high-order weighted compact nonlinear schemes[J]. Journal of Computational Physics, 2000, 165(1): 22-44

[2]Liu X, Zhang S, Zhang H, et al. A new class of central compact schemes with spectral-like resolution I: Linear schemes[J]. Journal of Computational Physics, 2013, 248(5): 235-256

[3]Liu X, Zhang S, Zhang H, et al. A new class of central compact schemes with spectral-like resolution II: Hybrid weighted nonlinear schemes[J]. Journal of Computational Physics, 2013, 248(5): 235-256

[4]Jiang G S, Shu C W. Efficient implementation of weighted ENO schemes[J]. Journal of Computational Physics, 1996, 126(1): 202-228

[5]Shu C W. Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws[M]. Institute for Computer Applications in Science and Engineering (ICASE), 1997

[6]Timothy J Barth. Recent developments in high order K-exact reconstruction on unstructured meshes[C]//31st Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, 1993

[7]Wang Q, Ren Y X, Li W. Compact high order finite volume method on unstructured Grids I: Basic formulations and one-dimensional schemes[J]. Journal of Computational Physics, 2016, 314: 863-882

[8]Wang Q, Ren Y X, Li W. Compact high order finite volume method on unstructured Grids II: Extension to two-dimensional Euler equations[J]. Journal of Computational Physics, 2016, 314: 883-908

[9]Wang Q, Ren Y X, Pan J, et al. Compact high order finite volume method on unstructured Grids III: Variational reconstruction[J]. Journal of Computational Physics, 2017, 337: 1-26

[10]Reed W H, Hill T R. Triangular mesh methods for the neutron transport equation[R]. Technical Report LA-UR-73-479, Los Alamos Scientific Laboratory, 1973

[11]Wang Z J, Liu Y. Spectral (finite) volume method for conservation laws on unstructured grids[J]. Journal of Computational Physics, 2004, 194(2): 716-741

[12]Wang Z J, Liu Y. Extension of the spectral volume method to high-order boundary representation[J]. Journal of Computational Physics, 2006, 211(1): 154-178

[13]Liu Y, Vinokur M, Wang Z J. Spectral difference method for unstructured grids I: Basicformulation[J]. Journal of Computational Physics, 2006, 216(2): 780-801

[14]Sun Y, Wang Z J, Liu Y. High-order multidomain spectral difference method for the Navier-Stokes equations[J]. Communications in Computational Physics, 2013, 2(2): 310-333

[15]Wang Z J, Liu Y, May G, et al. Spectral difference method for unstructured grids II: extension to the Euler equations[J]. Journal of Scientific Computing, 2007, 32(1): 45-71

[16]Allaneau Y, Jameson A. Connections between the filtered discontinuous Galerkin method and the flux reconstruction approach to high order discretizations[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2011, 200(49): 3628-3636

[17]Gao H, Wang Z J. A conservative correction procedure via reconstruction formulation with the Chain-Rule divergence evaluation[J]. Journal of Computational Physics, 2013, 232(1): 7-13

[18]Deng X, Mao M, Tu G, et al. Extending weighted compact nonlinear schemes to complex grids with characteristic-based interface conditions[J]. Aiaa Journal, 2012, 48(12): 2840-2851

[19]Yu X J, Zhou T. Discontinuous finite element methods for solving hydrodynamic equations[J]. Chinese Journal of Computational Physics, 2005, 232(1): 7-13. (in Chinese)蔚喜軍, 周鐵. 流體力學方程的間斷有限元法[J]. 計算物理, 2005, 22(2): 108-116

[20]Lu H Q. High-order finite element solution of elastohydrodynamic lubrication problems[D]. PhD thesis. Leeds: University of Leeds, 2006

[21]Cheng J, Shu C W. High order schemes for CFD: A review[J]. Chinese Journal of Computational Physics, 2009, 26(5): 633-655

[22]Sun Q, Lu H Q. A straightforwardhp-adaptivity strategy for shock-capturing with high-order discontinuous Galerkin methods[J]. Advances in Applied Mathematics & Mechanics, 2014, 6(1): 135-144

[23]SunQ, Lu H Q, Wu Y Z. Anh-adaptive discontinuous Galerkin method for laminar compressible Navier-Stokes equations on curved mesh[J]. Transactions of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2016, 33(5): 566-575

[24]Chavent G, Salzano G. A finite element method for the 1D water flooding problem with gravity[J]. Journal of Computational Physics, 1982, 42: 307-344

