例談壓軸題課堂教學的育人價值

胡素芬

[摘 要] 初三后期的復習課時間緊任務重，本文從分析2015年浦東新區一模卷第25題的部分課堂實錄出發，淺談如何進行一題多解和一題多變，從中探討應用模型教學和題組教學，逐漸挖掘解題教學中的育人價值.

[關鍵詞] 壓軸題；教學；一題多解；一題多變

章建躍博士指出：解題的目標應聚焦于加深和理解雙基. 學會思考，培養和發展思維能力；查缺補漏，培養良好的學習習慣，培養創造力等. 這些目標的實現，極大程度上依靠“好題”. “好題”能夠反映數學本質，與重要的數學概念和性質相關，能夠體現基礎知識的聯系性，解題的方法自然多樣，具有發展性等等. 命制一道好題需要對數學本質具有深刻的理解，研究一道好題需要熟悉考點、清楚設計意圖、開放解題思路. 同樣的，一節優質的試卷講評課，教師應該清楚出題意圖，靈活解題思路，促進學生數學思維發展. 接下來筆者以2015年上海市浦東新區一模第25題為例談談如何挖掘壓軸題中的數學元素，提升學生數學學習品質.

試題呈現

（2015年浦東新區一模25題）如圖1，在邊長為6的正方形ABCD中，點E為AD邊上的一個動點（與點A、D不重合），∠EBM=45°，BE交對角線AC于點F，BM交對角線AC于點G，交CD于點M.

初步思考

此題圍繞滬教版教材九年級第一學期重要教學內容并緊扣“相似”這一重要考點，能夠較好地檢測基礎知識和基本技能的掌握情況. 第（1）題的難度期望值大概為0.6-0.8，接下來的第（2）題難度期望值約為0.4-0.5.

反思分析

這道題目是一道典型的以正方形為背景的動點問題，是中考壓軸題的常見題型. 本題設計出不同層次的三個問題，既由淺入深、風格不同，又相互關聯、前后呼應，屬于“并列式”結構. 這道題目圍繞著上海教育出版社九年級第一學期教材的“主干”和“核心”內容，緊扣相似三角形和四邊形的相關考點，能夠在檢測基礎知識的同時檢測邏輯思維能力、計算能力和綜合應用能力，具有一定的思維量. 第（1）問考查相似三角形的判定定理，第（2）問利用第（1）問的結論研究兩條線段之間的函數解析式，第（3）問在分類討論的基礎上利用第（2）問的結論進行三角形面積的計算.

在第（1）問的基礎上分析圖形中邊和角之間的關系，通過添加過點G的兩條垂線構造矩形GQDH，利用矩形對邊相等，從各種等量關系求出長度，或讓用字母x來表示的線段聚集在直角三角形EQG中，通過勾股定理得到線段AE和EG的函數關系式.

那么有沒有其他方法可以求解線段AE和EG的函數關系式呢？

一題多解

仔細審閱這題的題干部分“點E為AD邊上的一個動點（與點A、D不重合），∠EBM=45°，BE交對角線AC于點F，BM交對角線AC于點G，交CD于點M. ”不難發現，整個圖形的運動過程中，點E是主動點，而點G和點M是從動點，它們的位置是隨著點E位置變化而變化的. 聯想到第一種解法中是過從動點G添加垂線，那么是否可以過主動點E添加垂線呢？

再次審視這道題目的第（2）問，再次回顧解決此題的方法一，過點G添加線段AD和CD的垂線，構造一個矩形GQDH，那么能不能過點G添加BE的垂線呢？方法三隨之產生了.

方法三：如圖6，過點G作GK⊥BE，K為垂足.

和方法一、方法二相比，方法三的不同之處在于將目光從添加垂線構造直角三角形逐漸轉向了分析三角形EGB的特征，通過相似三角形的判定，發現三角形EGB是一個等腰直角三角形，進而根據EG和EB的線段長度比值求出線段AE和EG的函數關系式.

課堂上教師引導學生反思前面三種解答過程，提出問題：在分析三角形EGB典型特征的過程中是否一定需要通過添加輔助線構造相似三角形呢？回答顯然是否定的. 此時課堂上學生的思維活躍起來，學生的語言也豐富了.

