數學解題：何以能無咎

潘小明

摘 要：對數學解題過程與結果進行嚴謹性、正確性的審視，在于反省補過、謹慎小心、堅忍純正，無疑是提升數學素養的重要機制.

關鍵詞：數學解題；周易；無咎觀

一般說來，學生作為數學解題的新手在自己的解題活動中很難避免一些錯誤，但這并不意味著教師就可以放任學生在數學解題活動中的數學錯誤，不注意通過有效的教學措施積極地引導學生防范、克服、反思和利用自己在解題中的錯誤.嚴謹性作為數學學科的重要特點表明，學生的數學解題實踐不能偏離“以正確為第一要務”的目標追求，否則就容易異化數學學科的科學本性和學生解題訓練的有效價值.如果說“問題和解是數學的心臟”，那么對數學問題求解過程和結果進行“嚴謹性”“正確性”的審視無疑是保證提升數學素養的重要機制.本文擬在學習和借鑒中華文化的哲學根源性著作《周易》一書中關于“無咎觀”的一些基本認識基礎上，結合來自中學一線的具體教學案例說明數學解題教學中如何引導廣大中學生建構解題的無咎觀，以期引導學生學會正確地看待自己有可能發生的數學解題錯誤，并能據此更有針對性地思考自己的數學解題活動“是否有錯”“何以出錯”“錯在何處”如何糾錯”.

一、反省補過——數學解題的無咎之基

就做人做事而言，“無咎者，善補過者也”是《周易》中非常值得學習和領會的一句話.這里的“無咎”本義是指“完美無缺”“萬無一失”或“沒有災患”等之類的意思，而“補過”則是指“不但不犯某種錯誤了，而且還把原來所犯的過錯改正和補救過來”.人非圣賢，孰能無過？立足于人的行為和心態進行考察，人在實踐中有所缺失其實是難免的事，關鍵是要善于對相應的缺失有一種悔恨之心，并且要善于從行為中切實地補過自新，唯有如此，才能做到無咎.將《周易》中的這句話聯系到中學數學解題教學的指導，可以獲得非常有益的啟示，事實上，解題者數學解題的過程與結果如果要做到沒有任何毛病的話，必然需要解題者本人有“善于補過”的意識，特別是，解題者本人要隨時審察、反省自己解題的過程與最后的結果，要注意及時檢查那些能引發自己產生錯誤的可能性因素.只有通過必要的“回頭看”“檢視”“審查”“反思”，解題者才能使自己在一種良好的數學解題習慣中保證數學解題的無咎狀態.

例1 解方程組

案例分析 上述題目是施老師布置給某鎮初級中學初二（1）班的一道課后探究題，對于施老師布置的作業，作為班級數學課代表的小紅給出了如下的解法：

[解：由得即 （3）

由（3）得 ，

代入（2），得 ，

整理，得 ，

解之得 ，

分別代入（3），得 ，.

所以，所求方程組的解為，

經檢驗，所求兩組解是原方程組的解. ]

對于自己的解答，小紅感到很滿意.但是，出乎意料的是，施老師并沒有象往常一樣對她的作業給出肯定的評價，而是在作業本子上寫下兩段話：“對于方程（1）和（2），非常顯然的一個事實是，當時，它們的右邊都等于0，據此可求解相應的或，這也就說明這兩組解也是原方程組的解.”“可見，你在作業中提供的解法肯定遺失了一些根，你能找找你自己失根的原因嗎？”

看到老師在作業批改中給出的反饋，小紅不禁一怔，自己的解法真的是失根了嗎？如果是，究竟是什么原因引起失根了呢？她開始深思起來.漸漸地，她發現，在自己的解法中，其實是有前提條件的，即只有在（2）不為0時，它們才能相除.這樣，就有可能失去使（2）為0的x與y的值，而它們確實又滿足（1）式，從而是原方程組的解.據此，可通過補解方程組考察它的解是不是也是（1）式的解.不難看出，這是比較顯然的（這是因為該式的兩邊分別有及）.于是，由就可得到原方程組的另兩組解

對于小紅提交的“訂正版作業”，施老師進行了面批，他笑著對小紅說：“行呀！終于找到錯誤、改正錯誤了.知錯能改，善莫大焉！”不過，施老師并沒有就此結束對小紅作業的指導，而是進一步引導：“小紅，你能否通過回避的方式來防止自己的失根呢？”小紅想了想說，“老師，可以的！”具體解法如下：

[將（2）代入（1），得

即 （4）

于是原方程組與同解.