[25]Cockburn B, Shu C W. The Runge-Kutta local projectionp1-discontinuous Galerkin method for scalar conservation laws[J]. ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, 1991, 25(3): 337-361[26]Cockburn B, Shu C W. TVB Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for scalar conservation laws II: General framework[J]. Mathematics of Computation, 1989, 52: 411-435

[27]Cockburn B, Lin S Y, Shu C W. TVB Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws III: One dimensional systems[J]. Journal of Computational Physics, 1989, 84: 90-113

[28]Cockburn B, Hou S, Shu C W. Runge-Kutta local projection discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws IV: The multidimensional case[J]. Mathematics of Computation, 1990, 54: 545-581

[29]Cockburn B, Shu C W. The Runge-Kutta discontinuous Galerkin finite element method for conservation laws V: Multidimensional systems[J]. Journal of Computational Physics, 1998, 141: 199-224

[30]Cockburn B, Karniadakis G E, Shu C W. The development of discontinuous Galerkin methods[M]//Discontinuous Galerkin Methods. Springer Berlin Heidelberg, 2000: 3-50

[31]Shu C W, Osher S. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shockc apturing schemes[J]. Journal of Computational Physics, 1988, 77: 439-471

[32]Allmaras S R. A coupled Euler/Navier-Stokes algorithm for 2-D unsteady transonic shock/boundary-layer interaction[D]. PhD thesis. Massachusetts: Massachusetts Institute of Technology, 1989

[33]Allmaras S R, Giles M B. A second-order flux split scheme for the unsteady 2-D Euler equations on arbitrary meshes[R]. AIAA 1987-1119, 1987

[34]Arnold D N. An interior penalty finite element method with discontinuous elements[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1982, 19: 742-760

[35]Wheeler M. An elliptic collocation-finite element method with interior penalties[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1978, 15: 152-161

[36]Oden J T, Babuska, et al. A discontinuoushpfinite element method for diffusion problems[J]. Journal of Computational Physics, 1998, 146(2): 491-519

[37]Bassi F, Rebay S. High-order accurate discontinuous finite element solution of the 2D Euler equations[J]. Journal of Computational Physics, 1997, 138: 251-285

[38]Bassi F, Rebay S. A high-order discontinuous finite element method for the numerical solution of the compressible Navier-Stokes equations[J]. Journal of Computational Physics, 1997, 131: 267-279

[39]Bassi F, Rebay S. GMRES discontinuous Galerkin solution of the compressible Navier-Stokes equations[M]. Discontinuous Galerkin Methods. Springer Berlin Heidelberg, 2000: 197-208

[40]Bassi F, Rebay S. Discontinuous Galerkin solution of the Reynolds-averaged Navier-Stokes andk-ωturbulence model equations[J]. Computers & Fluids, 2005, 34(4-5): 507-540

[41]Cockburn B, Shu C W. The local discontinuous Galerkin method for time dependent convection-diffusion systems[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 1998, 35(6): 2440-2463

[42]Cockburn B, Shu C W. Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems[J]. Journal of Scientific Computing, 2001, 16(3): 173-261

[43]Peraire J, Persson P O. The compact discontinuous Galerkin (CDG) method for elliptic problems[J]. SIAM Journal on Scientific Computing, 2008, 30: 1806-1824

[44]Arnold D N, Brezzi F, Cockburn B, et al. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptical problems[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis, 2002, 39(5): 1749-1779

[45]Liu H L, Yue J. The direct discontinuous Galerkin (DDG) methods for diffusion problems[J]. SIAM J. Numer. Anal., 2009, 47: 675-698

[46]Liu H L, Yue J. The direct discontinuous Galerkin (DDG) method for diffusion with interface corrections[J]. Commun. Comput. Phys., 2010, 8: 541-564

[47]Diosady L. A linear multigrid preconditioner for the solution of the Navier-Stokes equations using a discontinuous Galerkin discretization[D]. Massachusetts: Massachusetts Institute of Technology, 2007

[48]Diosady L, Darmofal D. Discontinuous Galerkin solutions of the Navier-Stokes equations using linear multigrid preconditioning[R]. AIAA 2007-3942, 2007

[49]Lübon C, Kessler M, Wagner S, et al. High-order boundary discretization for discontinuous Galerkin codes[R]. AIAA 2006-2822, 2006

[50]Christian Lübon, Manuel Kessler, Siegfried Wagner. Turbulence modeling and detached eddy simulation with a high-order unstructured discontinuous Galerk code[A]. Andreas Dillmann, Gerd Heller, Michael Klaas, et al, New Results in Numerical and Experimental Fluid Mechanics VII[M], Berlin: Springer Berlin Heidelberg, 2010: 143-150