追本溯源

不添輔助線的方法四無疑是這幾種解法當中最簡單的一種，為什么想到這種方法的同學不多呢？追本溯源這是一個典型的“蝶形問題”，或者說是“四點共圓”問題. 如圖8，“已知∠BAO=∠CDO，問圖中有幾對相似三角形？”“已知AO·OC=OB·DO，問圖中有幾對相似三角形？”“已知AO·OB=OC·DO，問圖中有幾對相似三角形？”

在上海教育出版社出版的數學教材九年級第一學期25頁例題1中出現的就是這樣的一個“蝶形”相似，無獨有偶，在同一本課本第8頁的例題2，九年級第一學期的教參30頁上歸納整理的幾個基礎圖形中的最后一個也是以這個蝶形作為基礎圖形展開教學的.

類似這樣一些簡單問題，學生是否能夠從復雜的圖形中抽象出“蝶形問題”或者說是“四點共圓問題”就成為其能否順利解決第（2）問的關鍵. 怎樣才能使學生在復雜圖形中輕而易舉地看出對解題有幫助的基礎圖形呢？

解題啟示

1. 重視“基本模型”構建能力的培養

羅增儒教授指出：如果能夠辨別題目屬于熟悉的類型，就用該類型相應的方法去解決（模型識別）；如果遇到不熟悉和費解的習題，不能直接轉化為熟悉的類型，那我們可以“分解”， 既使得每個小問題都是熟悉的，又可以揭示問題的深層結構，使問題的實質是熟悉的，同時還可以不間斷地改變習題，最終化歸為已經解決的問題. 各地歷年中考題中都有“基礎圖形”的痕跡，其重要程度可見一斑.

初三畢業班的數學教師對這一教學內容相當重視，每一位有經驗的數學教師憑借著自己的理解和概括都能總結和提煉出一個又一個的模型，上課時教師講授得頭頭是道，學生聽得津津有味，可是當學生獨立面對綜合題的時候往往顯得束手無策. 這種對于基礎圖形“識而不會”的情況為何屢屢發生呢？究其根源，最主要的原因就是缺乏構建的數學能力. 大多數綜合題中的基礎圖形都是“潛伏”在大段敘述性的文字或者復雜的圖形中的，需要適當添加輔助線構建基礎圖形才能逐漸清晰明朗.

要培養構建能力就要求教師在日常教學中引導學生仔細觀察基礎圖形，正確理解基礎圖形的關鍵特征，清楚基礎圖形的核心要素，鼓勵學生大膽嘗試補充添加輔助線以達到補齊基礎圖形所需要的全部核心要素的目的. 行之有效的方法之一就是將簡單的基礎模型進行各種變式，逐漸將圖形復雜化，將小問題深化；行之有效的方法之二就是在各個綜合題中抽取出簡單的基礎模型，雙向思維訓練，不斷培養數學思維的邏輯性和嚴密性. ？例如圖8，對于這個蝶形的基礎圖形進行分析時還可以補充練習，以期達到夯實“基礎模型”的教學效果.

這一系列補充練習完成之后再引導學生反思回顧，就能自然地將上述兩種教學方法比較完整地體現，這類“蝶形”基礎圖形就能夠牢牢地扎根于學生的腦海之中.

2. 初三復習課的教學提倡“題組設計”

由于初三數學課“時間緊任務重”的特點，教師善于將典型問題作為源問題，將典型例題中的核心知識點在不同問題情境中呈現出來. 通過內在的一條線（也就是基礎圖形），把它們集中成一個問題串，引導學生對解題思路、解題策略進行歸納總結，使學生形成一個有機認知體系，從而起到舉一反三、觸類旁通的效果. 教師要善于引導學生自主探究，在反思問題的解題方法以及解題思路是否具有規律性的同時，再思考是否可以將這些思路和方法遷移到類似的問題中去；其次在反思圖形的結構和位置發生改變的同時，弱化或加強命題的條件，結論能否拓展、引申、推廣. 平時加強對學生一題多變的題組訓練，可以深化他們自覺地對問題進行理解，優化學生的思維過程，完善他們的認知結構，從而提高他們自主探究這一類問題的能力，分析解決這類問題的能力也在不同程度上得到了提高.

