反比例函數(shù)常見錯(cuò)誤及解決思路

黃芳

反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識，同時(shí)也是中考的必考項(xiàng)目.為了提高同學(xué)們的解題效率，避免不必要的失誤，下面，我們列舉了幾類同學(xué)們?nèi)菀壮霈F(xiàn)的錯(cuò)誤，希望同學(xué)們能引以為戒.

一、概念理解不到位，考慮問題不全面

一部分同學(xué)在解題過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤的主要原因之一是對有關(guān)概念的掌握不熟練，不能正確決定在解答時(shí)應(yīng)該如何入手，也容易在解題過程中出現(xiàn)疏漏.此外，反比例函數(shù)的相關(guān)概念對函數(shù)本身有一些限定條件，出題者在出題過程中會將這一條件視為默認(rèn)條件，不予明確說明.而部分學(xué)生對有關(guān)概念并不了解，在解題過程中必然會出現(xiàn)錯(cuò)誤.

例1 設(shè)存在函數(shù)y=[（m-1）xm2-2，]且該函數(shù)為反比例函數(shù)，求m的值.

【錯(cuò)解】由于該函數(shù)為反比例函數(shù)，所以m2-2=-1，通過計(jì)算可得m=±1，所以可得m的值即為±1.

【分析】該同學(xué)在解答題目過程中忽略了反比例函數(shù)的一個(gè)至關(guān)重要的概念，即系數(shù)不得為零，否則該函數(shù)便成了y=0，就不是反比例函數(shù)了.因此，我們在計(jì)算m2-2=-1時(shí)，還需添加限定條件m-1≠0，最終得到m=±1以及限定條件m≠1.由此可見，m=1與題意本身并不相符，所以本題答案僅有m=-1.

例2 在下列函數(shù)：y=[3x、]y=3x、y=[13x、]xy=[-13、]y=[2ax、]y=3-x、2-3xy=0、y=3x-1，屬于反比例函數(shù)有（ ）.

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

【錯(cuò)解】就整體形式而言，有的同學(xué)容易選擇y=[3x、]xy=[-13、]y=[2ax、]y=3x-1這4個(gè).

【分析】通常情況下，判定自變量與因變量之間是否成反比例函數(shù)關(guān)系應(yīng)以如下三種形式為標(biāo)準(zhǔn)：第一，y=[kx]（k≠0）、y=kx-1（k≠0）以及xy=k（k≠0）.所以y=[3x、]xy=[-13、]y=3x-1明顯是反比例函數(shù).但y=[2ax]并不是，如果a等于0，則該函數(shù)必然不是反比例函數(shù).而2-3xy=0則可以通過變式轉(zhuǎn)化為xy=[23，]即y=[23x，]所以2-3xy=0同樣為反比例函數(shù).所以屬于反比例函數(shù)的有y=[3x、]xy=[-13、]2-3xy=0、y=3x-1，選D.

二、忽略圖像中給定的信息

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的重要思想.反比例函數(shù)的一些性質(zhì)能夠借圖像表達(dá).大家在解題過程中，可以畫出關(guān)于該函數(shù)的草圖，來解決有關(guān)問題.

例3 設(shè)存在反比例函數(shù)y=[m-5x，]該函數(shù)的圖像在相應(yīng)的象限中，y值隨著x值的增加而相應(yīng)增加，求m值的取值范圍.

【錯(cuò)解】因?yàn)轭}目已知反比例函數(shù)y=[m-5x]的圖像在相應(yīng)的象限中，y值隨著x值的增加而相應(yīng)增加.針對該情況，所以m-5>0，此時(shí)求得結(jié)果是m>5.