[51]Lubon C, Ke?ler M, Wagner S. A parallel CFD solver using the discontinuous Galerkin approach[A]. Siegfried Wagner, Matthias Steinmetz, Arndt Bode, et al. High Performance Computing in Science and Engineering[M], Berlin: Springer Berlin Heidelberg, 2009: 197-205

[52]Krzysztof J Fidkowski. A simplex cut-cell adaptive method for high-order discretizations of the compressible Navier-Stokes equations[D]. PhD thesis. Massachusetts: Massachusetts Institute of Technology, 2007

[53]Krzysztof J Fidkowski, David L Darmofal. An adaptive simplex cut-cell method for discontinuous Galerkin discretizations of the Navier-Stokes equations[R]. AIAA 2007-3941, 2007

[54]Steven M Kast, Krzysztof J Fidkowski. Output-based mesh adaptation for high order Navier-Stokes simulations on deformable domains[J]. Journal of Computational Physics, 2013, 252(1): 468-494

[55]Ceze M A, Fidkowski K J. Drag prediction using adaptive discontinuous finite elements[J]. AIAA Journal of Aircraft, 2014, 51(4): 1284-1294

[56]Oliver T, Darmofal D. An unsteady adaptation algorithm for discontinuous Galerkin discretizations of the RANS equations[R]. AIAA 2007-3940: 2007

[57]Oliver T A, Fidkowski K J, Darmofal D L. MultiGrid solution for high-order discontinuous Galerkin discretizations of the compressible Navier-Stokes equations[M]. Berlin: Springer Berlin Heidelberg, 2006

[58]Oliver T A. A high-order, adaptive, discontinuous Galerkin finite element method for the Reynolds-averaged Navier-Stokes equations[D]. PhD thesis. Massachusetts: Massachusetts Institute of Technology, 2008

[59]Wang Li. Techniques for high-order adaptive discontinuous Galerkin discretizations in fluid dynamics[D]. PhD thesis. Wyoming: University of Wyoming, 2009

[60]Wang L, Dimitri J Mavriplis. Implicit solution of the unsteady euler equations for high-order accurate discontinuous Galerkin discretizations[J]. Journal of Computational Physics, 2007, 225(2): 1994-2015

[61]Wang L, Mavriplis D J. Adjoint-basedh-padaptive discontinuous Galerkin methods for the compressible Euler equations[R]. AIAA 2009-0952, 2009

[62]Wang L, Mavriplis D J, Kyle Anderson W. Adjoint sensitivity formulation for discontinuous Galerkin discretizations in unsteady inviscid flow problems[J]. AIAA Journal, 2010, 48(12): 2867-2883

[63]Wang L, Kyle Anderson W. Adjoint based shape optimization for electromagnetic problems using discontinuous Galerkin methods[J]. AIAA Journal, 2011, 49(6): 1302-1305

[64]Wang L, Anderson W K, Erwin J T, et al. Solutions of high-order methods for three-dimensional compressible viscous flows[R]. AIAA 2012-2836, 2012

[65]Wang L, Anderson W K, Taylor Erwin, et al. High-order methods for solutions of three-dimensional turbulent flows[R]. AIAA 2013-0856, 2013

[66]Burgess N K. An adaptive discontinuous Galerkin solver for aerodynamic flows[D]. PhD thesis. Wyoming: University of Wyoming, 2011

[67]Burgess N K, Mavriplis D J. Robust computation of turbulent flows using a discontinuous Galerkin method[R]. AIAA 2012-0457, 2012

[68]Mavriplis D, Nastase C, Burgess N. Efficient solution techniques for discontinuous Galerkin discretizations of the Navier-Stokes equations on hybrid anisotropic meshes[R]. AIAA 2010-1448, 2010

[69]Burgess N K, Mavriplis D J. High-order discontinuous Galerkin methods for turbulent high-lift flows[C]//ICCFD7-4202, 2012

[70]IDIHOM: Industrialization of high-order methods-a top-down approach: results of a collaborative research project funded by the European union, 2010-2014[M]. Springer, 2015

[71]Bassi F, De Bartolo C, Hartmann R. A discontinuous Galerkin method for inviscid low Mach number flows[J]. Journal of Computational Physics, 2009, 228(11): 3996-4011

[72]Crivellini A, D’Alessandro V, Bassi F. A Spalart-Allmaras turbulence model implementation in a discontinuous Galerkin solver for incompressible flows[J]. Journal of Computational Physics, 2013, 241: 388-415

