反比例函數解題技巧

史崢遒

反比例函數是初中數學函數部分的重要內容，是一個核心知識點.由反比例函數的圖像和性質能衍生出許多數學問題.隨著新課改的不斷深入，在近幾年的各地中考數學試卷中，以反比例函數為背景設計的新題型也隨處可見，試題難度以低、中檔為主，常見的題型有填空題、選擇題和解答題.同學們要能熟練運用反比例函數的圖像和性質答題.

一、利用反比例函數圖像的增減性

例1 反比例函數y=[2x]圖像上有三個點（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），其中（x1

【點撥】如果我們能把函數的圖像大致畫出來，在圖像上描出三個對應點，那么我們解決這種問題就相對比較直觀，也比較簡單了.

例2 在反比例函數[1-2mx]的圖像上有兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），當x1<0

A. m<0 B. m>0

C.[m<12] D.[m>12]

【點撥】對于這道題，我們必須根據x與y的關系先判斷函數圖像的分布，然后根據函數圖像的增減性來求m值的范圍.

例3 工匠制作某種金屬工具要進行材料煅燒和鍛造兩個工序，即需要將材料煅燒到800℃，然后停止煅燒，進行鍛造操作.經過8min時，材料溫度降為600℃.煅燒時，溫度y（℃）與時間x（min）成一次函數關系；鍛造時，溫度y（℃）與時間x（min）成反比例關系（如圖1）.已知該材料初始溫度是32℃.

（1）分別求出材料煅燒和鍛造時y與x的函數關系式，并且寫出自變量x的取值范圍；

（2）根據工藝要求，當材料溫度低于480℃時，須停止操作，那么鍛造的操作時間有多長？

【點撥】由圖像可知曲線BC的表達式是y=[4800x]，在解決第二個問題時，科學的解法應該是令y=[4800x]≥480，但由于大家還沒有學過分式不等式，那只能先解方程[4800x]=480，然后結合函數的增減性得出x≤10.

二、利用反比例函數表達式中“k”的幾何意義

研究函數問題要透視函數的本質特征.反比例函數y=[kx]（k≠0）中，反比例系數k有一個很重要的幾何意義：過反比例函數y=[kx（k≠0）]圖像上任意一點P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N，則矩形PMON的面積S=PM·PN=[y·x=xy=k].所以，過雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數.從而有S△PNO=S△PMO=[12k].在解決有關反比例函數的問題時，若能靈活運用反比例函數中“k”的幾何意義，則會給解題帶來很多方便.

應用1：比較面積大小.

例4 如圖2，在函數y=[2x]（x>0）的圖像上有三點A、B、C.過這三點分別向x軸、y軸作垂線.過每一點所作的兩條垂線與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為SA、SB、SC，則（ ）.

A. SA>SB>SC B. SA

C. SA

【點撥】根據反比例函數中“k”的幾何意義可知SA=2，SB=2，SC=2.所以SA=SB=SC.故選D.

應用2：求面積.

例5 若函數y=kx（k>0）與函數y=[1x]的圖像相交于A、C兩點，AB垂直x軸于B，則△ABC的面積為（ ）.

A. 1 B. 2 C. k D. k2

【點撥】如圖3，若先求出A、C兩點的坐標，再求△ABC的面積，則解題過程復雜煩瑣.若能利用反比例函數中“k”的幾何意義，則能“快刀斬亂麻”.

解：由反比例函數圖像關于原點成中心對稱知O為AC中點.根據反比例函數中“k”的幾何意義，有S△ABO=[12×1]=[12].

又因為△ABO與△BOC是同底等高的三角形，所以S△ABC=2×[12]=1.故選A.

應用3：確定解析式.

例6 如圖4，反比例函數y=[kx][（k≠0）]與一次函數y=-x-k的圖像相交于A點，過A點作AB⊥x軸于點B.已知S△AOB=2，直線y=-x-k與x軸相交于點C.求反比例函數與一次函數的解析式.

【點撥】由反比例函數y=[kx][（k≠0）]中“k”的幾何意義知S△AOB=2=[12][k]，故[k=±4].又因為反比例函數圖像在第二、四象限，所以[k=-4].從而可知，兩個函數的解析式分別為[y=-4x]和y=-x+4.

三、利用反比例函數圖像的對稱性

中心對稱的實質是旋轉變換，與函數圖像融合時具有較強的直觀性、操作性，較好地實現了數學基本知識、空間觀念與多種數學思維能力的綜合運用，由于反比例函數的圖像有中心對稱性，所以可以將非特殊圖形轉化為特殊圖形（圓形），解題的關鍵是面積的割補及對稱轉化.

例7 下圖中正比例函數和反比例函數的圖像相交于A、B兩點，分別以A、B兩點為圓心，作出與y軸相切的兩個圓，若點A的坐標為（1，2），求圖中兩個陰影面積的和.

【點撥】利用反比例函數圖像和圓的對稱性求解.

解：由點A的坐標可知，圓的半徑是1，又由反比例函數的對稱性知，兩個陰影部分的面積和應為一個圓的面積，因此圖中兩個陰影面積的和為π.

例8 已知反比例函數y=[1x]、y=-[1x]的圖像和一個圓，則圖中陰影部分的面積是（ ）.

A.π B.2π C.4π D.條件不足，無法求

【點撥】根據反比例函數的圖像的對稱性和圓的對稱性得出：圖中陰影部分的面積等于圓的面積的一半，因為圓的半徑是2，所以圖中陰影部分的面積是[12]×π×22=2π.故選B.

四、利用一次函數圖像與反比例函數圖像的交點

解一次函數與反比例函數相結合的題，要充分利用“交點在兩個函數圖像上”這個有利的條件，確定函數的關系式，并結合圖像，根據函數圖像的相關性質分析函數值之間的關系.

例9 如圖，一次函數與反比例函數的圖像相交于A、B兩點，則圖中使反比例函數的值小于一次函數的值的x的取值范圍是 .

【點撥】由一次函數與反比例函數的圖像相交于A、B兩點，可知圖中使反比例函數的值小于一次函數的值的x的取值范圍是：x<-1或0

此外，還有一次函數與反比例函數的綜合應用題，一般它包含兩個區間的函數關系，因此同學們在求兩個函數的關系式時應特別注意轉折點（即公共點），它又是自變量的取值范圍的分界點.

解決函數情境應用題的核心是通過觀察和分析圖像、圖表、情境，捕捉有效信息，并對已獲得的信息進行加工、處理和整理，分清變量之間的關系，選擇適當的數學工具，將實際問題轉化為相應的函數數學模型來解決問題.

（作者單位：江蘇省溧陽市燕山中學）