基于離散伴隨方程求解梯度信息的若干問題研究

黃江濤, 劉 剛, 周 鑄,*, 高正紅, 黃 勇(. 中國空氣動力研究與發展中心 計算空氣動力研究所, 四川 綿陽 6000; . 西北工業大學, 陜西 西安 7007)

基于離散伴隨方程求解梯度信息的若干問題研究

黃江濤1, 劉 剛1, 周 鑄1,*, 高正紅2, 黃 勇1
(1. 中國空氣動力研究與發展中心 計算空氣動力研究所, 四川 綿陽 621000; 2. 西北工業大學, 陜西 西安 710072)

基于自主研發的大規模并行化結構化網格RANS求解器PMB3D，開展了黏性離散伴隨方程構造、求解方法的研究與討論。首先對離散伴隨求解梯度的思想進行簡要介紹，進一步對無黏項、人工黏性項、黏性項部分對離散伴隨方程貢獻以及變分推導進行了詳細介紹；文中對離散伴隨方程無黏項、黏性項邊界條件實現形式進行了詳細研究，并對關鍵模塊變分推導的一些簡化方式進行了研究討論，通過典型寬體飛機標模、外壓式超聲速進氣道算例，分析了所采用的簡化處理方式對不同問題梯度求解精度的影響。 最后在并行化求解、時間推進以及加速收斂方面進行了探討、驗證。數值模擬表明，文中采用的離散伴隨方程形式更有利于程序化、模塊化，梯度計算精度完全滿足氣動優化設計需要。

離散伴隨方程；氣動優化；梯度信息；邊界條件；時間推進；并行計算

0 引 言

基于流動變分思想的分析手段以其獨有的優勢，在氣動設計、網格誤差修正領域等扮演著重要角色，針對不同形式的主控方程，CFD學者們發展出了連續伴隨、離散伴隨方程[1-5]，并進行了相應的求解方式研究，以期高效地獲得氣動特性對設計變量的梯度信息，由于該項技術求解梯度信息的工作量幾乎與設計變量個數無關，因此，倍受CFD研究人員以及氣動優化設計研究人員的重視。其中，由于離散伴隨方程與NS方程清晰的導數關系，實現起來比較方便，梯度信息更為準確等優點，在伴隨系統研究領域最為關注，也是國內外空氣動力學研究機構重點發展的研究方向，大多研究機構均基于自身研發的大型并行CFD計算代碼發展了離散伴隨優化系統，例如NASA Langley研究中心利用自動微分工具開發了基于結構化求解器CFL3D、非結構化求解器FUN3D的離散伴隨優化系統[6-7]；德宇航基于結構化求解器Flower、非結構化求解器TAU發展了離散伴隨優化系統[8]，法宇航基于CFD代碼elsA開發了離散伴隨優化[9],英國謝菲爾德大學覃寧[10]開展了基于結構化網格的并行離散伴隨優化。

國內在離散伴隨方程求解器自主研發方面也取得了一定的進展，例如西北工業大學左英桃、高正紅基于結構化網格求解器開展了M6機翼離散伴隨優化[11]；熊俊濤[12]等基于顯式時間推進實現了離散伴隨方程的求解；屈崑等利用Tapenade自動微分工具進行通量變分，按照矩陣模式組裝到全局稀疏矩陣，實現了穩態CFD的伴隨系統求解[13]；西安交通大學張朝磊等基于離散伴隨理論和自動微分技術構建離散伴隨系統，應用于透平葉柵的氣動優化[14]；南京航空航天大學高宜勝、伍貽兆、夏健等基于非結構求解器進行了翼型離散伴隨優化[15]；中國空氣動力研究與發展中心李彬等基于非結構求解器實現了離散伴隨系統的開發[16]。

對于離散伴隨優化設計系統的研究，大部分研究側重點處于氣動優化問題本身，而對于離散伴隨系統構造的關鍵問題歸納整理較少，本文將系統地對離散伴隨方程求解梯度信息的若干問題開展研究；另一方面，離散伴隨優化多點設計的方式是加權平均，設計結果依賴于權系數的選擇，需要對權系數進行多次嘗試，由于結構化網格求解器在相同資源條件下計算效率、精度更高，更利于變權系數的多點分布式優化設計，比較適合于工程型號設計。因此，本文基于中國空氣動力研究與發展中心自主研發的大型并行結構化網格RANS求解器PMB3D[17]，開展了離散伴隨系統構造的關鍵問題研究。