[73]Landmann B, Kessler M, Wagner S. A parallel, high-order discontinuous Galerkin code for laminar and turbulent flows[J]. Computers & Fluids, 2008, 37(4): 427-438

[74]Landmann B. A parallel discontinuous Galerkin code for the Navier-Stokes and Reynolds -averaged Navier-Stokes equations[D]. PhD thesis. Stuttgart: University of Stuttgart, 2008

[75]Persson P, Bonet J, Peraire J. Discontinuous Galerkin solution of the Navier-Stokes equations on deformable domains[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2009, 198(17): 1585-1595

[76]Peraire J, Drela M, Persson P. Implicit large eddy simulation of transition to turbulence at low Reynolds numbers using a discontinuous Galerkin method[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2011, 87: 232-261

[77]Willis D, Persson P. Multiple-fidelity computational framework for the design of efficient flapping wings[J]. AIAA Journal, 2014, 52(12): 2840-2854

[78]Gao H, Wang Z J, Huynh H T. Differential formulation of discontinuous Galerkin and related methods for the Navier-Stokes equations[J]. Communications in Computational Physics, 2013, 13(4): 1013-1044

[79]Zhou C, Wang Z J. An evaluation of implicit time integration schemes for discontinuous high order methods[R]. AIAA 2013-2688, 2013

[80]Yu Z, Wang J. Homotopy continuation for correction procedure via reconstruction-discontinuous Galerkin (CPR-DG) methods[R]. AIAA 2015-0570, 2015

[81]Zhu H, Fu S, Shi L, et al. A hybrid RANS-implicit LES approach for the high-order FR/CPR method[R]. AIAA 2016-1599, 2016

[82]Hartmann R. Adaptive discontinuous Galerkin methods with shock-capturing for the compressible Navier-Stokes equations[J]. Int. J. Numer. Meth. Fluids, 2006, 51(9-10): 1131-1156

[83]Hartmann R, Held J, Leicht T, et al. Discontinuous Galerkin methods for computational aerodynamics-3D adaptive flow simulation with the DLR PADGE code[J]. Aerospace Science and Technology, 2010, 14: 512-519

[84]Nigro A, Renda S, C. De Bartolo, et al. A high-order accurate discontinuous Galerkin finite element method for laminar low Mach number flows[J]. Int. J. Numer. Meth. Fluids, 2013, 72(1): 43-68

[85]Schoenawa S, Hartmann R. Discontinuous Galerkin discretization of the Reynolds-averaged Navier-Stokes equations with the shear-stress transport model[J]. J. Comput. Phys, 2014, 262: 194-216

[86]Renda S, Hartmann R, C. De Bartolo, et al. A high-order discontinuous Galerkin method for all-speed flows[J]. Int. J. Num. Meth. Fluids, 2015, 77(4): 224-247

[87]van Leer B, Lo M, van Raalte M. A discontinuous Galerkin method for diffusion based on recovery[C]//18th AIAA computational fluid dynamics conference. 2007: 4083

[88]Dumbser M, Valsara D S, Toro E F, et al. A unified framework for the construction of one-step finite volume and discontinuous Galerkin schemes on unstructured meshes[J]. Journal of Computational Physics, 2008, 227: 8209-8253

[89]Luo H, Luo L, Nourgaliev R, et al. A reconstructed discontinuous Galerkin method for the compressible Navier-Stokes equations on arbitrary grids[J]. Journal of Computational Physics, 2010, 229: 6961-6978

[90]Luo H, Ali A, Nourgaliev R, et al. A parallel, reconstructed discontinuous Galerkin method for the compressible flows on arbitrary grids[J]. Communication in Computational Physics, 2011, 9(2): 363-389

[91]Luo H, Xia Y, Li S, et al. A Hermite WENO reconstruction-based discontinuous Galerkin method for the Euler equations on tetrahedral grids[J]. Journal of Computational Physics, 2012, 231: 5489-5503

[92]Xia Yidong. A parallel implicit reconstructed discontinuous Galerkin method for compressible flows on hybrid grids[D]. PhD thesis. North Carolina State: North Carolina State University, 2013

[93]Xia Y, Frisbey M, Luo H, et al. A WENO Reconstruction-based discontinuous Galerkin method for compressible flows on hybrid grids[R}. AIAA 2013-0516, 2013

[94]Xia Y, Luo H, Nourgaliev R. An implicit reconstructed discontinuous Galerkin method based on automatic di_erentiation for the Navier-Stokes equations on tetrahedron grids[R]. AIAA 2013-0687, 2013