而（4）與 （5）

及 （6）

同解.所以原方程組與及同解.

解得

解得 ]

施老師對小紅第二種解法“步步為營”的嚴謹性大加贊賞，并追問她兩個新的問題：比較兩種解法，能否更清楚地認識第一種解法最初出錯的原因？能否將這類問題一般化，并據此提出它們的解？

小紅在施老師的指導下進一步認識到：

第一種解法之所以出錯是自己只解了方程，從而丟失了方程的解.

如果將本題所解方程組一般化，就是解形如 的解，可以猜想它與方程組及同解.在施老師的指導下，小紅對自己的猜想進行了證明（略）.

“震無咎者存乎悔”，做人做事要達到無咎的狀態，必然要善于反思悔過.在上述的案例中，小紅在施老師的指導下先是識別錯誤，然后分析產生錯誤的原因，她不僅把在解題中所犯錯誤改正過來，而且把所犯的錯誤補救過來——即對一類方程求解的問題作了更為一般的猜想和論證，這顯然是數學解題活動中“反省補過”思想的一種具體體現.在引導中學生對數學錯解進行反思的教學過程中，不能僅僅停留在就錯改錯，而是要深入與特定問題有關的數學知識結構的審察，要深入解題中數學思維過程的反思，努力找出相應環節可能出現的實質性問題，既注意概括出條件化、一般化的問題題路和結論規律，又注意對不同的解法進行橫向與縱向的比較.總之，數學解題活動中，要真正達到一種無咎的狀態，解題者在平時的解題練習中就要注意培養解題反思的習慣，注意隨時檢查、反思、改正在數學解題實踐中有可能出現的錯誤和毛病.

二、謹慎小心——數學解題的無咎之法

眾所周知，嚴謹性是數學學科的一個基本特點，在數學解題過程中自然需要強化學生思維上嚴密和嚴謹方面的要求.那么，如何做到這一點呢？《周易》上有一句話，“君子終日乾乾，夕惕若，厲無咎”.這句話的意思是，才德出眾的人每時每刻都會小心謹慎，勤奮自強而不敢有絲毫的松懈，即使到了晚上，他也會注意警醒；對于一個能經常以危厲自警的人來說，雖然有可能會面臨一些危險，但是，他最終并不會有災禍.就中學數學解題教學而言，教師有必要用《周易》上的這句話指導學生的數學解題活動.某種意義上，這也是教師教學水平高低與否的一種表征.高水平的數學教師，通常會注意引導學生保持一顆謹慎之心，并因此使他們更為自覺地避免一些不必要的數學錯誤.

例2 已知，求證：形如一定是合數.

案例分析 初一（3）班的阿勝在唐老師給出題目后，很快就給出如下他自認為正確的證法：

又當時，.

當時，一定是質數.

當時，一定是合數.

顯然，學生由于自己在思維上的不謹慎而離開了對原來命題的證明，本質上是犯了邏輯性的數學解題錯誤.這是因為，由“當時，是質數”根本推不出“當時，一定是合數”.從命題間的關系來說，這兩個命題是互為否定的關系，而不是互為逆否的關系，所以，“當時，是質數”不能作為論證“當時，一定是合數”的充足理由.那么，如何引導學生認識錯誤并改正錯誤呢？唐老師（簡稱T）和阿勝（簡稱S）進行了如下的互動.

T：我先問你一個問題，如果， 那么，對嗎？

S：當然對呀！

T：如果， 那么，對嗎？

S：肯定不對呀！

T：為什么呢？

S：比如，，但是，這時.

T：好的.那么，由“如果， 那么”推不出“如果， 那么”，對嗎？

S：當然.

T：那么，“當時，是質數”能推出“當時，一定是合數”嗎？

S：不能！教師，我知道自己剛才錯了.

T：知道自己錯了，就改呀！你重新試試！

阿勝在唐老師的指導下，給出如下正確的答案：

，（在這一推理中阿勝自言自語地補充說，否則或1，這與已知條件矛盾），

，即當時，

當時，一定是合數.