1 基于伴隨思想的梯度計算方法簡介

對于氣動優化設計問題：

及其殘差約束R(W,X,D)=0，可以構造以下目標函數：

對式(2)進行求導，

式(4)就是流場伴隨方程，通過迭代方法求解Λ之后，可以通過式(6)進行梯度信息快速求解。

2 離散伴隨方程構造的主要模塊

顯然，離散伴隨方程構造核心是對Navier-Stokes方程右端殘差項進行變分推導，涉及到對流項、人工黏性項、黏性項部分，以及邊界條件的處理。對各項的變分可以進行手工推導，也可以借助自動微分工具(如Tapenade、ADIFOR等)的后向模式來完成，前者的優點是程序運行效率較高、不依賴于第三方庫支持，缺點是工作繁瑣，容易出錯；后者的特點是簡捷方便，依賴于第三方庫支持、計算效率略低以及內存需求偏大等問題。本文采用手工推導方式。

2.1 離散伴隨方程對流項的處理

離散伴隨方程對流項的構造的主要依賴于空間離散格式、插值精度的選擇，不同的空間離散格式以及插值精度會產生不同的模板需求，尤其對于高精度格式來講，其無黏項的離散伴隨構造將及其復雜。本文采用二階精度的中心格式，該格式構造簡單，在亞、跨、超聲速流場數值模擬中表現魯棒，在實際工程應用較多。

對于l方向，式(8)的右端第二項中δR(j,k,l)可以表達為：

= (f1δξx)l+1/2+(ξxδf1)l+1/2+

(f2δξy)l+1/2+(ξyδf2)l+1/2+

(f3δξz)l+1/2+(ξzδf3)l+1/2-

[(f1δξx)l-1/2+(ξxδf1)l-1/2]-

[(f2δξy)l-1/2+(ξyδf2)l-1/2]-

其中，f1、f2、f3分別為無黏通量在笛卡爾坐標系下三個方向的分量，對于定常問題，式(9)中忽略對幾何參數的變分后轉化為：

δR(j,k,l)=δfl+1/2-δfl-1/2

= (ξxδf1)l+1/2+(ξyδf2)l+1/2+(ξzδf3)l+1/2-

將上式代入式(9)并考慮以下關系式：

整理包含δWl的項，可以看到，對l單元伴隨無黏通量有貢獻的模板單元有l-1，l，l+1，拓展到三維問題，對(j,k,l)單元伴隨無黏通量有貢獻的模板單元有：(j,k,l)，(j-1,k,l)，(j+1,k,l)，(j,k-1,l)，(j,k+1,l)，(j,k,l-1)，(j,k,l+1)共七個單元，如圖1所示。綜合式(8)、式(10)可以推導出離散伴隨方程的對流項：

圖1 離散伴隨無黏項模板單元Fig.1 Template unit of discrete adjoint inviscid term

2.2 離散伴隨方程人工黏性的處理

由于對單元(j,k,l)的伴隨人工黏性通量有貢獻的模板單元較多，因此，人工黏性的變分比較復雜，文中固定人工黏性系數前提下，給出了兩種處理方式，一種是直接變分推導，另外一種是對四階耗散項進行簡化處理，在梯度驗證部分給出了兩種處理方式的可行性對比。

第一種方式～直接變分推導，首先僅考慮j方向：

δRD(j,k,l)=δfd,j+1/2-δfd,j-1/2

由式(12)可以看出，一維方向上對單元(j,k,l)的伴隨人工黏性通量有貢獻的模板單元有5個，推廣到三維問題，模板單元有13個，如圖2所示。

圖2 離散伴隨人工黏性項模板單元Fig.2 Template unit of discrete adjoint artificial viscous term

第二種方式～四階耗散項簡化處理[18]，僅考慮j方向：

δRD(j,k,l)=δfd,j+1/2-δfd,j-1/2

上述簡化，降低了推導難度，且虛網格單元的伴隨變量能夠利用邊界條件做到簡單處理(見邊界條件部分)，由式(13)可以看出，一維方向上對單元(j,k,l)的伴隨人工黏性通量有貢獻的模板單元有3個，推廣到三維問題，模板單元有7個，如圖1所示。

2.3 離散伴隨方程黏性項的處理

離散伴隨方程黏性項的推導是最為復雜的一項，其核心是對速度導數項變分，如果直接采用完全NS方程進行推導，將涉及速度導數交叉項，所需要的模板更多，推導將更加繁瑣，因此，本文采用黏性項薄層近似進行變分。