[95]Xia Y, Luo H, Frisbey M, et al. A set of parallel, implicit methods for a reconstructed discontinuous Galerkin method for compressible flows on 3D hybrid grids[J]. Computers & Fluids, 2014, 98: 134-151

[96]Wu Di, Yu Xijun. Adaptive discontinuous Galerkin method for Euler equations[J]. Chinese Journal of Computational Physics, 2010, 27(4): 492-500. (in Chinese)吳迪, 蔚喜軍. 自適應間斷有限元方法求解三維歐拉方程[J]. 計算物理, 2010, 27(4): 492-500

[97]Li Zhenzhen, Yu Xijun, Zhao Guozhong, et al. A RKDG finite element method for Lagrangian Euler equations in one dimension[J]. Chinese Journal of Computational Physics, 2014, 31(1): 1-10. (in Chinese)李珍珍, 蔚喜軍, 趙國忠, 等. RKDG有限元法求解一維拉格朗日形式的Euler方程[J]. 計算物理, 2014, 31(1): 1-10

[98]Li Zhenzhen, Yu Xijun, Jia Zupeng, et al. A new second-order bound-preserving conservative remapping algorithm in the ALE method[J]. Acta Aerodynamica Sinica, 2015, 33(6): 765-786. (in Chinese)李珍珍, 蔚喜軍, 賈祖朋, 等. ALE方法中一種新的二階保界守恒重映算法[J]. 空氣動力學學報, 2015, 33(6): 765-786

[99]Qiu J, Shu C W. Hermite WENO schemes and their application as limiters for Runge-Kutta discontinuous Galerkin method II: Two dimensional case[J]. Computers & Fluids , 2005, 34: 642-663

[100]Qiu J, Khoo B C, Shu C W. A numerical study for the performance of the Runge-Kutta discontinuous Galerkin method based on different numerical fluxes[J]. J. Comput. Phys., 2006, 212: 540-565

[101]Lu C, Qiu J, Wang R. A numerical study for the performance of the WENO schemes based on different numerical fluxes for the shallow water equations[J]. J. Comp. Math., 2010, 28: 807-825

[102]Zhu J, Zhong X, Shu C W, et al. Runge-Kutta discontinuous Galerkin method using a new type of WENO limiters on unstructured mesh[J]. J. Comput. Phys., 2013, 248: 200-220

[103]Zhu J, Qiu J. Adaptive Runge-Kutta discontinuous Galerkin methods with the modified ghost fluid method for solving the compressible two-medium flow[J]. J. Math. Study, 2014, 47: 250-273

[104]Zhu J, Zhong X, Shu C W, et al. Runge-Kutta discontinuous Galerkin method with a simple and compact Hermite WENO limiter[J]. Commun. Comput. Phys., 2016, 19: 944-969

[105]Lu H, Berzins M, Goodyer C E, et al. Adaptive high-order discontinuous Galerkin solution of elastohydrodynamic lubrication point contact problems[J]. Advances in Engineering Software, 2012, 45(1): 313-324

[106]Lu H Q, Berzins M, Goodyer C E, et al. High order discontinuous Galerkin method for elastohydrodynamic lubrication line contact problems[J]. Communications in Numerical Methods in Engineering, 2005, 21(11): 643-650

[107]Moro D, Nguyen N C, Peraire J. Navier-stokes solution using hybridizable discontinuous Galerkin methods[R]. AIAA 2011-3407, 2011

[108]Lu Hongqiang, Wu Yizhao, Zhou Chunhua, et al. High resolution of subsonic flows on coarse Grids. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2009, 30(2): 200-204.(in Chinese)呂宏強, 伍貽兆, 周春華, 等. 稀疏非結構網格上的亞聲速流高精度數值模擬[J]. 航空學報, 2009, 30(2): 200-204

[109]Xia Yidong, Wu Yizhao, Lu Hongqiang, et al. Parallel computation of a high-order discontinuous Galerkin method on unstructured grids[J]. Acta Aerodynanamica Sinica, 2011, 29(5): 537-541.(in Chinese)夏軼棟, 伍貽兆, 呂宏強, 等. 高階間斷有限元法的并行計算研究[J]. 空氣動力學學報, 2011, 29(5): 537-541

[110]秦望龍, 呂宏強, 伍貽兆. 基于混合網格的高階間斷有限元黏流數值解法[J]. 力學學報, 2013, 45(6): 987-991.Qin Wanglong, Lu Hongqiang, Wu Yizhao. High-order discontinuous Galerkin solution of N-S equations on hybrid mesh. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2013, 45(6): 987-991