【分析】錯(cuò)解出現(xiàn)錯(cuò)誤的主要原因是未能將反比例函數(shù)同其圖像對應(yīng)，導(dǎo)致在解答過程中混淆了正、反比例函數(shù)的性質(zhì).對于反比例函數(shù)，當(dāng)k小于0時(shí)，反比例函數(shù)圖像位于第二象限以及第四象限，變量y隨著x值的增加而增加，由此可見，m-5最終的值應(yīng)當(dāng)小于0，而并非大于0.故最終m值的取值范圍應(yīng)當(dāng)小于5.針對該現(xiàn)象，建議大家在解答之后，選擇代入法予以驗(yàn)證，同時(shí)繪制草圖.按照錯(cuò)誤解答的方法，我們代入一定數(shù)值，如m=6，則有y=[1x，]同時(shí)設(shè)存在點(diǎn)A（1，y1）、B（2，y2）兩個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（2， [12]）.所以，當(dāng)m取值范圍為m>5時(shí)，變量y并未隨著x值的增加而增加，反而隨著x值的增加而減小.大家若能將圖像與題目相結(jié)合，則解題速度可得到明顯提升.

三、解題方法過于死板，不靈活

部分同學(xué)在解題過程中，選擇的解題方法雖然也可解決問題，但卻需要花費(fèi)較長的時(shí)間，對之后題目的解答造成一定影響.因此，我們應(yīng)該學(xué)著使用簡便的方法解決題目.

例4 已知存在點(diǎn)A（-2，y1）、B（-1，y2）、C（4，y3）.設(shè)有反比例函數(shù)y=[-6x，]且點(diǎn)A、B、C都在函數(shù)圖像當(dāng)中，則y1、y2以及y3的大小關(guān)系為 .

【錯(cuò)解】該題難度不大，反比例函數(shù)表達(dá)式已經(jīng)給出，一些學(xué)生會選擇將三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代入，得出y1、y2以及y3的值，之后進(jìn)行排序.

【分析】上述方法需要大家將每個(gè)點(diǎn)都代入函數(shù)當(dāng)中，此方法大部分同學(xué)會采用，那是否還有其他方法呢？我們可以試著使用數(shù)形結(jié)合的方法予以解決.首先繪制反比例函數(shù)y=[-6x]的草圖（如圖1所示）.其次，在圖像中分別標(biāo)出點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo).最后對應(yīng)橫坐標(biāo)尋找各點(diǎn)的縱坐標(biāo).至此，便可得出答案.

由上題可見，解決問題的方法有多種，如果題目換成另一種形式，如：已知點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在函數(shù)y=[k2+1x]（k為任意常數(shù)）的圖像上，且x1

四、缺乏解決綜合類型題的能力

能夠從實(shí)際的問題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型，是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵一步，但一些同學(xué)往往缺乏建模能力和從實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的能力.因此挖掘題目中的有用條件，運(yùn)用所學(xué)的反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識解決問題也是大家需要加強(qiáng)的地方.

例5 如圖2，反比例函數(shù)y=[kx]（x>0）的圖像經(jīng)過矩形OABC對角線的交點(diǎn)M，分別與AB、BC相交于點(diǎn)D、E.若四邊形ODBE的面積為6，求k的值.

【錯(cuò)解】部分同學(xué)對題目中出現(xiàn)的條件無法處理，不知道如何運(yùn)用這個(gè)四邊形面積求出 k的值，即使有同學(xué)想到與坐標(biāo)有關(guān)，但不知該如何設(shè)未知數(shù).

【分析】本題是考查反比例函數(shù)的綜合題，可以先設(shè)反比例函數(shù)圖像上某點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)表示其他相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用面積公式建立等量關(guān)系，從而解決問題.

解：設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），而M點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，則k=ab，即y=[abx]，因?yàn)辄c(diǎn)M為矩形OABC對角線的交點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)易得A（2a，0）、C（0，2b）、B（2a，2b），利用坐標(biāo)的表示方法得到D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2a，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2b，而點(diǎn)D、E在反比例函數(shù)y=[abx]的圖像上（即它們的橫縱坐標(biāo)之積為ab），可得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為[12b]，E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為[12a]，利用S矩形OABC=S△OAD+S△OCE+S四邊形ODBE，得到2a·2b=[12·2a·12b]+ [12·2b·12a+6，]求出ab=2，即可得到k=2.

總之，對于反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握反比例函數(shù)的定義、性質(zhì)以及圖像等內(nèi)容，掌握如何利用這些內(nèi)容準(zhǔn)確、快速地解決問題，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績的提高奠定基礎(chǔ).

（作者單位：江蘇省溧陽市燕山中學(xué)）