曲線坐標系下，采用如下薄層近似方式：

類似2.1部分的推導，從式(14)可以看出對單元(j,k,l)的伴隨黏性通量有貢獻的模板單元。

在式(14)的條件下，曲線坐標系下的黏性通量可以表達為：

其中，

進一步利用原始變量對守恒變量的轉換矩陣，求出對守恒變量的導數矩陣：

2.4 離散伴隨方程時間項隱式化

將上述推導結果進行整合，并加入偽時間項可以得到離散伴隨主控方程：

Rc(λ)j,k,l-RD(λ)j,k,l-Rv(λ)j,k,l=0

對式(19)的迭代求解，可以采用顯式經典四步龍格-庫塔推進，也可以采用隱式時間推進，這里我們將重點介紹LU-SGS方法，由于(19)在形式上與NS方程一致，因此，LU-SGS方法及其最大特征值分裂方法可以用于離散伴隨求解：

Qn+1=Qn+ΔQ

由于離散伴隨方程雅克比矩陣轉置的原因，上式中對應的矩陣均需要進行轉置處理，且無矩陣算法不再適用，右端項必須嚴格按照矩陣相乘進行運算，這是伴隨方程求解單步耗時、內存需求高于NS方程的一個主要原因。流場時間推進采用的隱式邊界條件在離散伴隨方程中依然可用：

3 求解離散伴隨方程的若干問題及處理方式研究與討論

對流項邊界條件、人工黏性項邊界條件、黏性項邊界條件、加速收斂技術、復雜項的簡化方式、對離散伴隨方程求解來講至關重要，直接影響到梯度計算精度以及求解效率，為此，該部分將對上述關鍵環節進行研究討論，探討對不同流動問題的影響程度。

3.1 離散伴隨方程對流項的邊界條件

離散伴隨無黏通量計算在邊界處的模板單元與內部點的個數不一樣，因此在邊界處的變分需要特殊處理，由于ξ,η,γ三個方向上的獨立性，對于ξ,η,γ=1,JKLDIM不同的邊界，可以分開處理，顯然，對于任意曲線坐標方向，邊界單元無黏通量計算模板將減少一個，如圖3所示。

(a) J=1邊界

(b) J=JDIM邊界

以J=1邊界緊鄰的J=2單元通量計算為例，式(11)將改寫為(其他方向類似)：

式(25)中E,MBC分別對應單位矩陣以及邊界條件矩陣，可以看出，離散伴隨無黏項的不同邊界條件變分，只需替換對應邊界條件矩陣MBC，很容易實現不同邊界類型、以及內外流伴隨之間的轉換、匹配，且這對于模塊化編程也十分有利。需要指出的是，由于離散伴隨無黏項的主導作用，該項邊界條件處理很大程度直接影響梯度的計算精度。

3.2 離散伴隨方程人工黏性的邊界條件

離散伴隨人工黏性通量計算模板單元較多，在邊界處的變分處理比較繁瑣，為此，而文中考察了2.2節的兩種處理方式，與2.1節一樣，其核心問題仍然是推導邊界條件矩陣MBC，由于推導過程較長，本節僅給出了簡化推導方式[19]，其他方式類似：

δRD(j,k,l)=δfd,j+1/2-δfd,j-1/2

圖4、圖5分別給出了某型飛機參數化及人工黏性處理方法對梯度計算精度影響比較 。

圖4 某型客機FFD參數化Fig.4 FFD lattice for wide body airplane

圖5 人工黏性處理方式對梯度計算精度影響比較Fig.5 Effect on gradient calculation of different artificial viscous processing method

3.3 離散伴隨方程黏性項的邊界條件

離散伴隨黏性通量的模板單元也將在邊界處發生變化。從式(16)的推導不難看出，黏性項的邊界條件需要考慮對虛網格的變分關系，實質上仍然是推導邊界條件矩陣MBC。這樣，無論是無黏項、人工黏性項還是物理黏性項的邊界條件均轉化為一個矩陣推導，大大簡化了程序設計框架，式(26)～式(29)給出了幾類典型的邊界條件矩陣。

廣義對稱邊界與無黏物面條件矩陣：

黏性物面條件矩陣：

超聲速入流/出流邊界條件矩陣：

其他類型邊界條件矩陣同樣可以依據邊界類型進行求導。

3.4 離散伴隨方程的時間推進

不同時間推進方式，同樣也對離散伴隨方程產生不同的收斂效果，比如GMRES、BLU-SGS時間推進方式，綜合考慮內存需求與計算效率，文中進行了BLU-SGS與LU-SGS收斂歷程以及計算結果的對比，在伴隨方程求解中依然有效。