[111]Qin Wanglong, Lu Hongqiang, Wu Yizhao. Discontinuous Galerkin solution of RANS equatioins on curved mesh[J]. Acta Aerodynanamica Sinica, 2014, 32(5): 581-586.(in Chinese)秦望龍, 呂宏強, 伍貽兆. 彎曲網格上的間斷有限元湍流數值解法研究[J]. 空氣動力學學報, 2014, 32(5): 581-586

[112]Sun Qiang, Lu Hongqiang, Wu Yizhao. Adaptive discontinuous Galerkin method to solve Euler equations based on high-order approximative boundary[J]. Acta Aerodynanamica Sinica, 2014, 32(5): 581-586.(in Chinese)孫強, 呂宏強, 伍貽兆. 基于高階物面近似的自適應間斷有限元法歐拉方程數值模擬[J]. 空氣動力學學報, 2015, 33(4): 446-453

[113]Lu Hongqiang, Xu Yida, Gao Yukun, et al. A CFD-based high-order discontinuous Galerkin solver for three dimensional electromagnetic scattering problems[J]. Advances in Engineering Software, 2015, 83: 1-10

[114]Chen Eryun, Ma Dawei, Le Guigao, et al. Discontinuous finite element method for supersonic flow of a missile propulsive jet[J]. Chinese Journal of Computational Physics, 2008, 25(6): 705-710.(in Chinese)陳二云, 馬大為, 樂貴高, 等. 間斷有限元法在彈尾超聲速噴流計算中的應用[J]. 計算物理, 2008, 25(6): 705-710

[115]Chen Eryun, Zhao Gaiping, Yang Ailing, et al. Higher-order nodal discontinuous Galerkin method in computational aeroacoustics[J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(3): 168-171.(in Chinese)陳二云, 趙改平, 楊愛玲, 等. 計算氣動聲學中的高階Nodal-DG 方法研究[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(3): 168-171

[116]Chen eryun, Li Zhi, Ma Zunling, et al. Nodal discontinuous Galerkin method for aeroacoustics and comparison with finite difference schemes[J]. Transactions of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2014, 31(3): 293-302

[117]Yan Chao, Yu Jian, Xu Jinglei, et al. On the achievements and prospects for the methods of computational fluid dynamics[J]. Advances in Mechanics, 2011, 41(5): 562-589.(in Chinese)閻超, 于劍, 徐晶磊, 等. CFD模擬方法的發展成就與展望[J]. 力學進展, 2011, 41(5): 562-589

[118]Yu jian, Yan Chao. Study on discontinuous Galerkin method for Navier-Stokes equations[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2010, 42(5): 962-969.(in Chinese)于劍, 閻超. Navier-Stokes方程間斷Galerkin有限元方法研究[J]. 力學學報, 2010, 42(5): 962-969

[119]Jiang Z, Yan C, Yu J. High-order discontinuous Galerkin solver on hybrid anisotropic meshes for laminar and turbulent simulations[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2014, 35(7): 799-812

[120]Jiang Z, Yan C, Yu J. Hermite WENO-based limiters for high order discontinuous Galerkin method on unstructured grids[J]. Acta Mechanica Sinica, 2012, 28(2): 241-252

[121]Jiang Z, Yan C, Yu J. High-order implicit discontinuous Galerkin schemes for unsteady compressible Navier-Stokes equations[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2014, 27(6): 1384-1389

[122]Yu J, Yan C, Jiang Z. On the use of the discontinuous Galerkin method for numerical simulation of two-dimensional compressible turbulence with shocks[J]. Science China-physics Mechanics & Astronomy, 2014, 57(9): 1758-1770

[123]Hao Haibing, Yang Yong, Zuo Suihan. Effectively applying high-order discontinuous Galerkin method(DGM) to solving 3-D Euler equations on unstructured grids[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2011, 29(1): 128-132.(in Chinese)郝海兵, 楊永, 左歲寒. 高階間斷Galerkin方法求解三維歐拉方程的研究[J]. 西北工業大學學報, 2011, 29(1): 128-132

[124]Li Xile, Yang Yong, Hao Haibing, et al. Exploring high-order accurate discontinuous Galerkin method for numerical solution of compressible reynolds-averaged Navier-Stokes(RANS) equations[J]. Journal of Northwestern Polytechnical University, 2012, 30(3): 407-411.(in Chinese)李喜樂, 楊永, 郝海兵, 等. 求解RANS 方程的高階間斷Galerkin 方法研究[J]. 西北工業大學學報, 2012, 30(3): 407-411