例如這道2015年浦東一模考試的壓軸題建議跟2016年淄博的24題放在一起編成“互逆式”題組進行課堂設計和講解：

如圖11，正方形ABCD的對角線相交于點O，點M，N分別是邊BC，CD上的動點（不與點B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點E，F，且∠MAN始終保持45°不變.

（2）求證：AF⊥FM；

（3）請探索：在∠MAN的旋轉過程中，當∠BAM等于多少度時，∠FMN=∠BAM？寫出你的探索結論，并加以證明.

另外，對于2015年上海市浦東新區一模第25題的第（2）問：設AE=x，EG=y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域，如果課堂上時間充裕，教師還可以在“設AE=x”這一條件不變的基礎上，將函數進行變化，讓DE=y，BE=y，AF=y，FB=y，EF=y，FG=y，BG=y，CG=y甚至于MG=y，要求學生求出y關于x的函數解析式. 利用這樣的題組教學可以進一步發展學生“用字母表示數”的基本能力，進一步拓展“平行線分線段成比例”定理的應用，進一步形成“鎖鏈式”變式題組，逐漸豐滿復習課的層次和內容.

3. 提高數學復習課的立意與品味

中考復習的目的不僅僅是簡單地再現數學知識和熟練各種應用，更重要的是在于幫助學生深化對數學知識內在聯系的認識. 由于這些“聯系”大部分都是隱性的，僅僅依靠學生自己復習很難發現，有時候即使發現一些規律性的東西也只是一閃而過，很難自行總結歸納. 這就要求初三數學教師在設計復習課的時候立意要高，不能夠就題講題，以題論題，而應該讓學生清楚地“知其然”，主動地“知其所以然”，積極探索“何以知其所以然”. 日常教學中，數學課堂上充滿了數學知識點和數學題目，但所有的數學教學行為不能夠游離于數學思想方法之外，一旦游離，數學知識就會失去其真正的落腳點，數學題目的講解便會降低有效性和遷移效果. 每道數學題目猶如語文中的一篇范文，自身的主題或中心思想的挖掘需要對試題有足夠的理解和把握，這個理解和把握的過程往往借助數學思想方法來完成. 本文選取的這道壓軸題的前兩問無不體現數形結合的數學思想，尤其是對第（2）問幾種解法的不斷探索過程中，突出了“以形助數”的效果；第（3）問的解答過程中也離不開分類討論和方程思想的具體實現. 不斷提醒、總結和歸納，不僅能夠夯實學生的數學基礎，提升學生的數學思維品質，而且能夠使教師自身在繁忙復雜的日常教學工作中享受到創作感和設計感帶來的愉悅心情.

回顧分析研究第（2）問的過程，從一開始相對機械地添加垂線利用勾股定理解出函數解析式，到再思、三思而得出四種不同的解法，我們不難發現其實方法四是利用“蝶形”或“四點共圓”的基礎圖形來探求兩條線段的函數關系式，這種方法既是回答第（2）問的簡便方法，又是解決問題的通法.

學生解題后不反思，就不能及時優化解題過程，無法鍛煉數學思維；教師講題后不反思，就無法提高理解水平，無法提高研究水準. 其實在每節數學課中，在每道題目的證明和解答中，學生收獲最大的并不是得到正確答案，也不是具備解決這類問題的能力，而是真實感受到數學研究的過程，領悟數學思想和方法，享受多種解法相互碰撞產生的思維火花，感悟各種方法之間的區別和聯系，從而對今后的學習和生活帶來深遠的影響.

數學學科育人的核心價值主要體現在數學的理性精神以及蘊含其中的數學思想方法，所以需要教師引導學生從“就題論題”逐漸上升為“以題論法”的境界，最終達到“以題論道”的目的. 數學學科育人的過程就是在課堂上師生共同“發現問題、提出問題、分析問題、解決問題”的過程. 在研究數學的過程中不斷思考“通法”和“巧法”，逐步養成理性思考、嚴謹求證的問題分析和解決問題的習慣，這不僅能夠指導學生將來面對形形色色、種類繁多的學習問題，有助于學生形成優化而高效的學習方法，而且能夠引導學生進行理性思考，將現在的學法逐漸轉化為將來的生活態度和生活形式！