圖6、圖7分別給出了不同的時間推進方式對收斂速度及計算結果的對比。

圖6 LU-SGS、BLU-SGS收斂速度比較Fig.6 Convergence rate comparison of LU-SGS and BLU-SGS

圖7 LU-SGS、BLU-SGS第一伴隨變量計算結果Fig.7 The calculation result of fist adjoint variable of LU-SGS and BLU-SGS

3.5 離散伴隨方程的并行化求解

與流場并行計算一樣，離散伴隨方程求解時，并行機制依然采用單元數衡量的負載平衡、對等式計算以及MPI消息傳遞模式，對于伴隨方程來講，依賴于求解器的構架，通過MPI進行傳遞的信息可以是雅克比矩陣，也可以是伴隨變量本身。本文求解器采用了多塊對接網格技術，與對接面邊界信息一樣，MPI傳遞的信息是各個進程分割面上的兩層虛網格上的伴隨變量信息，這樣離散伴隨求解的并行效率特性與流場的基本一致，由于存在矩陣運算，略低于流場并行效率。圖8給出了NS方程與離散伴隨方程并行效率比較。

圖8 離散伴隨/NS方程并行效率Fig.8 Parallel efficiency of discrete adjoint and NS equation

3.6 離散伴隨方程求解的加速收斂技術

在流場計算中采用的當地時間步長、多重網格、網格序列法等加速收斂技術，在離散伴隨方程求解中使用仍然能夠起到加速作用。無論是多重網格方法，還是網格序列法，均要涉及粗網格殘差計算方法，本文在粗網格上的殘差計算采用二階格式且不考慮黏性項，而對于伴隨變量本身的插值、限制方式仍與流場變量一致；當地時間步長取值與流場計算相同，不同的是，求解離散伴隨方程時是基于流場收斂解進行的，因此，穩定性更好，CFL可以取得更大(圖9)。圖10為超聲速低聲爆客機第一伴隨變量云圖，在黏性流場計算時CFL≤10.0取值基本保證穩定收斂，離散伴隨計算時CFL=50依然能夠穩定收斂。

圖9 網格序列法加速收斂(CFL=50 無黏伴隨)Fig.9 Convergence accelerated method based on grid sequence method(Inviscid adjoint)

圖10 超聲速低聲爆客機第一伴隨變量云圖 (目標函數：阻力CFL=50)Fig.10 The first adjoint variable contour of supersonic low sonic boom airplane

4 典型工程算例測試

求解方法對梯度計算的影響經過討論之后，進一步采用本文的方法開展不同流動問題梯度計算精度驗證，采用了兩種構型：某型客機全機巡航構型和外壓式超聲速進氣道。

4.1 外部黏性繞流問題——某型客機全機巡航構型

以某型某型客機全機巡航構型外部繞流為算例，主要部件包含機翼、機身、掛架、短艙內外涵道、平尾以及立尾。半模網格劃分為526塊，網格規模2500萬量級，如圖11所示。采用SST湍流模型，128核進行并行計算。

圖12給出了黏性離散伴隨方程的收斂歷程，可以看出文中的求解方法對于復雜外形也非常穩定。圖13、圖14分別為物面第一伴隨變量云圖與參數化示意圖。圖15給出了任意選取的幾個控制頂點的導數值對比，梯度幅值以及梯度方向一致，平均誤差為6%，可以看出，在外部黏性擾流問題中，基于薄層近似的黏性離散伴隨導數計算精度較高，完全滿足工程氣動設計要求。

圖11 表面網格分布Fig.11 Grid distribution on surface

圖12 離散伴隨方程收斂歷程Fig.12 Convergence process of discrete adjoint equation

圖13 物面第一伴隨變量云圖Fig.13 Contour of the first adjoint variable on surface

圖14 機翼參數化FFD lattice示意圖Fig.14 FFD lattice for wing parameterized

圖15 黏性離散伴隨梯度計算與差分對比Fig.15 Comparison of gradient calculation of viscous discrete adjoint and difference

4.2 內外流一體化問題——外壓式無附面層隔道超聲速進氣道(DSI進氣道)

該算例為超聲速無附面層隔道進氣道內外流一體化數值模擬，涉及超聲速入口、超聲速出口、黏性物面以及風扇入口(質量流流場出口)四類邊界條件。

需要指出的是，流場計算直接采用質量出口邊界條件，帶來收斂速度慢、邊界條件矩陣推導困難等問題，因此本文采用了壓力特征出口—質量流調節的方法，即給定初始反壓，計算程序依據流量特征進行自動調節，該方法可以提高管道內“激波外推”速度，加速收斂。流場收斂后風扇入口流場仍然保持亞聲速壓力特征出口邊界，有利于其邊界條件矩陣推導。