[125]He Lixing, Zhang Laiping, Zhang Hanxin, et al. Discontinuous Galerkin finite element method on 3D arbitrary elements[J]. Acta Aerodynamics Sinica, 2007, 25(2): 157-162.(in Chinese)賀立新, 張來平, 張涵信, 等. 任意單元間斷Galerkin有限元計算方法研究[J]. 空氣動力學學報, 2007, 25(2): 157-162

[126]He Lixin, Zhang Laiping, Zhang Hanxin, et al. A finite element/finite volume mixed solver on hybrid Grids[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2007, 39(1): 15-22.(in Chinese)賀立新, 張來平, 張涵信, 等. 間斷Galerkin有限元和有限體積混合計算方法研究[J]. 力學學報, 2007, 39(1): 15-22

[127]Liu Wei, Zhang Laiping, He Xin, et al. An implicit algorithm for discontinuous Galerkin method based on Newton/Gauss-Seidel iterations[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2012, 44(4): 792-796.(in Chinese)劉偉, 張來平, 赫新, 等. 基于Newton/Gauss-Seidel迭代的DGM隱式方法[J]. 力學學報, 2012, 44(4): 792-796

[128]Zhang Laiping, Liu Wei, He Lixin, et al. High-order hybrid DG/FV schemes based on “static re-construction” and “dynamic re-construction” for two-dimensional conservation law[J]. Chinese Journal of Computational Physics, 2011, 28(2): 309-319.(in Chinese)張來平, 劉偉, 賀立新, 等. 基于靜動態重構的高階DG/FV混合格式在二維非結構網格中的推廣[J]. 計算物理, 2011, 28(2): 309-319

[129]Zhang Laiping, Liu Wei, He Lixin, et al. A class of discontinuous Galerkin/finite volume hybrid schemes based on the “static re-construction” and “dynamic re-construction”[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2010, 42(6): 1013-1022.(in Chinese)張來平, 劉偉, 賀立新, 等. 基于靜動態混合重構的DG/FV混合格式[J]. 力學學報, 2010, 42(6): 1013-1022

[130]Zhang Laiping, Li Ming, Liu Wei, et al. Recent development of high order DG/FV hybrid methods[J]. Acta Aerodynamics Sinica, 2014, 32(6): 717-726.(in Chinese)張來平, 李明, 劉偉, 等. 基于非結構/混合網格的高階精度DG/FV混合方法研究進展[J]. 空氣動力學學報, 2014, 32(6): 717-726

[131]Cheng J, Yang X Q, Liu T G, et al. A direct discontinuous Galerkin method for 2D compressible Navier-Stokes equations on arbitrary grid[J]. Journal of Computational Physics, 2016, 327: 484-502

[132]Yang X Q, Cheng J, Wang C J, et al. A fast, implicit discontinuous Galerkin method based on analytical Jacobians for the compressible Navier-Stokes equations[R]. AIAA 2016-1326, 2016

[133]Krivodonova L, Berger M. High-order accurate implementation of solid wall boundary conditions in curved geometries[J]. J comput Phys, 2006, 211(2): 492-512

[134]Persson P O, Peraire J. Curved mesh generation and mesh refinement using Lagrangian solid mechanics[R]. AIAA 2009-949, 2009

[135]Lu Hongqiang, Cao Kai, Bian Lechao, et al. High-order mesh generation for discontinuous Galerkin methods based on elastic deformation[J]. Advances in Applied Mathematics and Mechanics, 2016, 8(4): 693-702

[136]Qin Wanglong. Numerical simulation of compressible flows using discontinuous Galerkin method[D]. PhD thesis, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2016.(in Chinese)秦望龍. 基于間斷Galerkin有限元方法的可壓縮流數值模擬[D]. PhD thesis. 南京航空航天大學, 2016

[137]Chen Jianwei. Simulation of unsteady flow based on high-order discontinuous Galerkin method[D]. Master thesis, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2016.(in Chinese)陳建偉. 基于高階間斷有限元法的非定常流場數值模擬[D]. Master thesis. 南京航空航天大學, 2017

[138]Persson P O, Peraire J. Sub-cell shock capturing for discontinuous Galerkin methods[R]. AIAA 2006-112, 2006

[139]Barter G E, Darmofal D L. Shock capturing with PDE-based artificial viscosity for DGFEM: Part I. Formulation[J]. Journal of Computational Physics, 2010, 229(5): 1810-1827