當時，一定是合數.

學生數學思維的發展通常具有一定的階段性特征.對初中生而言，他們貌似很“邏輯”和“推理”，但他們的思維更多地只是處于一種類似“少年老大人”“雖一半趨向于成熟，但一半仍固化于幼稚”的狀態，這種思維特點很容易使他們偏離謹慎，在解題的過程中也容易不知不覺地偏離原先問題的要求，這種情況下，他們要么未按題意要求解答原問題，要么雖有解答但終因邏輯不當而致解答混亂、錯誤.由此，教師要注意通過有效的教學方法，培養學生謹慎小心地進行數學思維和問題解答的習慣.

三、堅忍純正——數學解題的無咎之憑

《周易》云：“無平不陂，無往不復，艱貞無咎.”其含義是：沒有平地不會成山坡，沒有去了而不能回來，只有在艱難困苦中堅守純正才能有好的結果.強調莊稼在生長過程中總會有一些反復和挫折，甚至有可能會出現災害，但是只要堅貞不渝地進行精心管理，總會有好的收成.如果把數學教學看成一種播種與收獲的過程，那么，《周易》中的這句話無論是對數學教師的教，還是對學生的學都有一定的“醒世”意義.數學史表明，數學作為一門學科和科學，發展道路并非平坦沒有坎坷的，數學中的一系列優美成果也并非脫離夯實基礎的數學創新，更非是數學家茶余飯后輕松愉快的妙手偶得.對大多數數學家而言，他們之所以會取得豐碩的數學成果，更多的是源于他們在艱難困苦的數學研究中進行了堅守.然而，在當前的一些數學教學改革中，有一些人在思維上好像存在著一定的偏誤，比如，他們只看到數學創新的重要性，卻沒有看到打基礎的必要性，只看到數學課程中數學思想方法的閃閃躍動；卻沒有深思數學思想方法畢竟源于數學研究者艱難困苦的數學探究.由于看不到或故意忘卻了“艱難困苦”和“堅忍純正”對于數學學習的意義，他們在教學實踐上往往容易隨大流式地鼓吹所謂“看起來毫不費勁”“聽起來舒心愉快”“做起來難能成功”的快樂式數學學習.數學的學習不可能總是在一種毫不費勁的愉快狀態中實現.對于大多數并非天才的尋常人來說，只有在數學學習活動中強化“堅忍純正”的意識，才能在較高的層次上體驗數學學習的快樂，才能更深入地領悟數學的精神價值.

例3 已知求的值.

案例分析 初一（5）班的小敏觀察了待求值的代數式和已知條件中的代數式，覺得可以將所要求值的代數式先進行因式分解，即，由已知條件，可以進一步將待求值的代數式變為，如果能求出的值，那么所求的問題就能獲得解決.如何求的值呢？聯系到給定的第二個條件，可以考慮求出的值，于是構造，看來，還得求出的值，如何求呢？小敏的求解思路突然被卡住.但是，小敏是一個不輕意言敗的人，她覺得自己能求出的值.如何求？還是回到條件，從已知的兩個式子中能不能產生出？

可以，這是因為，

所以AB=[（A2+B2）-（A-B）2]=×（13-52）=-6.

于是，

，.

至此，小敏將答案求出來.

不過，她一看自己的解題過程，還是覺得有點煩瑣了，“能不能將解法優化一下？”她回顧自己剛才的解法發現，自己其實“兜了許多圈子”，壓縮前面的一些過程，自己的解法可以是：

.

看到自己用了簡短的幾行字將題目解了出來，小敏內心感到無比愉悅.

俗話說“代數繁”“幾何難”，但是，這種繁和難最終能被具有“堅忍純正”意志的學習者化解.從該解題的過程可以看出，小敏正是由于擁有這種意志，才能不厭其煩地綜合運用觀察、分析和構造三種方法進行習題解答及其過程優化的探索，并且，她經由這一過程深切感受到數學解題的快樂.由此可見，數學解題有時確實需要培養學生勇于歷經艱難困苦式的數學思維過程，或許在這一過程中，學生才能獲得一種并非世俗化的學習快感.