圖16給出了設計狀態進氣道波系狀態分布，該模型的初始鼓包依據三維乘波理論設計，圖17給出了鼓包FFD參數化示意圖，沿進氣方向選取5個控制點，進行總壓恢復系數梯度測試，這里給出總壓對守恒變量的變分推導方法：

圖18給出了鼓包上任意選取幾個控制點，計算風扇入口總壓對控制點的導數，由于內外流一體化問題流動黏性效應較強，而文中黏性離散伴隨計算采用了薄層近似，本文將對此進一步開展研究，消除這些因素帶來的誤差。綜上所述，文中采用的方法誤差較為明顯，但依然較好地反映了梯度幅值變化趨勢，且梯度方向一致，能夠應用于氣動優化。

圖16 無附面層隔道進氣道波系分布Fig.16 Wave system distribution of DSI

圖17 DSI進氣道鼓包參數化Fig.17 The parameterized DSI inlet bump

圖18 黏性離散伴隨梯度計算與差分對比Fig.18 Comparison of gradient calculation of viscous discrete adjoint and difference method

5 結 論

基于自主研發的大規模并行結構化網格RANS求解器PMB3D，開展了黏性離散伴隨方程構造、求解方法的研究與討論：

1) 以矩陣的形式體現離散伴隨方程的邊界條件，有利于程序的簡捷化、模塊化。

2) 人工黏性的簡化處理雖然降低了的梯度求解精度，但仍然能夠較好地反映梯度變化趨勢，可以應用于氣動優化。

3) 結構化求解器網格中，無黏項、人工黏性項的離散推導具有方向獨立性；薄層假設條件下，黏性項的離散推導能夠大大簡化推導過程以及實現程序模塊化。

4) 由于存在大量的矩陣運算，離散伴隨方程求解計算效率、并行效率均低于NS方程求解。

5) 薄層假設條件在外流問題梯度計算中精度較高，在內流問題計算中梯度精度降低，但可以較好地反映梯度變化趨勢。

致謝:在本文的研究工作中，肖中云、牟斌、李彬、唐靜、賈洪印等同志在大規模并行塊隱式時間推進方法、進氣道計算等方面給予了有益的建議，在此表示感謝！

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Investigation of gradient computation based on discrete adjoint method

HUANG Jiangtao1, LIU Gang1, ZHOU Zhu1,*, GAO Zhenghong2, HUANG Yong1
(1. Computational Aerodynamics Institute of China Aerodynamics Research and Development Center, Mianyang 621000, China; 2. Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

Viscous discrete adjoint equations and the corresponding solving method are studied and discussed based on PMB3D, i.e., a parallelized in-house CFD code for multi-block structured grid. Firstly, the discrete adjoint gradient strategy is briefly introduced. Secondly, we fully describe the variation derivation and the contribution of inviscid, artificial viscosity, and viscous parts to the discrete adjoint equations. Thirdly, the implementation of the inviscid part and the viscous boundary conditions are studied, and the simplification methods for variation derivation are discussed. Two typical simulations are respectively carried out on a wide-body aircraft and an external compression supersonic inlet to analyze the influences of these simplification methods on the solution precision. Finally, parallel solution, time integration, and convergence acceleration are discussed and validated. Numerical simulation demonstrates that the present discrete adjoint gradient strategy and equations contribute to a convenient programming and modularization. Moreover, the precision of the gradient solution is qualified for aerodynamic optimization design. The present study can be recognized as a useful reference for further study on discrete adjoint method.

discrete adjoint; aerodynamic optimization; gradient information; boundary condition; parallelized computation

0258-1825(2017)04-0554-09

2017-04-02;

2017-06-28

國家自然科學基金(11402288)；國家重點研發計劃“數值飛行器原型系統”(2016YFB0200704)

黃江濤(1982-)，男，副研究員，研究方向：飛行器氣動外形多學科優化與計算空氣動力學. E-mail: hjtcyf@163.com

周鑄(1973-)，男，重慶人，研究員，研究方向：飛行器氣動設計與計算空氣動力學. E-mail: zhouzhu@tom.com

黃江濤, 劉剛, 周鑄, 等. 基于離散伴隨方程求解梯度信息的若干問題研究[J]. 空氣動力學學報, 2017, 35(4): 554-562.

10.7638/kqdlxxb-2017.0064 HUANG J T, LIU G, ZHOU Z, et al. Investigation of gradient computation based on discrete adjoint method[J]. Acta Aerodynamica Sinica, 2017, 35(4): 554-562.

V211.3

A doi: 10.7638/kqdlxxb-2017.0064