[140]Nguyen N C, Peraire J. An adaptive shock-capturing HDG method for compressible flows[R]. AIAA 2011-3060, 2011

[141]Bassi F, Crivellini A, Ghidoni A, et al. High-order discontinuous Galerkin discretization of transonic turbulent flows[R]. AIAA 2009-180, 2009

[142]Hartmann R, Held J, Leicht T, et al. Discontinuous Galerkin methods for computational aerodynamics-3D adaptive flow simulation with the DLR PADGE code[J]. Aerospace Science and Technology, 2010, 14: 512-519

[143]Nguyen N C, Persson P O, Peraire J. RANS solutions using high order discontinuous Galerkin methods[R]. AIAA 2007-0914, 2007

[144]Allmaras S R, Johnson F T, Spalart P R. Modifications and clarifications for the implementation of the Spalart-Allmaras turbulence model[C]//ICCFD7-1902, 2012

[145]Atkins H, Shu C W. Quadrature-free implementation of the discontinuous Galerkin method for hyperbolic equations[J]. AIAA Journal, 2013, 36(5): 775-782

[146]Zhou C, Wang Z J. An evaluation of implicit time integration schemes for discontinuous high order methods[R]. AIAA 2013-2688, 2013

[147]Schoenawa S, Hartmann R. Discontinuous Galerkin discretization of the Reynolds-averaged Navier-Stokes equations with the shear-stress transport model[J]. J. Comput. Phys, 2014, 262: 194-216

[148]Butcher J C. Numerical methods for ordinary differentialequations[M]. John Wiley & Sons, 2016

[149]Saad Y, Schultz M H. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems[J]. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 1986, 7(3): 856-869

[150]Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems[M]. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2003

[151]E A. Distribution of local pressure and skin friction around a circular cylinder in cross-flow up toRe=5×106[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1968, 34(34): 625-639

[152]Travin A, Shur M, Strelets M, et al. Detached-eddy simulationspast a circular cylinder[J]. Flow Turbulence & Combustion, 2000, 63(1-4): 293-313

[153]AIAA. RANS solutions using high order discontinuous Galerkin methods[C]//AIAA Aerospace Sciences Meeting & Exhibit Reno for Discontinuous Galerkin, 2007

[154]Inoue O, Hatakeyama N. Sound generation by a two-dimensional circular cylinder in a uniform flow[J]. Journal of Fluid Mechanics, 2002, 471: 285-314

[155]Fidkowski K J, Oliver T A, Lu J, et al.p-multigrid solution of high-order discontinuous Galerkin discretizations of the compressible Navier-Stokes equations[J]. Journal of Computational Physics, 2005, 207(1): 92-113.

Applications of discontinuous Galerkin method in numerical simulations of compressible flows: A review

LYU Hongqiang*, ZHANG Tao, SUN Qiang, CHEN Jianwei, QIN Wanglong
(College of Aerospace Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

In this paper, we give a review on the international and domestic applications of the promising high-order method(HOM), the discontinuous Galerkin method (DGM), in the numerical simulation of compressible flows over the last three decades. A brief introduction of the basic concepts and attributes of the DGM is given first. Then a historical survey on the DGM’s applications in solving hyperbolic and elliptical equations is presented, mainly concentrating on its development and research status in the field of computational fluid dynamics (CFD). Existing challenges and possible trends in the aspects of corresponding mesh technologies, shockwave capturing methods, turbulence simulation, and computational resource requirement are concluded and analyzed as well. Several examples of its applications in the simulation of compressible flows are provided at last.

discontinuous Galerkin method (DGM); high-order methods; computational fluid dynamics (CFD); compressible flows; curved mesh

0258-1825(2017)04-0455-17

2017-03-23;

2017-06-03

國家自然科學基金(11272152); 航空基金(20152752033)

呂宏強*(1977-), 山東萊陽人，教授，研究方向：高精度數值模擬，飛行器優化. E-mail: hongqiang.lu@nuaa.edu.cn

呂宏強, 張濤, 孫強, 等. 間斷伽遼金方法在可壓縮流數值模擬中的應用研究綜述[J]. 空氣動力學學報, 2017, 35(4): 455-471.

10.7638/kqdlxxb-2017.0051 LYU H Q, Zhang T, Sun Q, et al. Applications of discontinuous Galerkin method in numerical simulations of compressible flows: A review[J]. Acta Aerodynamica Sinica, 2017, 35(4): 455-471.

V211.3

A doi: 10.7638/kqdlxxb-2017.0051